Infinitesimal

En matemáticas , un número infinitesimal es una cantidad distinta de cero que está más cerca de cero que cualquier número real distinto de cero . La palabra infinitesimal proviene de un término latino moderno del siglo XVII , infinitesimus , que originalmente se refería al elemento " infinito " en una secuencia .

Los infinitesimales no existen en el sistema numérico real estándar, pero sí existen en otros sistemas numéricos, como el sistema numérico surrealista y el sistema numérico hiperreal , que pueden considerarse como los números reales aumentados con cantidades tanto infinitesimales como infinitas; los aumentos son los recíprocos entre sí.

Los números infinitesimales se introdujeron en el desarrollo del cálculo , donde la derivada se concibió inicialmente como una razón entre dos cantidades infinitesimales. Esta definición no se formalizó rigurosamente . Con el desarrollo del cálculo, los infinitesimales fueron reemplazados por límites , que pueden calcularse utilizando los números reales estándar.

En el siglo III a. C., Arquímedes utilizó lo que posteriormente se conocería como el método de los indivisibles en su obra El método de los teoremas mecánicos para encontrar áreas de regiones y volúmenes de sólidos. ^{[ 1 ]} En sus tratados formales publicados, Arquímedes resolvió el mismo problema utilizando el método de agotamiento .

Los infinitesimales recuperaron popularidad en el siglo XX con el desarrollo del análisis no estándar y los números hiperreales por parte de Abraham Robinson , que, tras siglos de controversia, demostraron que era posible un tratamiento formal del cálculo infinitesimal. Posteriormente, los matemáticos desarrollaron los números surrealistas, una formalización relacionada de los números infinitos e infinitesimales que incluye tanto los números cardinales hiperreales como los ordinales, que es el cuerpo ordenado más grande .

Vladimir Arnold escribió en 1990:

Hoy en día, al enseñar análisis, no es muy común hablar de cantidades infinitesimales. En consecuencia, los estudiantes actuales no dominan completamente este lenguaje. Sin embargo, sigue siendo necesario dominarlo. ^{[ 2 ]}

Una idea para hacer que los infinitesimales fueran entidades matemáticas factibles fue que aún podían conservar ciertas propiedades como el ángulo o la pendiente , incluso si estas entidades eran infinitamente pequeñas. ^{[ 3 ]}

Los infinitesimales son un ingrediente básico del cálculo desarrollado por Leibniz , incluyendo la ley de continuidad y la ley trascendental de homogeneidad . En lenguaje común, un objeto infinitesimal es un objeto más pequeño que cualquier medida factible, pero distinto de cero; es decir, tan pequeño que no se puede distinguir de cero por ningún medio disponible. Por lo tanto, cuando se usa como adjetivo en matemáticas, infinitesimal significa infinitamente pequeño, menor que cualquier número real estándar. Los infinitesimales se comparan frecuentemente con otros infinitesimales de tamaño similar, como al examinar la derivada de una función. Un número infinito de infinitesimales se suman para calcular una integral .

El concepto moderno de infinitesimales fue introducido alrededor de 1670 por Nicolaus Mercator o Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[ 4 ]} El siglo XV vio el trabajo de Nicolás de Cusa , desarrollado posteriormente en el siglo XVII por Johannes Kepler , en particular, el cálculo del área de un círculo representándolo como un polígono de infinitos lados. El trabajo de Simon Stevin sobre la representación decimal de todos los números en el siglo XVI preparó el terreno para el continuo real. El método de indivisibles de Bonaventura Cavalieri condujo a una extensión de los resultados de los autores clásicos. El método de indivisibles se relacionaba con las figuras geométricas como compuestas de entidades de codimensión 1. Los infinitesimales de John Wallis se diferenciaban de los indivisibles en que descomponía las figuras geométricas en bloques de construcción infinitamente delgados de la misma dimensión que la figura, preparando el terreno para los métodos generales del cálculo integral. Utilizó un valor infinitesimal, denotado como 1/∞, en los cálculos de área.

El uso de infinitesimales por Leibniz se basaba en principios heurísticos, como la ley de continuidad: lo que funciona para los números finitos funciona también para los infinitos y viceversa; y la ley trascendental de homogeneidad que especifica procedimientos para reemplazar expresiones que involucran cantidades no asignables por expresiones que involucran solo cantidades asignables. El siglo XVIII vio el uso rutinario de infinitesimales por matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange . Augustin-Louis Cauchy explotó los infinitesimales tanto para definir la continuidad en su Cours d'Analyse como para definir una forma temprana de una función delta de Dirac . Mientras Cantor y Dedekind desarrollaban versiones más abstractas del continuo de Stevin, Paul du Bois-Reymond escribió una serie de artículos sobre continuos enriquecidos con infinitesimales basados ​​en tasas de crecimiento de funciones. El trabajo de Du Bois-Reymond inspiró tanto a Émile Borel como a Thoralf Skolem . Borel vinculó explícitamente el trabajo de du Bois-Reymond con el de Cauchy sobre las tasas de crecimiento de los infinitesimales. Skolem desarrolló los primeros modelos no estándar de aritmética en 1934. Abraham Robinson logró una implementación matemática tanto de la ley de continuidad como de los infinitesimales en 1961, desarrollando el análisis no estándar basado en trabajos previos de Edwin Hewitt en 1948 y Jerzy Łoś en 1955. Los hiperreales implementan un continuo enriquecido con infinitesimales y el principio de transferencia implementa la ley de continuidad de Leibniz. La función parte estándar implementa la desigualdad de Fermat .

La noción de cantidades infinitesimales fue discutida por la Escuela Eleática . El matemático griego Arquímedes (c.  287  a. C. – c.  212  a. C.), en El método de los teoremas mecánicos , fue el primero en proponer una definición lógicamente rigurosa de infinitesimales. ^{[ 5 ]} Su propiedad arquimediana define un número x como infinito si satisface las condiciones | x | > 1, | x | > 1 + 1, | x | > 1 + 1 + 1, ..., e infinitesimal si x ≠ 0 y un conjunto similar de condiciones se cumple para x y los recíprocos de los enteros positivos. Se dice que un sistema numérico es arquimediano si no contiene elementos infinitos o infinitesimales.

El matemático inglés John Wallis introdujo la expresión 1/∞ en su libro de 1655, Tratado de las secciones cónicas . El símbolo, que denota el recíproco o inverso de ∞ , es la representación simbólica del concepto matemático de infinitesimal. En su Tratado de las secciones cónicas , Wallis también analiza la relación entre la representación simbólica del infinitesimal 1/∞ que introdujo y el concepto de infinito, para el cual también introdujo el símbolo ∞. Este concepto sugiere un experimento mental : sumar un número infinito de paralelogramos de ancho infinitesimal para formar un área finita. Este concepto fue el precursor del método moderno de integración utilizado en el cálculo integral . Los orígenes conceptuales del concepto de infinitesimal 1/∞ se remontan al filósofo griego Zenón de Elea , cuya paradoja de la dicotomía de Zenón fue el primer concepto matemático en considerar la relación entre un intervalo finito y un intervalo que se aproxima al de un intervalo de tamaño infinitesimal.  

Los infinitesimales fueron objeto de controversias políticas y religiosas en la Europa del siglo XVII, incluyendo una prohibición de los infinitesimales emitida por clérigos en Roma en 1632. ^{[ 6 ]}

Antes de la invención del cálculo, los matemáticos podían calcular líneas tangentes utilizando el método de adecuación de Pierre de Fermat y el método de normales de René Descartes . Existe un debate entre los estudiosos sobre si el método era infinitesimal o algebraico. Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo , utilizaron infinitesimales, las fluxiones de Newton y el diferencial de Leibniz . El obispo Berkeley criticó el uso de infinitesimales por considerarlo incorrecto en su obra El analista . ^{[ 7 ]} Matemáticos, científicos e ingenieros continuaron utilizando infinitesimales para obtener resultados correctos. En la segunda mitad del siglo XIX, el cálculo fue reformulado por Augustin-Louis Cauchy , Bernard Bolzano , Karl Weierstrass , Cantor , Dedekind y otros, utilizando la definición (ε, δ) de límite y teoría de conjuntos . Mientras que los seguidores de Cantor, Dedekind y Weierstrass intentaron eliminar los infinitesimales del análisis, y sus aliados filosóficos como Bertrand Russell y Rudolf Carnap declararon que los infinitesimales son pseudoconceptos , Hermann Cohen y su escuela de neokantismo de Marburgo buscaron desarrollar una lógica funcional de los infinitesimales. ^{[ 8 ]} El estudio matemático de sistemas que contienen infinitesimales continuó a través del trabajo de Levi-Civita , Giuseppe Veronese , Paul du Bois-Reymond y otros, a lo largo de finales del siglo XIX y el siglo XX, como documenta Philip Ehrlich (2006). En el siglo XX, se descubrió que los infinitesimales podían servir como base para el cálculo y el análisis (véase números hiperreales ).

In extending the real numbers to include infinite and infinitesimal quantities, one typically wishes to be as conservative as possible by not changing any of their elementary properties. This guarantees that as many familiar results as possible are still available. Typically, elementary means that there is no quantification over sets, but only over elements. This limitation allows statements of the form "for any number x..." For example, the axiom that states "for any number x, x + 0 = x" would still apply. The same is true for quantification over several numbers, e.g., "for any numbers x and y, xy = yx." However, statements of the form "for any set S of numbers ..." may not carry over. Logic with this limitation on quantification is referred to as first-order logic.

The resulting extended number system cannot agree with the reals on all properties that can be expressed by quantification over sets, because the goal is to construct a non-Archimedean system, and the Archimedean principle can be expressed by quantification over sets. One can conservatively extend any theory including reals, including set theory, to include infinitesimals, just by adding a countably infinite list of axioms that assert that a number is smaller than 1/2, 1/3, 1/4, and so on. Similarly, the completeness property cannot be expected to carry over, because the reals are the unique complete ordered field up to isomorphism.

There are three categories in which a non-Archimedean number system could have first-order properties compatible with those of the reals:

1. An ordered field obeys all the usual axioms of the real number system that can be stated in first-order logic. For example, the commutativity axiom x + y = y + x holds.
2. A real closed field has all the first-order properties of the real number system, regardless of whether they are usually taken as axiomatic, for statements involving the basic ordered-field relations +, ×, and ≤. This is a stronger condition than obeying the ordered-field axioms. More specifically, one includes additional first-order properties, such as the existence of a root for every odd-degree polynomial. For example, every number must have a cube root.
3. El sistema podría poseer todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales para expresiones que involucren cualquier relación (independientemente de si dichas relaciones pueden expresarse mediante  +,  × y  ≤). Por ejemplo, tendría que existir una función seno bien definida para un número infinito de entradas; lo mismo ocurre con cualquier función real.

Los sistemas de la categoría 1, situados en el extremo más débil del espectro, son relativamente fáciles de construir, pero no permiten un tratamiento completo del análisis clásico mediante infinitesimales, al estilo de Newton y Leibniz. Por ejemplo, las funciones trascendentales se definen en términos de procesos límite infinitos, por lo que, en general, no existe una forma de definirlas en lógica de primer orden. Al aumentar la fuerza analítica del sistema, pasando a las categorías  2 y  3, observamos que el enfoque tiende a ser menos constructivo y resulta más difícil afirmar algo concreto sobre la estructura jerárquica de los infinitos y los infinitesimales.

Cauchy utilizó un infinitesimal${\displaystyle \alpha }$escribir un impulso unitario, una función delta de tipo Dirac infinitamente alta y estrecha${\displaystyle \delta _{\alpha }}$satisfactorio${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$En varios artículos de 1827, véase Laugwitz (1989). Cauchy definió un infinitesimal en 1821 (Cours d'Analyse) en términos de una sucesión que tiende a cero. Es decir, dicha sucesión nula se convierte en un infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot .

Los enfoques modernos de la teoría de conjuntos permiten definir infinitesimales mediante la construcción de ultrapotencia , donde una secuencia nula se convierte en un infinitesimal en el sentido de una clase de equivalencia módulo una relación definida en términos de un ultrafiltro adecuado . El artículo de Yamashita (2007) contiene bibliografía sobre funciones delta de Dirac modernas en el contexto de un continuo enriquecido con infinitesimales proporcionado por los hiperreales .

El método para construir infinitesimales del tipo utilizado en el análisis no estándar depende del modelo y del conjunto de axiomas que se empleen. Aquí consideramos sistemas en los que se puede demostrar la existencia de infinitesimales.

En 1936 Maltsev demostró el teorema de compacidad . Este teorema es fundamental para la existencia de infinitesimales, ya que prueba que es posible formalizarlos. Una consecuencia de este teorema es que si hay un sistema numérico en el que es cierto que para cualquier entero positivo n hay un número positivo x tal que 0  < x < 1/ n , entonces existe una extensión de ese sistema numérico en la que es cierto que existe un número positivo x tal que para cualquier entero positivo n tenemos 0 < x < 1/ n . La posibilidad de intercambiar "para cualquier" y "existe" es crucial. La primera afirmación es cierta en los números reales como se da en la teoría de conjuntos ZFC : para cualquier entero positivo n es posible encontrar un número real entre 1/ n y cero, pero este número real depende de n . Aquí, se elige n inicialmente, luego se encuentra el x correspondiente . En la segunda expresión, se afirma que existe un x (al menos uno), elegido inicialmente, que se encuentra entre 0 y 1/ n para cualquier n . En este caso, x es infinitesimal. Esto no se cumple en los números reales ( R ) dados por ZFC. Sin embargo, el teorema demuestra que existe un modelo (un sistema numérico) en el que esto sí se cumple. La pregunta es: ¿cuál es este modelo? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Existe un único modelo de este tipo?       

Hay muchas maneras de construir un conjunto de números ordenados linealmente unidimensionales , pero existen dos enfoques fundamentalmente diferentes:

1. Ampliar el sistema numérico de manera que contenga más números que los números reales.
2. Extender los axiomas (o extender el lenguaje) de manera que la distinción entre infinitesimales y no infinitesimales pueda hacerse en los propios números reales.

En 1960, Abraham Robinson ofreció una respuesta siguiendo el primer enfoque. El conjunto extendido se denomina hiperreal y contiene números con un valor absoluto menor que cualquier número real positivo. El método puede considerarse relativamente complejo, pero demuestra la existencia de infinitesimales en el universo de la teoría de conjuntos ZFC. Los números reales se denominan números estándar y los nuevos hiperreales no reales se denominan no estándar .

En 1977, Edward Nelson ofreció una respuesta siguiendo el segundo enfoque. Los axiomas extendidos son IST, que significa Teoría Interna de Conjuntos o las iniciales de los tres axiomas adicionales: Idealización, Estandarización y Transferencia. En este sistema, consideramos que el lenguaje se extiende de tal manera que podemos expresar hechos sobre infinitesimales. Los números reales son estándar o no estándar. Un infinitesimal es un número real no estándar que, en valor absoluto, es menor que cualquier número real positivo estándar.

En 2006, Karel Hrbacek desarrolló una extensión del enfoque de Nelson en la que los números reales se estratifican en (infinitos) niveles; es decir, en el nivel más grueso no hay infinitesimales ni números ilimitados. Los infinitesimales se encuentran en un nivel más fino, y también existen infinitesimales con respecto a este nuevo nivel, y así sucesivamente.

Los libros de texto de cálculo basados ​​en infinitesimales incluyen el clásico Cálculo simplificado de Silvanus P. Thompson (que lleva el lema "Lo que un tonto puede hacer, otro puede" ^{[ 15 ]} ) y el texto alemán Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie de R. Neuendorff. ^{[ 16 ]}

Entre las obras pioneras basadas en los infinitesimales de Abraham Robinson se incluyen textos de Stroyan (que datan de 1972) y Howard Jerome Keisler ( Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach ). Los estudiantes se relacionan fácilmente con la noción intuitiva de una diferencia infinitesimal 1 - " 0,999... ", donde "0,999..." difiere de su significado estándar como el número real 1, y se reinterpreta como un decimal extendido infinito que termina y es estrictamente menor que 1. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Otro texto de cálculo elemental que utiliza la teoría de los infinitesimales desarrollada por Robinson es *Cálculo infinitesimal* de Henle y Kleinberg, publicado originalmente en 1979. ^{[ 19 ]} Los autores introducen el lenguaje de la lógica de primer orden y demuestran la construcción de un modelo de primer orden de los números hiperreales. El texto ofrece una introducción a los fundamentos del cálculo integral y diferencial en una dimensión, incluyendo sucesiones y series de funciones. En un apéndice, también abordan la extensión de su modelo a los hiperreales y demuestran algunas aplicaciones del modelo extendido.

Un texto de cálculo elemental basado en el análisis infinitesimal suave es Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.

Un texto de cálculo más reciente que utiliza infinitesimales es el de Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

En un sentido relacionado pero algo diferente, que evolucionó a partir de la definición original de "infinitesimal" como una cantidad infinitamente pequeña, el término también se ha utilizado para referirse a una función que tiende a cero. Más precisamente, el Cálculo Avanzado de Loomis y Sternberg define la clase de funciones infinitesimales,${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$, como un subconjunto de funciones${\displaystyle f:V\to W}$entre espacios vectoriales normados por

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$,

así como dos clases relacionadas${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$(ver notación Big-O ) por

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$, y

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$. ^{[ 20 ]}

El conjunto incluye${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$Generalmente se cumplen. Que las inclusiones son apropiadas se demuestra mediante las funciones de valor real de una variable real.${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$,${\displaystyle g:x\mapsto x}$, y${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$:

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$pero${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$y${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$.

Como aplicación de estas definiciones, se realiza un mapeo.${\displaystyle F:V\to W}$entre espacios vectoriales normados se define como diferenciable en${\displaystyle \alpha \in V}$si hay un${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$[es decir, un mapa lineal acotado]${\displaystyle V\to W}$] tal que

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

en un barrio de${\displaystyle \alpha }$. Si existe tal mapa, es único; este mapa se llama diferencial y se denota por${\displaystyle dF_{\alpha }}$, ^{[ 21 ]} coincidiendo con la notación tradicional para la noción clásica (aunque lógicamente defectuosa) de diferencial como una "pieza" infinitamente pequeña de F . Esta definición representa una generalización de la definición usual de diferenciabilidad para funciones con valores vectoriales de (subconjuntos abiertos de) espacios euclidianos.

Dejar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$Sea un espacio de probabilidad y sea${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Una matriz${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$de variables aleatorias se llama infinitesimal si para cada${\displaystyle \epsilon >0}$, tenemos: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

La noción de arreglo infinitesimal es esencial en algunos teoremas del límite central y se ve fácilmente por la monotonicidad del operador de esperanza que cualquier arreglo que satisfaga la condición de Lindeberg es infinitesimal, jugando así un papel importante en el Teorema del Límite Central de Lindeberg (una generalización del teorema del límite central ).