Transformación infinitesimal

En matemáticas , una transformación infinitesimal es una forma límite de una transformación pequeña . Por ejemplo, se puede hablar de una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional. Esto se representa convencionalmente mediante una matriz antisimétrica de 3×3, A. No es la matriz de una rotación real en el espacio, sino que para valores reales pequeños de un parámetro ε, la transformación

${\displaystyle T=I+\varepsilon A}$

es una pequeña rotación, hasta cantidades del orden de ε ² .

La teoría integral de las transformaciones infinitesimales fue presentada por primera vez por Sophus Lie . Esta teoría constituyó el núcleo de su trabajo sobre lo que hoy se conoce como grupos de Lie y sus álgebras de Lie asociadas , así como la identificación de su papel en la geometría y, especialmente, en la teoría de ecuaciones diferenciales . Las propiedades de un álgebra de Lie abstracta son precisamente las que definen las transformaciones infinitesimales, del mismo modo que los axiomas de la teoría de grupos incorporan la simetría . El término "álgebra de Lie" fue introducido en 1934 por Hermann Weyl para referirse a lo que hasta entonces se conocía como el álgebra de las transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie.

Por ejemplo, en el caso de rotaciones infinitesimales, la estructura del álgebra de Lie es la que proporciona el producto vectorial , una vez que se ha identificado una matriz antisimétrica con un vector tridimensional. Esto equivale a elegir un vector eje para las rotaciones; la identidad de Jacobi que las define es una propiedad bien conocida de los productos vectoriales.

El primer ejemplo de una transformación infinitesimal que pudo haber sido reconocida como tal se encuentra en el teorema de Euler sobre funciones homogéneas . En él se afirma que una función F de n variables x ₁ , ..., x _n que es homogénea de grado r , satisface

${\displaystyle \Theta F=rF\,}$

con

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},}$

el operador Theta . Es decir, a partir de la propiedad

${\displaystyle F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,}$

Es posible diferenciar con respecto a λ y luego establecer λ igual a 1. Esto se convierte entonces en una condición necesaria para que una función suave F tenga la propiedad de homogeneidad; también es suficiente (al usar distribuciones de Schwartz se pueden reducir las consideraciones de análisis matemático en este caso). Esta configuración es típica, ya que hay un grupo de escalas de un parámetro en funcionamiento; y la información está codificada en una transformación infinitesimal que es un operador diferencial de primer orden .

La ecuación del operador

${\displaystyle e^{tD}f(x)=f(x+t)\,}$

dónde

${\displaystyle D={d \over dx}}$

es una versión de operador del teorema de Taylor — y por lo tanto solo es válido bajo salvedades sobre que f sea una función analítica . Concentrándonos en la parte de operador, muestra que D es una transformación infinitesimal, que genera traslaciones de la recta real a través de la exponencial . En la teoría de Lie, esto se generaliza mucho. Cualquier grupo de Lie conexo puede construirse mediante sus generadores infinitesimales (una base para el álgebra de Lie del grupo); con información explícita, aunque no siempre útil, dada en la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

• "Álgebra de Lie" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen , traducción al inglés de DH Delphenich, §8, enlace de Física neoclásica.