Momento de inercia

Para mejorar su maniobrabilidad, los aviones de combate están diseñados para minimizar los momentos de inercia, mientras que los aviones civiles a menudo no lo están.

El momento de inercia (también conocido como momento de inercia de masa , masa angular/rotacional , segundo momento de masa o inercia rotacional ) es una medida de cuán difícil es cambiar la velocidad de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje dado. Es la relación entre el torque aplicado y la aceleración angular resultante alrededor de ese eje. ^{[ 1 ]}^{: 279}^{[ 2 ]}^{: 261} Juega el mismo papel en el movimiento rotacional que la masa en el movimiento lineal. El momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje particular depende tanto de la masa como de su distribución relativa al eje, aumentando con la masa y la distancia al eje.

Para una masa puntual , el momento de inercia es simplemente la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia de un sistema compuesto rígido es la suma de los momentos de inercia de sus subsistemas componentes (todos tomados respecto al mismo eje). Su definición más simple es el segundo momento de masa con respecto a la distancia a un eje .

Si un cuerpo se ve obligado a girar en un plano, solo importa el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a dicho plano, un valor escalar . Si se le permite girar en las tres dimensiones, su momento se describe mediante una matriz simétrica de tres por tres. Esta matriz simétrica puede diagonalizarse ortogonalmente mediante un conjunto de ejes principales mutuamente perpendiculares . Los torques alrededor de estos ejes principales actúan independientemente unos de otros.

Introducción

Cuando un cuerpo puede girar libremente alrededor de un eje, se debe aplicar un par de torsión para modificar su momento angular . La cantidad de par de torsión necesaria para producir una aceleración angular determinada (la tasa de cambio de la velocidad angular ) es proporcional al momento de inercia del cuerpo. Los momentos de inercia se pueden expresar en kilogramos por metro cuadrado (kg·m² ⁾ en el Sistema Internacional de Unidades (SI ) y en libras por pie cuadrado (lb·ft² ⁾ en el sistema imperial o estadounidense , así como en otras unidades pertinentes.

El momento de inercia desempeña en la cinética rotacional el mismo papel que la masa (inercia) en la cinética lineal: ambos caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento. El momento de inercia depende de cómo se distribuye la masa alrededor de un eje de rotación y variará según el eje elegido. Para una masa puntual, el momento de inercia respecto a un eje viene dado por $mr^{2}$ , dónde $r$ es la distancia del punto al eje, y $m$ es la masa. Para un cuerpo rígido extendido, el momento de inercia es simplemente la suma de todas las pequeñas porciones de masa multiplicadas por el cuadrado de sus distancias al eje de rotación. Para un cuerpo extendido de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto.

En 1673, Christiaan Huygens introdujo este parámetro en su estudio de la oscilación de un cuerpo que cuelga de un pivote, conocido como péndulo compuesto . ^{[ 3 ]} El término momento de inercia ("momentum inertiae" en latín ) fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} y está incorporado en la segunda ley de Euler .

La frecuencia natural de oscilación de un péndulo compuesto se obtiene a partir de la relación entre el torque ejercido por la gravedad sobre la masa del péndulo y la resistencia a la aceleración definida por el momento de inercia. La comparación de esta frecuencia natural con la de un péndulo simple, que consta de una sola masa puntual, proporciona una formulación matemática para el momento de inercia de un cuerpo extenso. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

El momento de inercia también aparece en el momento lineal , la energía cinética y en las leyes del movimiento de Newton para un cuerpo rígido como un parámetro físico que combina su forma y masa. Existe una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento planar y espacial. El movimiento planar tiene un único escalar que define el momento de inercia, mientras que para el movimiento espacial los mismos cálculos producen una matriz de 3 × 3 de momentos de inercia, llamada matriz de inercia o tensor de inercia. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

El momento de inercia de un volante de inercia giratorio se utiliza en una máquina para contrarrestar las variaciones del par aplicado y suavizar su rotación. El momento de inercia de un avión respecto a sus ejes longitudinal, horizontal y vertical determina cómo las fuerzas de dirección aplicadas a las superficies de control de sus alas, elevadores y timón afectan a los movimientos del avión en alabeo, cabeceo y guiñada.

Definición

El momento de inercia se define como el producto de la masa de la sección y el cuadrado de la distancia entre el eje de referencia y el centroide de la sección. Se denota con el símbolo I o J.

Vídeo del experimento de la silla giratoria, que ilustra el momento de inercia. Cuando el profesor que gira mueve los brazos, su momento de inercia disminuye; para conservar el momento angular, su velocidad angular aumenta.

El momento de inercia $I$ también se define como la relación entre el momento angular neto $L$ de un sistema y su velocidad angular $ω$ alrededor de un eje principal, ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} es decir $I={\frac {L}{\omega }}.$

Si el momento angular de un sistema es constante, entonces a medida que el momento de inercia disminuye, la velocidad angular debe aumentar. Esto ocurre cuando los patinadores artísticos que giran recogen sus brazos extendidos o cuando los clavadistas encogen sus cuerpos en una posición de flexión durante un salto para girar más rápido. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Si la forma del cuerpo no cambia, entonces su momento de inercia aparece en la ley de movimiento de Newton como la relación entre un torque aplicado $τ$ sobre un cuerpo y la aceleración angular $α$ alrededor de un eje principal, es decir ^{[ 1 ]}^{: 279}^{[ 2 ]}^{: 261, ec.9-19} $\tau =I\alpha .$

Para un péndulo simple , esta definición produce una fórmula para el momento de inercia $I$ en términos de la masa $m$ del péndulo y su distancia $r$ desde el punto de pivote como, $I=mr^{2}.$

Por lo tanto, el momento de inercia del péndulo depende tanto de la masa $m$ de un cuerpo como de su geometría o forma, definida por la distancia $r$ al eje de rotación.

Esta fórmula sencilla se generaliza para definir el momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria como la suma de todas las masas puntuales elementales $dm,$ cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia perpendicular $r$ a un eje $k$ . Por lo tanto, el momento de inercia de un objeto arbitrario depende de la distribución espacial de su masa.

En general, dado un objeto de masa $m$ , se puede definir un radio efectivo $k , que depende de un eje de rotación particular, con un valor tal que su momento de inercia alrededor del eje sea$ $I=mk^{2},$ donde $k$ se conoce como el radio de giro alrededor del eje.

Ejemplos

péndulo simple

Matemáticamente, el momento de inercia de un péndulo simple es la relación entre el torque debido a la gravedad alrededor del pivote del péndulo y su aceleración angular alrededor de ese punto de pivote. Para un péndulo simple, se encuentra que esto es el producto de la masa de la partícula. $m$ con el cuadrado de su distancia $r$ al pivote, eso es $I=mr^{2}.$

Esto se puede mostrar de la siguiente manera:

La fuerza de gravedad sobre la masa de un péndulo simple genera un torque. ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ alrededor del eje perpendicular al plano del movimiento del péndulo. Aquí $\mathbf {r}$ es el vector de distancia desde el eje de torsión hasta el centro de masa del péndulo, y $\mathbf {F}$ es la fuerza neta sobre la masa. Asociada a este torque hay una aceleración angular , ${\boldsymbol {\alpha }}$ , de la cuerda y la masa alrededor de este eje. Dado que la masa está restringida a un círculo, la aceleración tangencial de la masa es $\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r}$ . Desde $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ La ecuación del par motor se convierte en: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$ dónde $\mathbf {\hat {k}}$ es un vector unitario perpendicular al plano del péndulo. (El penúltimo paso utiliza la expansión del triple producto vectorial con la perpendicularidad de ${\boldsymbol {\alpha }}$ y $\mathbf {r}$ .) La cantidad $I=mr^{2}$ es el momento de inercia de esta masa única alrededor del punto de pivote.

La cantidad $I=mr^{2}$ También aparece en el momento angular de un péndulo simple, que se calcula a partir de la velocidad. $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ de la masa del péndulo alrededor del pivote, donde ${\boldsymbol {\omega }}$ es la velocidad angular de la masa alrededor del punto de pivote. Este momento angular viene dado por ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$ utilizando una derivación similar a la de la ecuación anterior.

De manera similar, la energía cinética de la masa del péndulo se define por la velocidad del péndulo alrededor del pivote para producir $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$

Esto demuestra que la cantidad $I=mr^{2}$ es cómo la masa se combina con la forma de un cuerpo para definir la inercia rotacional. El momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria es la suma de los valores $mr^{2}$ para todos los elementos de masa en el cuerpo.

péndulos compuestos

Un péndulo compuesto es un cuerpo formado por un conjunto de partículas de forma continua que gira rígidamente alrededor de un pivote. Su momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas que lo componen. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{: 395–396}^{[ 17 ]}^{: 51–53} La frecuencia natural ( $\omega _{\text{n}}$ ) de un péndulo compuesto depende de su momento de inercia, $I_{P}$ , $\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$ dónde $m$ es la masa del objeto, $g$ es la aceleración local de la gravedad, y $r$ es la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de masa del objeto. Medir esta frecuencia de oscilación en pequeños desplazamientos angulares proporciona una forma eficaz de medir el momento de inercia de un cuerpo. ^{[ 18 ]}^{: 516–517}

Así, para determinar el momento de inercia del cuerpo, basta con suspenderlo de un punto de pivote adecuado. $P$ de modo que oscile libremente en un plano perpendicular a la dirección del momento de inercia deseado, luego mida su frecuencia natural o período de oscilación ( $t$ ), para obtener $I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},$ dónde $t$ es el período (duración) de oscilación (generalmente promediado sobre varios períodos).

Centro de oscilación

Un péndulo simple que tiene la misma frecuencia natural que un péndulo compuesto define la longitud. $L$ desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación del péndulo compuesto. Este punto también corresponde al centro de percusión . La longitud $L$ se determina a partir de la fórmula, ${\begin{aligned}\omega _{\text{n}}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}&&={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}}\\L&={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}&&={\frac {I_{P}}{mr}}\end{aligned}}$

El péndulo de segundos , que proporciona el "tic" y el "tac" de un reloj de pie , tarda un segundo en oscilar de un lado a otro. Este es un período de dos segundos, o una frecuencia natural de $\pi \ \mathrm {rad/s}$ para el péndulo. En este caso, la distancia al centro de oscilación, $L$ , se puede calcular que sea $L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .$

Nótese que la distancia al centro de oscilación del péndulo de segundos debe ajustarse para adaptarse a diferentes valores de la aceleración local de la gravedad. El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que utiliza esta propiedad para medir la aceleración local de la gravedad y se denomina gravímetro .

Medición del momento de inercia

El momento de inercia de un sistema complejo , como un vehículo o un avión, alrededor de su eje vertical, se puede medir suspendiendo el sistema de tres puntos para formar un péndulo trifilar . Un péndulo trifilar es una plataforma sostenida por tres cables diseñada para oscilar en torsión alrededor de su eje vertical centroidal. ^{[ 19 ]} El período de oscilación del péndulo trifilar proporciona el momento de inercia del sistema. ^{[ 20 ]}

Momento de inercia del área

El momento de inercia de área también se conoce como segundo momento de área y su significado físico es completamente diferente al del momento de inercia de masa.

Estos cálculos se utilizan comúnmente en ingeniería civil para el diseño estructural de vigas y columnas. Áreas de sección transversal calculadas para el momento vertical del eje x. $I_{xx}$ y momento horizontal del eje y $I_{yy}$ .

La altura ( h ) y el ancho ( b ) son medidas lineales, excepto para los círculos, que se derivan efectivamente de la mitad del ancho. $r$

Fórmulas de momentos de áreas seccionales: ^{[ 21 ]}

Cuadrado: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}$
Rectangular: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}$ y; $I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}$
Triangular: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}$
Circular: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}$

Movimiento en un plano fijo

Masa puntual

El momento de inercia respecto a un eje de un cuerpo se calcula sumando $mr^{2}$ para cada partícula del cuerpo, donde $r$ es la distancia perpendicular al eje especificado. Para ver cómo surge el momento de inercia en el estudio del movimiento de un cuerpo extenso, conviene considerar un conjunto rígido de masas puntuales. (Esta ecuación puede utilizarse para ejes que no sean ejes principales, siempre que se entienda que esto no describe completamente el momento de inercia. ^{[ 22 ]} )

Consideremos la energía cinética de un conjunto de $N$ masas $m_{i}$ que se encuentran a las distancias $r_{i}$ desde el punto de pivote $P$ , que es el punto más cercano en el eje de rotación. Es la suma de la energía cinética de las masas individuales, ^{[ 18 ]}^{: 516–517}^{[ 23 ]}^{: 1084–1085}^{[ 23 ]}^{: 1296–1300} $E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

Esto demuestra que el momento de inercia del cuerpo es la suma de cada uno de los $mr^{2}$ términos, es decir $I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

Así pues, el momento de inercia es una propiedad física que combina la masa y la distribución de las partículas alrededor del eje de rotación. Cabe destacar que la rotación de un mismo cuerpo alrededor de diferentes ejes produce diferentes momentos de inercia.

El momento de inercia de un cuerpo continuo que gira alrededor de un eje determinado se calcula de la misma manera, excepto que con un número infinito de partículas puntuales. De este modo, se eliminan los límites de la suma y la suma se escribe como sigue: $I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

Otra expresión reemplaza la suma con una integral , $I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV$

Aquí, la función $\rho$ da la densidad de masa en cada punto $(x,y,z)$ , $\mathbf {r}$ es un vector perpendicular al eje de rotación y que se extiende desde un punto en el eje de rotación hasta un punto $(x,y,z)$ en el sólido, y la integración se evalúa sobre el volumen $V$ del cuerpo $Q$ . El momento de inercia de una superficie plana es similar, pero reemplazando la densidad de masa por su densidad de masa superficial, con la integral evaluada sobre su área.

Nota sobre el segundo momento de área : El momento de inercia de un cuerpo que se mueve en un plano y el segundo momento de área de la sección transversal de una viga a menudo se confunden. El momento de inercia de un cuerpo con la forma de la sección transversal es el segundo momento de esta área con respecto a la $z$ eje perpendicular a la sección transversal, ponderado por su densidad. Esto también se denomina momento polar del área y es la suma de los segundos momentos respecto al $x$ - y $y$ -ejes. ^{[ 24 ]} Las tensiones en una viga se calculan utilizando el segundo momento del área de la sección transversal alrededor de cualquiera de los ejes. $x$ eje o $y$ -eje dependiendo de la carga.

Ejemplos

El momento de inercia de un péndulo compuesto, construido a partir de un disco delgado montado en el extremo de una varilla delgada que oscila alrededor de un pivote en el otro extremo de la varilla, comienza con el cálculo del momento de inercia de la varilla delgada y del disco delgado con respecto a sus respectivos centros de masa. ^{[ 23 ]}

El momento de inercia de una varilla delgada con sección transversal constante $s$ y densidad $\rho$ y con longitud $\ell$ alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa se determina mediante integración. ^{[ 23 ]}^{: 1301} Alinear el $x$ -eje con la varilla y ubicar el origen en su centro de masa en el centro de la varilla, entonces $I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},$ dónde $m=\rho s\ell$ es la masa de la varilla.
El momento de inercia de un disco delgado de espesor constante $s$ radio $R$ y densidad $\rho$ alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su cara (paralelo a su eje de simetría rotacional ) se determina mediante integración. ^{[ 23 ]}^{: 1301} Alinear el $z$ -eje con el eje del disco y definir un elemento de volumen como $dV=sr\,dr\,d\theta$ , entonces $I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =\pi \rho s{\frac {R^{4}}{2}}={\frac {1}{2}}mR^{2},$ dónde $m=\pi R^{2}\rho s$ es su masa.
El momento de inercia del péndulo compuesto se obtiene sumando el momento de inercia de la varilla y del disco alrededor del punto de pivote. $P$ como, $I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$ dónde $L$ es la longitud del péndulo. Nótese que el teorema de los ejes paralelos se utiliza para trasladar el momento de inercia del centro de masa al punto de pivote del péndulo.

Una lista de fórmulas para el momento de inercia en formas corporales estándar permite obtener el momento de inercia de un cuerpo complejo como un conjunto de cuerpos de formas más simples. El teorema de los ejes paralelos se utiliza para trasladar el punto de referencia de cada cuerpo al punto de referencia del conjunto.

Como otro ejemplo, consideremos el momento de inercia de una esfera sólida de densidad constante respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Este se determina sumando los momentos de inercia de los discos delgados que pueden formar la esfera cuyos centros se encuentran a lo largo del eje elegido para su consideración. Si la superficie de la esfera se define mediante la ecuación ^{[ 23 ]}^{: 1301} $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$

entonces el cuadrado del radio $r$ del disco en la sección transversal $z$ a lo largo del $z$ -eje es $r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.$

Por lo tanto, el momento de inercia de la esfera es la suma de los momentos de inercia de los discos a lo largo de la $z$ -eje, ${\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}$ dónde ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$ es la masa de la esfera.

Cuerpo rígido

Los cilindros con mayor momento de inercia ruedan cuesta abajo con menor aceleración, ya que se necesita convertir una mayor parte de su energía potencial en energía cinética de rotación.

Si un sistema mecánico está restringido a moverse paralelamente a un plano fijo, entonces la rotación de un cuerpo en el sistema ocurre alrededor de un eje. $\mathbf {\hat {k}}$ perpendicular a este plano. En este caso, el momento de inercia de la masa en este sistema es un escalar conocido como momento polar de inercia . La definición del momento polar de inercia se puede obtener considerando el momento, la energía cinética y las leyes de Newton para el movimiento planar de un sistema rígido de partículas. ^{[ 15 ]}^{[ 18 ]}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

Si un sistema de $n$ partículas, $P_{i},i=1,\dots ,n$ Si se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces el momento del sistema se puede escribir en términos de posiciones relativas a un punto de referencia. $\mathbf {R}$ y velocidades absolutas $\mathbf {v} _{i}$ : ${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}$ dónde ${\boldsymbol {\omega }}$ es la velocidad angular del sistema y $\mathbf {V}$ es la velocidad de $\mathbf {R}$ .

Para el movimiento planar, el vector de velocidad angular está dirigido a lo largo del vector unitario. $\mathbf {k}$ que es perpendicular al plano de movimiento. Introducimos los vectores unitarios. $\mathbf {e} _{i}$ desde el punto de referencia $\mathbf {R}$ hasta cierto punto $\mathbf {r} _{i}$ y el vector unitario $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ , entonces ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}$

Esto define el vector de posición relativa y el vector de velocidad para el sistema rígido de partículas que se mueven en un plano.

Note on the cross product: When a body moves parallel to a ground plane, the trajectories of all the points in the body lie in planes parallel to this ground plane. This means that any rotation that the body undergoes must be around an axis perpendicular to this plane. Planar movement is often presented as projected onto this ground plane so that the axis of rotation appears as a point. In this case, the angular velocity and angular acceleration of the body are scalars and the fact that they are vectors along the rotation axis is ignored. This is usually preferred for introductions to the topic. But in the case of moment of inertia, the combination of mass and geometry benefits from the geometric properties of the cross product. For this reason, in this section on planar movement the angular velocity and accelerations of the body are vectors perpendicular to the ground plane, and the cross product operations are the same as used for the study of spatial rigid body movement.

Angular momentum

The angular momentum vector for the planar movement of a rigid system of particles is given by^[15]^[18] ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}$

Use the center of mass $\mathbf {C}$ as the reference point so ${\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}$

and define the moment of inertia relative to the center of mass $I_{\mathbf {C} }$ as $I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},$

then the equation for angular momentum simplifies to^[23]^:1028 $\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .$

The moment of inertia $I_{\mathbf {C} }$ about an axis perpendicular to the movement of the rigid system and through the center of mass is known as the polar moment of inertia. Specifically, it is the second moment of mass with respect to the orthogonal distance from an axis (or pole).

For a given amount of angular momentum, a decrease in the moment of inertia results in an increase in the angular velocity. Figure skaters can change their moment of inertia by pulling in their arms. Thus, the angular velocity achieved by a skater with outstretched arms results in a greater angular velocity when the arms are pulled in, because of the reduced moment of inertia. A figure skater is not, however, a rigid body.

Kinetic energy

The kinetic energy of a rigid system of particles moving in the plane is given by^[15]^[18] ${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}$

Let the reference point be the center of mass $\mathbf {C}$ of the system so the second term becomes zero, and introduce the moment of inertia $I_{\mathbf {C} }$ so the kinetic energy is given by^[23]^:1084 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .$

The moment of inertia $I_{\mathbf {C} }$ is the polar moment of inertia of the body.

Newton's laws

Un tractor John Deere de la década de 1920 con el volante de inercia de radios en el motor. El gran momento de inercia del volante suaviza el funcionamiento del tractor.

Leyes de Newton para un sistema rígido de $n$ partículas, $P_{i},i=1,\dots ,n$ , puede escribirse en términos de una fuerza resultante y un par en un punto de referencia. $\mathbf {R}$ , para producir ^{[ 15 ]}^{[ 18 ]} ${\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}$ dónde $\mathbf {r} _{i}$ denota la trayectoria de cada partícula.

La cinemática de un cuerpo rígido proporciona la fórmula para la aceleración de la partícula. $P_{i}$ en términos de la posición $\mathbf {R}$ y aceleración $\mathbf {A}$ de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular. ${\boldsymbol {\omega }}$ y vector de aceleración angular ${\boldsymbol {\alpha }}$ del sistema rígido de partículas como, $\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .$

Para sistemas que están restringidos al movimiento planar, los vectores de velocidad angular y aceleración angular están dirigidos a lo largo del eje y. $\mathbf {\hat {k}}$ perpendicular al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios. $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ desde el punto de referencia $\mathbf {R}$ hasta cierto punto $\mathbf {r} _{i}$ y los vectores unitarios $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ , entonces ${\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}$

Esto produce el par resultante en el sistema como ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$

dónde $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$ , y $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas $P_{i}$ .

Utilice el centro de masa $\mathbf {C}$ como punto de referencia y definir el momento de inercia relativo al centro de masa $I_{\mathbf {C} }$ , entonces la ecuación para el par resultante se simplifica a ^{[ 23 ]}^{: 1029} ${\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .$

Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y la matriz de inercia.

Los momentos escalares de inercia aparecen como elementos de una matriz cuando un sistema de partículas se ensambla en un cuerpo rígido que se mueve en el espacio tridimensional. Esta matriz de inercia aparece en el cálculo del momento angular, la energía cinética y el torque resultante del sistema rígido de partículas. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 27 ]}

Dejemos que el sistema de $n$ partículas, $P_{i},i=1,\dots ,n$ estar ubicado en las coordenadas $\mathbf {r} _{i}$ con velocidades $\mathbf {v} _{i}$ en relación con un marco de referencia fijo. Para un punto de referencia (posiblemente en movimiento). $\mathbf {R}$ , las posiciones relativas son $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$ y las velocidades (absolutas) son $\mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }$ dónde ${\boldsymbol {\omega }}$ es la velocidad angular del sistema, y $\mathbf {V_{R}}$ es la velocidad de $\mathbf {R}$ .

Momento angular

Nótese que el producto vectorial puede escribirse de forma equivalente como una multiplicación de matrices combinando el primer operando y el operador en una matriz antisimétrica. $\left[\mathbf {b} \right]$ , construido a partir de los componentes de $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$ : ${\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

La matriz de inercia se construye considerando el momento angular, con el punto de referencia $\mathbf {R}$ del cuerpo elegido para ser el centro de masa $\mathbf {C}$ : ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}$ donde los términos que contienen $\mathbf {V_{R}}$ ( $=\mathbf {C}$ ) suman cero por definición de centro de masa .

Luego, la matriz antisimétrica $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ obtenido a partir del vector de posición relativa $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ , puede utilizarse para definir, $\mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$ dónde $\mathbf {I_{C}}$ definido por $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},$ es la matriz de inercia simétrica del sistema rígido de partículas medida con respecto al centro de masa $\mathbf {C}$ .

Energía cinética

La energía cinética de un sistema rígido de partículas puede formularse en términos del centro de masa y una matriz de momentos de inercia de masa del sistema. Sea el sistema de $n$ partículas $P_{i},i=1,\dots ,n$ estar ubicado en las coordenadas $\mathbf {r} _{i}$ con velocidades $\mathbf {v} _{i}$ , entonces la energía cinética es ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),$ dónde $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ es el vector de posición de una partícula con respecto a su centro de masa.

Esta ecuación se expande para producir tres términos. $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).$

Dado que el centro de masa se define por $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ , el segundo término de esta ecuación es cero. Introducimos la matriz antisimétrica. $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ por lo que la energía cinética se convierte en ${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}$

Así, la energía cinética del sistema rígido de partículas viene dada por $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$ dónde $\mathbf {I_{C}}$ es la matriz de inercia relativa al centro de masa y $M$ es la masa total.

Par resultante

La matriz de inercia aparece en la aplicación de la segunda ley de Newton a un conjunto rígido de partículas. El torque resultante sobre este sistema es, ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} ${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},$ dónde $\mathbf {a} _{i}$ es la aceleración de la partícula $P_{i}$ La cinemática de un cuerpo rígido proporciona la fórmula para la aceleración de la partícula. $P_{i}$ en términos de la posición $\mathbf {R}$ y aceleración $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }$ del punto de referencia, así como el vector de velocidad angular ${\boldsymbol {\omega }}$ y vector de aceleración angular ${\boldsymbol {\alpha }}$ del sistema rígido como, $\mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.$

Utilice el centro de masa $\mathbf {C}$ como punto de referencia, e introducir la matriz antisimétrica $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ para representar el producto cruzado $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$ para obtener ${\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}$

El cálculo utiliza la identidad $\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,$ obtenido a partir de la identidad de Jacobi para el producto cruzado triple como se muestra en la demostración a continuación:

Prueba

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}$ En la última declaración, $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0$ porque $\mathbf {R}$ está en reposo o moviéndose a velocidad constante pero sin aceleración, o el origen del sistema de referencia de coordenadas fijo (mundial) se sitúa en el centro de masa $\mathbf {C}$ . Y distribuyendo el producto cruzado sobre la suma, obtenemos ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}$

A continuación, se utiliza la siguiente identidad de Jacobi en el último término: ${\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}$

El resultado de aplicar la identidad de Jacobi puede continuarse de la siguiente manera: ${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}$

El resultado final puede sustituirse entonces en la demostración principal de la siguiente manera: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}$

Nótese que para cualquier vector $\mathbf {u}$ Se cumple lo siguiente: ${\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}$

Finalmente, el resultado se utiliza para completar la demostración principal de la siguiente manera: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}$

Por lo tanto, el torque resultante sobre el sistema rígido de partículas viene dado por ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$ dónde $\mathbf {I_{C}}$ es la matriz de inercia relativa al centro de masa.

Teorema de los ejes paralelos

La matriz de inercia de un cuerpo depende de la elección del punto de referencia. Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masa. $\mathbf {C}$ y la matriz de inercia relativa a otro punto $\mathbf {R}$ Esta relación se denomina teorema de los ejes paralelos. ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]}

Consideremos la matriz de inercia. $\mathbf {I_{R}}$ obtenido para un sistema rígido de partículas medido en relación con un punto de referencia $\mathbf {R}$ , dado por $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.$

Dejar $\mathbf {C}$ Si el centro de masa del sistema rígido es, entonces $\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,$ dónde $\mathbf {d}$ es el vector desde el centro de masa $\mathbf {C}$ al punto de referencia $\mathbf {R}$ . Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia, $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.$

Distribuye sobre el producto cruzado para obtener $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$

El primer término es la matriz de inercia $\mathbf {I_{C}}$ relativo al centro de masa. El segundo y tercer término son cero por definición del centro de masa. $\mathbf {C}$ . Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz antisimétrica. $[\mathbf {d} ]$ construido a partir de $\mathbf {d}$ .

El resultado es el teorema de los ejes paralelos, $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},$ dónde $\mathbf {d}$ es el vector desde el centro de masa $\mathbf {C}$ al punto de referencia $\mathbf {R}$ .

Nota sobre el signo menos : Al utilizar la matriz antisimétrica de vectores de posición con respecto al punto de referencia, la matriz de inercia de cada partícula tiene la forma $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$ , que es similar a la $mr^{2}$ que aparece en el movimiento planar. Sin embargo, para que esto funcione correctamente se necesita un signo menos. Este signo menos puede absorberse en el término $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$ , si se desea, utilizando la propiedad de antisimetría de $[\mathbf {r} ]$ .

Momento escalar de inercia en un plano

El momento escalar de inercia, $I_{L}$ , de un cuerpo alrededor de un eje especificado cuya dirección está determinada por el vector unitario $\mathbf {\hat {k}}$ y atraviesa el cuerpo en un punto $\mathbf {R}$ es el siguiente: ^{[ 8 ]} $I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,$ dónde $\mathbf {I_{R}}$ es la matriz de momento de inercia del sistema con respecto al punto de referencia $\mathbf {R}$ , y $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ es la matriz antisimétrica obtenida a partir del vector $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$ .

Esto se deriva de la siguiente manera. Sea un conjunto rígido de $n$ partículas, $P_{i},i=1,\dots ,n$ , tienen coordenadas $\mathbf {r} _{i}$ . Elegir $\mathbf {R}$ como punto de referencia y calcular el momento de inercia alrededor de una línea L definida por el vector unitario $\mathbf {\hat {k}}$ a través del punto de referencia $\mathbf {R}$ , $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$ . El vector perpendicular desde esta línea a la partícula $P_{i}$ se obtiene de $\Delta \mathbf {r} _{i}$ eliminando el componente que se proyecta sobre $\mathbf {\hat {k}}$ . $\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},$ dónde $\mathbf {E}$ es la matriz identidad, para evitar confusiones con la matriz de inercia, y $\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}$ es la matriz de producto exterior formada a partir del vector unitario $\mathbf {\hat {k}}$ a lo largo de la línea $L$ .

Para relacionar este momento escalar de inercia con la matriz de inercia del cuerpo, introducimos la matriz antisimétrica. $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ de tal manera que $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$ , entonces tenemos la identidad $-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},$ señalando que $\mathbf {\hat {k}}$ es un vector unitario.

El cuadrado de la magnitud del vector perpendicular es ${\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}$

La simplificación de esta ecuación utiliza la identidad del producto escalar triple. $\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),$ donde se han intercambiado los productos punto y cruz. Intercambiando productos y simplificando al observar que $\Delta \mathbf {r} _{i}$ y $\mathbf {\hat {k}}$ son ortogonales: ${\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}$

Por lo tanto, el momento de inercia alrededor de la línea $L$ a través de $\mathbf {R}$ en la dirección $\mathbf {\hat {k}}$ se obtiene del cálculo ${\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$ dónde $\mathbf {I_{R}}$ es la matriz de momento de inercia del sistema con respecto al punto de referencia $\mathbf {R}$ .

Esto demuestra que la matriz de inercia puede utilizarse para calcular el momento de inercia de un cuerpo alrededor de cualquier eje de rotación especificado en el cuerpo.

Tensor de inercia

Para un mismo objeto, distintos ejes de rotación tendrán diferentes momentos de inercia respecto a dichos ejes. En general, los momentos de inercia no son iguales a menos que el objeto sea simétrico respecto a todos los ejes. El tensor de inercia es una forma práctica de resumir todos los momentos de inercia de un objeto en una sola magnitud. Puede calcularse con respecto a cualquier punto del espacio, aunque, en la práctica, se suele utilizar el centro de masas.

Definición

Para un objeto rígido de $N$ masas puntuales $m_{k}$ , el tensor de momento de inercia viene dado por $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.$

Sus componentes se definen como $I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)$ dónde

$i$ , $j$ es igual a 1, 2 o 3 para $x$ , $y$ , y $z$ , respectivamente,
$\mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)$ es el vector hacia la masa puntual $m_{k}$ desde el punto sobre el cual se calcula el tensor y
$\delta _{ij}$ es el delta de Kronecker .

Tenga en cuenta que, por definición, $\mathbf {I}$ es un tensor simétrico .

Los elementos diagonales se escriben de forma más concisa como ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ mientras que los elementos fuera de la diagonal, también llamados productos de inercia , son ${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}$

Aquí $I_{xx}$ denota el momento de inercia alrededor del $x$ -eje cuando los objetos giran alrededor del eje x, $I_{xy}$ denota el momento de inercia alrededor del $y$ -eje cuando los objetos giran alrededor del $x$ eje, y así sucesivamente.

Estas cantidades pueden generalizarse a un objeto con masa distribuida, descrito por una función de densidad de masa, de manera similar al momento de inercia escalar. Entonces se tiene $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,$ dónde $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$ es su producto exterior , E ₃ es la matriz identidad de 3×3 y V es una región del espacio que contiene completamente el objeto.

Alternativamente, también se puede escribir en términos del operador de momento angular. $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$ : $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV$

El tensor de inercia se puede utilizar de la misma manera que la matriz de inercia para calcular el momento escalar de inercia respecto a un eje arbitrario en la dirección $\mathbf {n}$ , $I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,$ donde el producto escalar se toma con los elementos correspondientes en los tensores componentes. Un producto de término de inercia como $I_{12}$ se obtiene mediante el cálculo $I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},$ y puede interpretarse como el momento de inercia alrededor del $x$ -eje cuando el objeto gira alrededor del $y$ -eje.

Los componentes de los tensores de segundo grado se pueden ensamblar en una matriz. Para el tensor de inercia, esta matriz viene dada por: ${\begin{aligned}\mathbf {I} &={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\\[2ex]&=\sum _{k=1}^{N}{\begin{bmatrix}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}x_{k}y_{k}&-m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}y_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}z_{k}&-m_{k}y_{k}z_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

En mecánica de cuerpos rígidos es común utilizar una notación que identifique explícitamente el $x$ , $y$ , y $z$ ejes, como $I_{xx}$ y $I_{xy}$ , para los componentes del tensor de inercia.

Convención de inercia alternativa

Algunas aplicaciones CAD y CAE, como SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX y MSC Adams, utilizan una convención alternativa para los productos de inercia. Según esta convención, el signo menos se elimina de las fórmulas del producto de inercia y se inserta en la matriz de inercia: ${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\\[1ex]&=\sum _{k=1}^{N}{\begin{bmatrix}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}x_{k}y_{k}&-m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}y_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}z_{k}&-m_{k}y_{k}z_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Determinar la convención de inercia (método de los ejes principales)

Si se tienen los datos de inercia $(I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})$ Sin conocer la convención de inercia utilizada, se puede determinar si también se dispone de los ejes principales . Con el método de los ejes principales, se construyen matrices de inercia a partir de las dos suposiciones siguientes:

Se ha utilizado la convención de inercia estándar. $(I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})$ .
Se ha utilizado la convención de inercia alternativa. $(I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})$ .

A continuación, se calculan los vectores propios de las dos matrices. La matriz cuyos vectores propios son paralelos a los ejes principales corresponde a la convención de inercia utilizada.

Derivación de los componentes tensoriales

La distancia $r$ de una partícula en $\mathbf {x}$ desde el eje de rotación que pasa por el origen en el $\mathbf {\hat {n}}$ la dirección es $\left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|$ , dónde $\mathbf {\hat {n}}$ es un vector unitario. El momento de inercia en el eje es $I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).$

Reescribe la ecuación usando la transposición de la matriz : $I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,$ donde E _{3 es la}matriz identidad de 3×3 .

Esto conduce a una fórmula tensorial para el momento de inercia. $I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.$

Para múltiples partículas, basta con recordar que el momento de inercia es aditivo para comprobar que esta fórmula es correcta.

Tensor de inercia de traslación

Dejar $\mathbf {I} _{0}$ sea el tensor de inercia de un cuerpo calculado en su centro de masa , y $\mathbf {R}$ Sea el vector de desplazamiento del cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo trasladado con respecto a su centro de masa original viene dado por: $\mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]$ dónde $m$ es la masa del cuerpo, E ₃ es la matriz identidad de 3 × 3 y $\otimes$ es el producto exterior .

Tensor de inercia de rotación

Dejar $\mathbf {R}$ sea la matriz que representa la rotación de un cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo rotado viene dado por: ^{[ 28 ]} $\mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}$

Matriz de inercia en diferentes sistemas de referencia

El uso de la matriz de inercia en la segunda ley de Newton presupone que sus componentes se calculan con respecto a ejes paralelos al sistema de referencia inercial y no con respecto a un sistema de referencia fijo al cuerpo. ^{[ 8 ]}^{[ 25 ]} Esto significa que, a medida que el cuerpo se mueve, las componentes de la matriz de inercia cambian con el tiempo. En cambio, las componentes de la matriz de inercia medidas en un sistema de referencia fijo al cuerpo son constantes.

Estructura del cuerpo

Sea la matriz de inercia del sistema de referencia del cuerpo relativa al centro de masas. $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ y define la orientación del sistema de coordenadas del cuerpo con respecto al sistema de coordenadas inercial mediante la matriz de rotación. $\mathbf {A}$ , de tal manera que, $\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,$ donde vectores $\mathbf {y}$ en el sistema de coordenadas fijo del cuerpo tienen coordenadas $\mathbf {x}$ en el sistema de referencia inercial. Entonces, la matriz de inercia del cuerpo medida en el sistema de referencia inercial viene dada por $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.$

Observa que $\mathbf {A}$ cambia a medida que el cuerpo se mueve, mientras $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ permanece constante.

Ejes principales

Medida en el sistema de referencia del cuerpo, la matriz de inercia es una matriz simétrica real constante. Una matriz simétrica real tiene la descomposición en valores propios en el producto de una matriz de rotación. $\mathbf {Q}$ y una matriz diagonal ${\boldsymbol {\Lambda }}$ , dado por $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},$ dónde ${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.$

Las columnas de la matriz de rotación $\mathbf {Q}$ definen las direcciones de los ejes principales del cuerpo y las constantes $I_{1}$ , $I_{2}$ , y $I_{3}$ se denominan momentos principales de inercia . Este resultado fue demostrado por primera vez por JJ Sylvester (1852) y es una forma de la ley de inercia de Sylvester . ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]} Cuando el cuerpo tiene un eje de simetría (a veces llamado eje de figura o eje de figura ), entonces los otros dos momentos de inercia serán idénticos y cualquier eje perpendicular al eje de simetría será un eje principal.

Un trompo es un ejemplo de cuerpo rígido giratorio, y la palabra «trompo» se utiliza en la denominación de los distintos tipos de cuerpos rígidos. Cuando todos los momentos principales de inercia son diferentes, los ejes principales que pasan por el centro de masa están definidos de forma única y el cuerpo rígido se denomina trompo asimétrico . Si dos momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se denomina trompo simétrico y no existe una única elección para los dos ejes principales correspondientes. Si los tres momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se denomina trompo esférico (aunque no necesariamente esférico) y cualquier eje puede considerarse un eje principal, lo que significa que el momento de inercia es el mismo respecto a cualquier eje.

Los ejes principales suelen estar alineados con los ejes de simetría del objeto. Si un cuerpo rígido tiene un eje de simetría de orden $m$ , lo que significa que es simétrico bajo rotaciones de $360° / m$ alrededor del eje dado, ese eje es un eje principal. Cuando $m>2$ , el cuerpo rígido es un trompo simétrico. Si un cuerpo rígido tiene al menos dos ejes de simetría que no son paralelos ni perpendiculares entre sí, es un trompo esférico, por ejemplo, un cubo o cualquier otro sólido platónico .

El movimiento de los vehículos se describe a menudo en términos de guiñada, cabeceo y balanceo, que generalmente corresponden aproximadamente a rotaciones alrededor de los tres ejes principales. Si el vehículo tiene simetría bilateral, uno de los ejes principales coincidirá exactamente con el eje transversal (cabeceo).

Un ejemplo práctico de este fenómeno matemático es la tarea rutinaria en la industria automotriz de equilibrar un neumático , que básicamente consiste en ajustar la distribución de la masa de una rueda de automóvil de manera que su eje principal de inercia esté alineado con el eje para que la rueda no se tambalee.

Las moléculas en rotación también se clasifican como asimétricas, simétricas o esféricas, y la estructura de sus espectros de rotación es diferente para cada tipo.

elipsoide

{\displaystyle a} — Un elipsoide con los diámetros semiprincipales etiquetados $a$ , $b$ , y $c$ .

La matriz de momento de inercia en coordenadas del sistema de referencia del cuerpo es una forma cuadrática que define una superficie en el cuerpo llamada elipsoide de Poinsot . ^{[ 31 ]} Sea ${\boldsymbol {\Lambda }}$ Sea la matriz de inercia relativa al centro de masa alineado con los ejes principales, entonces la superficie $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,$ o $I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,$ define un elipsoide en el sistema de referencia del cuerpo. Escribe esta ecuación en la forma, $\left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,$ ver que los diámetros semiprincipales de este elipsoide vienen dados por $a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.$

Dejemos un punto $\mathbf {x}$ en este elipsoide se define en términos de su magnitud y dirección, $\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n}$ , dónde $\mathbf {n}$ es un vector unitario. Entonces, la relación presentada anteriormente, entre la matriz de inercia y el momento escalar de inercia $I_{\mathbf {n} }$ alrededor de un eje en la dirección $\mathbf {n}$ , produce $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.$

Por lo tanto, la magnitud de un punto $\mathbf {x}$ en la dirección $\mathbf {n}$ en el elipsoide de inercia es $\|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.$

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

Momento angular y rotación de cuerpos rígidos en dos y tres dimensiones.
Apuntes de clase sobre rotación de cuerpos rígidos y momentos de inercia.
El tensor del momento de inercia
Lección introductoria sobre el momento de inercia: cómo evitar que un poste vertical se caiga (simulación en Java).
Tutorial sobre cómo encontrar momentos de inercia, con problemas y soluciones sobre diversas formas geométricas básicas.
Notas sobre la mecánica de la manipulación: el tensor de inercia angular
Calculadora de momento de inercia online, fácil de usar y gratuita.

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