Operador diferencial

En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido como una función del operador de diferenciación . Para empezar, resulta útil considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra (al estilo de una función de orden superior en informática ).

Este artículo considera principalmente operadores diferenciales lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarz .

Dado un entero no negativo m , un orden-${\displaystyle m}$El operador diferencial lineal es una aplicación.${\displaystyle P}$desde un espacio de funciones${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a otro espacio funcional${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$que se puede escribir como:

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ dónde${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$es un índice múltiple de enteros no negativos ,${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$y para cada uno${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$es una función en algún dominio abierto en un espacio n -dimensional. El operador${\displaystyle D^{\alpha }}$se interpreta como

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Por lo tanto, para una función${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$:

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

La notación${\displaystyle D^{\alpha }}$está justificado (es decir, independientemente del orden de diferenciación) debido a la simetría de las segundas derivadas .

El polinomio p obtenido al reemplazar parciales${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$por variables${\displaystyle \xi _{i}}$En P se llama símbolo total de P ; es decir, el símbolo total de P anterior es: $${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _ {|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ dónde${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$El componente homogéneo más alto del símbolo, a saber,

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

se denomina símbolo principal de P. ^{[ 1} ] Mientras que el símbolo total no está intrínsecamente definido, el símbolo principal sí lo está (es decir, es una función en el fibrado cotangente) ^{. [ 2 ]}

De forma más general, sean E y F haces vectoriales sobre una variedad X. Entonces el operador lineal

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

es un operador diferencial de orden${\displaystyle k}$si, en coordenadas locales en X , tenemos

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{términos de orden inferior}}}$

donde, para cada multiíndice α,${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$es un mapa de fibrado , simétrico en los índices α.

Los coeficientes de orden k de ^P se transforman como un tensor simétrico.

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

cuyo dominio es el producto tensorial de la k - ^ésima potencia simétrica del fibrado cotangente de X con E , y cuyo codominio es F. Este tensor simétrico se conoce como el símbolo principal (o simplemente el símbolo ) de P.

El sistema de coordenadas x ⁱ permite una trivialización local del fibrado cotangente mediante los diferenciales de coordenadas d x ⁱ , que determinan las coordenadas de la fibra ξ _i . En términos de una base de marcos e _μ , f _ν de E y F , respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

en cada sección u de E. Aquí P _νμ es el operador diferencial escalar definido por

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

Con esta trivialización, ahora se puede escribir el símbolo principal.

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X , el símbolo${\displaystyle \sigma _{P}}$define un polinomio homogéneo de grado k en${\displaystyle T_{x}^{*}X}$con valores en${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$.

Un operador diferencial P y su símbolo aparecen naturalmente en relación con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea ƒ una función de Schwartz . Entonces, mediante la transformada inversa de Fourier,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Esto muestra a P como un multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x ,ξ) que satisfacen como máximo condiciones de crecimiento polinomial en ξ bajo las cuales esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudodiferenciales .

• El operador diferencial${\displaystyle P}$es elíptica si su símbolo es invertible; es decir, para cada distinto de cero${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$el mapa del paquete${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$es invertible. En una variedad compacta , se deduce de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm : tiene núcleo y conúcleo de dimensión finita.
• En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas , los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial.
• En las aplicaciones a las ciencias físicas, operadores como el operador de Laplace desempeñan un papel fundamental en el planteamiento y la resolución de ecuaciones diferenciales parciales .
• En topología diferencial , los operadores de derivada exterior y de derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
• En álgebra abstracta , el concepto de derivación permite generalizaciones de operadores diferenciales que no requieren el uso del cálculo. Estas generalizaciones se emplean frecuentemente en geometría algebraica y álgebra conmutativa . Véase también Jet (matemáticas) .
• En el desarrollo de funciones holomorfas de una variable compleja z = x + i y , a veces se considera que una función compleja es una función de dos variables reales x e y . Se utilizan las derivadas de Wirtinger , que son operadores diferenciales parciales:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$Este enfoque también se utiliza para estudiar funciones de varias variables complejas y funciones de una variable motora .
• El operador diferencial del , también llamado nabla , es un importante operador diferencial vectorial . Aparece frecuentemente en física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell . En coordenadas cartesianas tridimensionales , del se define como

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del define el gradiente y se utiliza para calcular el rotacional , la divergencia y el laplaciano de varios objetos.

• Un operador diferencial quiral . Por ahora, vea

El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800. ^{[ 3 ]}

El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:

${\displaystyle {d \over dx}}$,${\displaystyle D}$,${\displaystyle D_{x},}$y${\displaystyle \partial _{x}}$.

Al tomar derivadas de orden superior, n , el operador se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$,${\displaystyle D^{n}}$,${\displaystyle D_{x}^{n}}$, o${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$.

La derivada de una función f con respecto a un argumento x se expresa a veces de alguna de las siguientes maneras:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

El uso y la creación de la notación D se atribuyen a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

en su estudio de ecuaciones diferenciales .

Uno de los operadores diferenciales que se ven con más frecuencia es el operador laplaciano , definido por

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Otro operador diferencial es el operador Θ, u operador theta , definido por ^{[ 4 ].}

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

A esto también se le llama a veces operador de homogeneidad , porque sus funciones propias son los monomios en z : $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

En n variables, el operador de homogeneidad viene dado por $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

Como en una variable, los autoespacios de Θ son los espacios de funciones homogéneas . ( Teorema de Euler sobre la función homogénea )

En la escritura, siguiendo la convención matemática común, el argumento de un operador diferencial se suele colocar a la derecha del operador. A veces se utiliza una notación alternativa: El resultado de aplicar el operador a la función del lado izquierdo y del lado derecho, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones de ambos lados, se denotan mediante flechas como sigue:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Esta notación de flechas bidireccionales se utiliza con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.

Dado un operador diferencial lineal${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$ El adjunto de este operador se define como el operador${\displaystyle T^{*}}$de tal manera que $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ donde la notación${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$Se utiliza para el producto escalar o producto interno . Por lo tanto, esta definición depende de la definición del producto escalar (o producto interno).

La diferenciación es lineal , es decir

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

donde f y g son funciones, y a es una constante.

Cualquier polinomio en D con coeficientes de función es también un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales mediante la regla

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Se requiere entonces cierta precaución: en primer lugar, cualquier coeficiente de función en el operador D ₂ debe ser diferenciable tantas veces como lo requiera la aplicación de D _1. Para obtener un anillo de tales operadores, debemos asumir derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo : un operador gD no es, en general, lo mismo que Dg . Por ejemplo, tenemos la relación básica en mecánica cuántica :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Se puede caracterizar de otra manera: consta de los operadores invariantes bajo traslación.

Los operadores diferenciales también obedecen el teorema de desplazamiento .

En geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es conveniente tener una descripción independiente de coordenadas de los operadores diferenciales entre dos haces vectoriales . Sean E y F dos haces vectoriales sobre una variedad diferenciable M. Se dice que una aplicación R -lineal de secciones P  : Γ( E ) → Γ( F ) es un operador diferencial lineal de orden k si se factoriza a través del haz de jets J ^k ( E ). En otras palabras, existe una aplicación lineal de haces vectoriales

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

de tal manera que

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

donde j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) es la prolongación que asocia a cualquier sección de E su k -jet .

Esto significa que, para una sección dada s de E , el valor de P ( s ) en un punto x  ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x . En particular, esto implica que P ( s )( x ) está determinado por el germen de s en x , lo que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre, que demuestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial. 

• Freed, Daniel S. (1987), Geometría de los operadores de Dirac , pág.  8, CiteSeerX 10.1.1.186.8445 
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol.  256, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 .
• Schapira, Pierre (1985). Sistemas microdiferenciales en el dominio complejo . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  269. Saltador. doi : 10.1007/978-3-642-61665-5 . ISBN 978-3-642-64904-2.
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• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "Fórmulas analíticas de índices para operadores de esquina elípticos" . Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899– 982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310 . 
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

• Contenido multimedia relacionado con los operadores diferenciales en Wikimedia Commons.
• "Operador diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]