Divisibilidad infinita

La divisibilidad infinita surge de diversas maneras en filosofía , física , economía , teoría del orden (una rama de las matemáticas) y teoría de la probabilidad (también una rama de las matemáticas). Se puede hablar de divisibilidad infinita, o de su ausencia, de materia , espacio , tiempo , dinero u objetos matemáticos abstractos como el continuo .

El origen de esta idea en la tradición occidental se remonta al siglo V a. C., con el filósofo presocrático griego Demócrito y su maestro Leucipo , quienes teorizaron sobre la divisibilidad de la materia más allá de lo perceptible por los sentidos, hasta llegar a un átomo indivisible. El filósofo indio Maharshi Kanada también propuso una teoría atomista; sin embargo, existe ambigüedad sobre su época, que oscila entre el siglo VI y el siglo II a. C. Alrededor del año 500 a. C., postuló que, al dividir la materia ( padarth ), obtendríamos partículas cada vez más pequeñas. Finalmente, llegaría un momento en que encontraríamos las partículas más pequeñas, más allá de las cuales la división sería imposible. Las denominó Parmanu . Otro filósofo indio, Pakudha Katyayama , desarrolló esta doctrina y afirmó que estas partículas normalmente existen combinadas, dando lugar a diversas formas de materia. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El atomismo se explora en el diálogo Timeo de Platón . Aristóteles demuestra que tanto la longitud como el tiempo son infinitamente divisibles, refutando el atomismo. ^{[ 3 ]} Andrew Pyle ofrece una explicación lúcida de la divisibilidad infinita en las primeras páginas de su Atomismo y sus críticos . Allí muestra cómo la divisibilidad infinita implica la idea de que existe algún elemento extendido , como una manzana, que puede dividirse infinitas veces, donde nunca se divide hasta un punto, o hasta átomos de ningún tipo. Muchos filósofos afirman que la divisibilidad infinita implica una colección de un número infinito de elementos (ya que hay infinitas divisiones, debe haber una colección infinita de objetos), o (más raramente), elementos del tamaño de un punto , o ambos. Pyle afirma que las matemáticas de las extensiones infinitamente divisibles no implican ninguna de estas dos cosas: que hay infinitas divisiones, pero solo colecciones finitas de objetos y que nunca se dividen hasta elementos sin extensión de punto.

En la paradoja de la flecha de Zenón , Zenón se preguntaba cómo puede moverse una flecha si en un momento está aquí e inmóvil y en un momento posterior está en otro lugar e inmóvil.

El razonamiento de Zenón, sin embargo, es falaz cuando afirma que si todo, al ocupar un espacio igual, está en reposo, y si aquello que se mueve ocupa siempre dicho espacio en cada instante, entonces la flecha voladora está inmóvil. Esto es falso, pues el tiempo no se compone de momentos indivisibles, del mismo modo que ninguna otra magnitud se compone de indivisibles. ^{[ 4 ]}

En referencia a la paradoja de Zenón de la flecha en vuelo, Alfred North Whitehead escribe que "un número infinito de actos de devenir pueden tener lugar en un tiempo finito si cada acto subsiguiente es menor en una serie convergente": ^{[ 5 ]}

El argumento, en la medida en que es válido, suscita una contradicción entre las dos premisas: (i) que en un devenir algo ( res vera ) devenir, y (ii) que todo acto de devenir es divisible en secciones anteriores y posteriores que son, a su vez, actos de devenir. Consideremos, por ejemplo, un acto de devenir durante un segundo. El acto es divisible en dos actos: uno durante la primera mitad del segundo y otro durante la segunda mitad. Así, lo que devenir durante todo el segundo presupone lo que devenir durante la primera mitad del segundo. Análogamente, lo que devenir durante la primera mitad del segundo presupone lo que devenir durante el primer cuarto de segundo, y así sucesivamente de forma indefinida. Por lo tanto, si consideramos el proceso de devenir hasta el comienzo del segundo en cuestión y nos preguntamos qué devenir entonces, no se puede dar respuesta. Pues cualquier criatura que indiquemos presupone una criatura anterior que devenir después del comienzo del segundo y con anterioridad a la criatura indicada. Por consiguiente, no hay nada que devenir, de manera que se produzca una transición al segundo en cuestión. ^{[ 5 ]}

Hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica , no se hacía distinción entre la cuestión de si la materia es infinitamente divisible y la cuestión de si la materia se puede dividir en partes más pequeñas hasta el infinito .

Como resultado, la palabra griega átomos ( ἄτομος ), que literalmente significa "indivisible", se suele traducir como "indivisible". Mientras que el átomo moderno es efectivamente divisible, en realidad es indivisible: no hay una partición del espacio tal que sus partes correspondan a partes materiales del átomo. En otras palabras, la descripción cuántico-mecánica de la materia ya no se ajusta al paradigma de la división en piezas. ^{[ 6 ]} Esto arroja nueva luz sobre el antiguo enigma de la divisibilidad de la materia. La multiplicidad de un objeto material —el número de sus partes— depende de la existencia, no de superficies delimitadoras, sino de relaciones espaciales internas (posiciones relativas entre las partes), y estas carecen de valores determinados. Según el Modelo Estándar de la física de partículas, las partículas que componen un átomo —quarks y electrones— son partículas puntuales : no ocupan espacio. Lo que hace que un átomo, a pesar de todo, ocupe espacio no es ninguna "materia" espacialmente extendida que "ocupa espacio" y que podría dividirse en trozos cada vez más pequeños, sino la indeterminación de sus relaciones espaciales internas.

El espacio físico suele considerarse infinitamente divisible: se cree que cualquier región del espacio, por pequeña que sea, puede dividirse aún más. El tiempo también se considera infinitamente divisible.

Sin embargo, según la mejor teoría actualmente aceptada en física, el Modelo Estándar , existe una distancia (llamada longitud de Planck , 1,616229(38)×10⁻³⁵ ^metros , nombrada en honor a uno de los padres de la Teoría Cuántica, Max Planck ) y ^{, por lo tanto, un intervalo de tiempo (el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia en el vacío, 5,39116(13) × 10⁻⁴⁴ segundos} ,  conocido  como tiempo de Planck ) en el que se espera que el Modelo Estándar falle, lo que efectivamente convierte a esta en la escala física más pequeña sobre la que actualmente se pueden hacer afirmaciones significativas. Para predecir el comportamiento físico del espacio-tiempo y las partículas fundamentales a distancias más pequeñas se requiere una nueva teoría de la Gravedad Cuántica , que unifique las teorías hasta ahora incompatibles de la Mecánica Cuántica y la Relatividad General.

Un dólar , o un euro , se divide en 100 centavos; solo se puede pagar en fracciones de centavo. Es bastante común que los precios de algunos productos básicos, como la gasolina, se calculen en fracciones de centavo por galón o por litro. Si la gasolina cuesta $3.979 por galón y se compran 10 galones, entonces las 9/10 de centavo adicionales se multiplican por diez: 9 centavos adicionales, por lo que en ese caso se paga el centavo. El dinero es infinitamente divisible en el sentido de que se basa en el sistema de números reales. Sin embargo, las monedas modernas no son divisibles (en el pasado, algunas monedas se pesaban con cada transacción y se consideraban divisibles sin un límite específico). Existe un punto de precisión en cada transacción que resulta inútil porque cantidades tan pequeñas de dinero son insignificantes para los humanos. Cuanto más se multiplica el precio, más importante podría ser la precisión. Por ejemplo, al comprar un millón de acciones, el comprador y el vendedor podrían estar interesados ​​en una diferencia de precio de una décima de centavo, pero es solo una cuestión de elección. Todo lo demás en la medición y la toma de decisiones empresariales es igualmente divisible en la medida en que las partes estén interesadas. Por ejemplo, los informes financieros pueden presentarse anualmente, trimestralmente o mensualmente. Algunos gerentes de negocios generan informes de flujo de efectivo más de una vez al día.

Aunque el tiempo sea infinitamente divisible, los datos sobre precios de valores se registran en momentos específicos. Por ejemplo, si se consultan los registros de precios de acciones de la década de 1920, se pueden encontrar los precios al final de cada día, pero quizás no a las tres centésimas de segundo después de las 12:47 p. m. Sin embargo, un nuevo método, en teoría, podría registrar los datos al doble de velocidad, lo que no impediría un aumento adicional en la frecuencia de los informes. Paradójicamente, las matemáticas técnicas aplicadas a los mercados financieros suelen ser más sencillas si se utiliza el tiempo infinitamente divisible como aproximación. Incluso en esos casos, se elige una precisión con la que trabajar y las mediciones se redondean a esa aproximación. En términos de interacción humana, el dinero y el tiempo son divisibles, pero solo hasta el punto en que una mayor división deja de tener valor, punto que no se puede determinar con exactitud.

Decir que el cuerpo de los números racionales es infinitamente divisible (es decir, denso desde el punto de vista de la teoría del orden ) significa que entre dos números racionales cualesquiera existe otro número racional. Por el contrario, el anillo de los enteros no es infinitamente divisible.

La divisibilidad infinita no implica ausencia de brechas: los racionales no poseen la propiedad de cota superior mínima . Esto significa que si se dividieran los racionales en dos conjuntos no vacíos A y B, donde A contiene todos los racionales menores que algún número irracional ( por ejemplo, π ) y B todos los racionales mayores que él, entonces A no tiene el elemento mayor y B no tiene el elemento menor. El cuerpo de los números reales , en cambio, es infinitamente divisible y no tiene brechas. Cualquier conjunto linealmente ordenado que sea infinitamente divisible y no tenga brechas, y que tenga más de un elemento, es infinitamente no numerable . Para una demostración, véase la primera demostración de no numerabilidad de Cantor . La divisibilidad infinita por sí sola implica infinitud, pero no no numerabilidad, como lo ejemplifican los números racionales.

Decir que una distribución de probabilidad F en la recta real es infinitamente divisible significa que si X es cualquier variable aleatoria cuya distribución es F , entonces para cada entero positivo n existen n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas X ₁ , ..., X _n cuya suma es igual en distribución a X (esas otras n variables aleatorias no suelen tener la misma distribución de probabilidad que X ).

La distribución de Poisson , la distribución de Poisson con tartamudeo, la distribución binomial negativa y la distribución gamma son ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, al igual que la distribución normal , la distribución de Cauchy y todas las demás distribuciones estables . La distribución normal asimétrica es un ejemplo de distribución no infinitamente divisible. (Véase Domínguez-Molina y Rocha-Arteaga (2007)).

Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de forma natural a un proceso de Lévy , es decir, un proceso estocástico { X _t  : t ≥ 0 } con incrementos independientes estacionarios ( estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de X _t − X _s depende solo de t − s ; incrementos independientes significa que esa diferencia es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s , t ], y de forma similar para cualquier número finito de intervalos).

Este concepto de divisibilidad infinita de las distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti .

• Grupo divisible , un grupo matemático en el que cada elemento es un múltiplo arbitrario de algún otro elemento.
• Distribución indescomponible
• Rebanar salami
• Las paradojas de Zenón

• Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Sobre la divisibilidad infinita de algunas distribuciones simétricas asimétricas". Statistics and Probability Letters , 77 (6), 644 – 648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014

• Anidamiento jerárquico infinito de la materia (traducción de la página de Wikipedia en ruso)