Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Infinidad

El triángulo de Sierpiński contiene infinitas copias (a escala reducida) de sí mismo. El infinito es algo que no tiene límites, es ilimitado o es infinito. Se denota con ∞ , lla...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
El triángulo de Sierpiński contiene infinitas copias (a escala reducida) de sí mismo.

El infinito es algo que no tiene límites, es ilimitado o es infinito. Se denota con ∞ , llamado símbolo de infinito .

Desde la época de los antiguos griegos , la naturaleza filosófica del infinito ha sido objeto de debate. En el siglo XVII, con la introducción del símbolo de infinito [ 1 ] y el cálculo infinitesimal , los matemáticos comenzaron a trabajar con series infinitas y lo que algunos matemáticos (incluidos l'Hôpital y Bernoulli ) [ 2 ] consideraban cantidades infinitesimalmente pequeñas, pero el infinito continuó asociándose con procesos sin fin. Mientras los matemáticos lidiaban con los fundamentos del cálculo , seguía sin estar claro si el infinito podía considerarse como un número o una magnitud y, de ser así, cómo podría hacerse. [ 1 ] A finales del siglo XIX, Georg Cantor amplió el estudio matemático del infinito al estudiar conjuntos infinitos y números infinitos , demostrando que pueden ser de diversos tamaños. [ 1 ] [ 3 ] Por ejemplo, si una línea se considera como el conjunto de todos sus puntos, su número infinito (es decir, la cardinalidad de la línea) es mayor que el número de enteros . [ 4 ] En este uso, el infinito es un concepto matemático, y los objetos matemáticos infinitos pueden estudiarse, manipularse y utilizarse como cualquier otro objeto matemático.

El concepto matemático de infinito refina y extiende el antiguo concepto filosófico, en particular al introducir infinitos tamaños diferentes de conjuntos infinitos. Entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , sobre los que se desarrolla gran parte de las matemáticas modernas, se encuentra el axioma de infinito , que garantiza la existencia de conjuntos infinitos. [ 1 ] El concepto matemático de infinito y la manipulación de conjuntos infinitos se utilizan ampliamente en matemáticas, incluso en áreas como la combinatoria , que aparentemente no tienen nada que ver con ellos.

En física y cosmología , sigue siendo una cuestión abierta si el universo es espacialmente infinito o no .

Historia

Las culturas antiguas tenían diversas ideas sobre la naturaleza del infinito. Los antiguos indios y griegos no definieron el infinito con un formalismo preciso como lo hacen las matemáticas modernas, sino que lo abordaron como un concepto filosófico.

Griego primitivo

La idea más antigua registrada de infinito en Grecia podría ser la de Anaximandro (c. 610 – c. 546 a. C.), filósofo griego presocrático . Utilizó la palabra apeiron , que significa «ilimitado», «indefinido» y que quizás pueda traducirse como «infinito». [ 1 ] [ 5 ]

Aristóteles (350 a. C.) distinguió el infinito potencial del infinito actual , que consideraba imposible debido a las diversas paradojas que parecía producir. [ 6 ] Se ha argumentado que, en consonancia con esta visión, los griegos helenísticos tenían un «horror del infinito» [ 7 ] [ 8 ] que explicaría, por ejemplo, por qué Euclides (c. 300 a. C.) no dijo que hay un infinito de números primos, sino más bien «Los números primos son más que cualquier multitud asignada de números primos». [ 9 ] También se ha sostenido que, al demostrar la infinitud de los números primos , Euclides «fue el primero en superar el horror del infinito». [ 10 ] Existe una controversia similar en torno al postulado paralelo de Euclides , a veces traducido:

Si una línea recta que cae sobre otras dos líneas rectas forma ángulos internos en el mismo lado [de sí misma] cuya suma es menor que dos ángulos rectos, entonces las otras dos líneas rectas, al prolongarse hasta el infinito, se encuentran en ese lado [de la línea recta original] donde la [suma de los ángulos internos] es menor que dos ángulos rectos. [ 11 ]

Otros traductores, sin embargo, prefieren la traducción «las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente...» [ 12 ] , evitando así la implicación de que Euclides se sintiera cómodo con la noción de infinito. Finalmente, se ha sostenido que una reflexión sobre el infinito, lejos de suscitar un «horror al infinito», subyacía a toda la filosofía griega temprana y que el «infinito potencial» de Aristóteles es una aberración de la tendencia general de este período. [ 13 ]

Zenón: Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea ( c. 495 – c. 430  a. C.) no formuló ninguna idea sobre el infinito. Sin embargo, sus paradojas, [ 14 ] especialmente «Aquiles y la tortuga», fueron contribuciones importantes, ya que evidenciaron la insuficiencia de las concepciones populares. Bertrand Russell describió las paradojas como «inmensurablemente sutiles y profundas». [ 15 ]

Aquiles compite en una carrera contra una tortuga, dándole a esta última una ventaja inicial.

  • Paso #1: Aquiles corre hacia el punto de partida de la tortuga mientras esta camina hacia adelante.
  • Paso #2: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso #1, mientras que la tortuga avanza aún más lejos.
  • Paso #3: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso #2, mientras que la tortuga avanza aún más lejos.
  • Paso #4: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso #3, mientras que la tortuga avanza aún más lejos.

Y esto continúa infinitamente. Básicamente,

  • Paso #(n+1): Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso #n, mientras que la tortuga avanza aún más lejos.

Por lo visto, Aquiles nunca alcanza a la tortuga, ya que por muchos pasos que dé, la tortuga siempre va por delante de él.

Zenón no pretendía demostrar nada sobre el infinito. Como miembro de la escuela eleática , que consideraba el movimiento una ilusión, veía como un error suponer que Aquiles pudiera correr. Pensadores posteriores, al encontrar esta solución inaceptable, se esforzaron durante más de dos milenios por hallar otras debilidades en el argumento.

Finalmente, en 1821, Augustin-Louis Cauchy proporcionó una definición satisfactoria de límite y una prueba de que, para 0 < x < 1 , [ 16 ]a+aincógnita+aincógnita2+aincógnita3+aincógnita4+aincógnita5+⋯=a1−incógnita.{\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}

Supongamos que Aquiles corre a 10 metros por segundo, la tortuga camina a 0,1 metros por segundo y esta última tiene una ventaja inicial de 100 metros. La duración de la persecución se ajusta al patrón de Cauchy con a = 10 segundos y x = 0,01 . Aquiles alcanza a la tortuga; esta tarda...

10+0.1+0,001+0,00001+⋯{\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }=101−0,01=100,99=10.10101… artículos de segunda clase.{\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ segundos}}.}

Los primeros indios

El texto matemático jainista Surya Prajnapti (c. siglos IV-III a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables , innumerables e infinitos. Cada uno de estos se subdividió a su vez en tres órdenes: [ 17 ]

  • Enumerable: más bajo, intermedio y más alto
  • Innumerables: casi innumerables, verdaderamente innumerables e innumerables veces innumerables.
  • Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito

siglo XVII

En el siglo XVII, los matemáticos europeos comenzaron a utilizar números infinitos y expresiones infinitas de forma sistemática. En 1655, John Wallis utilizó por primera vez la notación.∞{\displaystyle \infty }para tal número en su De sectionibus conicis , [ 18 ] y lo explotó en cálculos de área dividiendo la región en franjas infinitesimales de ancho del orden de1∞.{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}[ 19 ] Pero enArithmetica infinitorum(1656), [ 20 ] indica series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas escribiendo algunos términos o factores y luego agregando "&c.", como en "1, 6, 12, 18, 24, &c." [ 21 ]

En 1699, Isaac Newton escribió sobre ecuaciones con un número infinito de términos en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . [ 22 ]

Símbolo

El símbolo del infinito∞{\displaystyle \infty }(a veces llamada lemniscata ) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito. El símbolo está codificado en Unicode como U+221E ∞ INFINITY ( & infin; ) [ 23 ] y en LaTeX como . [ 24 ]\infty

Fue introducida en 1655 por John Wallis , [ 25 ] [ 26 ] y desde su introducción, también se ha utilizado fuera de las matemáticas en el misticismo moderno [ 27 ] y la simbología literaria . [ 28 ]

Cálculo

Gottfried Leibniz , uno de los coinventores del cálculo infinitesimal , especuló extensamente sobre los números infinitos y su uso en matemáticas. Para Leibniz, tanto los infinitesimales como las cantidades infinitas eran entidades ideales, no de la misma naturaleza que las cantidades apreciables, pero que gozaban de las mismas propiedades de acuerdo con la Ley de continuidad . [ 29 ] [ 2 ]

Análisis real

En análisis real , el símbolo∞{\displaystyle \infty }, llamado "infinito", se utiliza para denotar un límite no acotado . [ 30 ] No es un número real en sí mismo. La notaciónincógnita→∞{\displaystyle x\rightarrow \infty }significa que incógnita{\displaystyle x}aumenta sin límite yincógnita→−∞{\displaystyle x\to -\infty }significa que incógnita{\displaystyle x}disminuye sin límite. Por ejemplo, siF(t)≥0{\displaystyle f(t)\geq 0}por cada t{\displaystyle t}, entonces [ 31 ]

  • ∫abF(t)dt=∞{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }significa queF(t){\displaystyle f(t)}no delimita un área finita dea{\displaystyle a}ab.{\displaystyle b.}
  • ∫−∞∞F(t)dt=∞{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }significa que el área bajoF(t){\displaystyle f(t)}es infinito.
  • ∫−∞∞F(t)dt=a{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}significa que el área total bajoF(t){\displaystyle f(t)}es finito y es igual aa.{\displaystyle a.}

El término infinito también puede utilizarse para describir series infinitas , como sigue:

  • ∑i=0∞F(i)=a{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}significa que la suma de la serie infinita converge a algún valor real.a.{\displaystyle a.}
  • ∑i=0∞F(i)=∞{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }significa que la suma de la serie infinita diverge propiamente al infinito, en el sentido de que las sumas parciales aumentan sin límite. [ 32 ]

Además de definir un límite, el infinito también puede usarse como un valor en el sistema de números reales extendido. Puntos etiquetados+∞{\displaystyle +\infty }y−∞{\displaystyle -\infty }se puede agregar al espacio topológico de los números reales, produciendo la compactificación de dos puntos de los números reales. Agregar propiedades algebraicas a esto nos da los números reales extendidos . [ 33 ] También podemos tratar+∞{\displaystyle +\infty }y−∞{\displaystyle -\infty }como lo mismo, lo que lleva a la compactificación de un punto de los números reales, que es la línea proyectiva real . [ 34 ] La geometría proyectiva también se refiere a una línea en el infinito en geometría plana, un plano en el infinito en el espacio tridimensional y un hiperplano en el infinito para dimensiones generales , cada uno compuesto por puntos en el infinito . [ 35 ]

Análisis complejo

Mediante proyección estereográfica , el plano complejo puede "envolverse" sobre una esfera, cuyo vértice superior corresponde al infinito. Esto se denomina esfera de Riemann .

En el análisis complejo el símbolo∞{\displaystyle \infty }, llamado "infinito", denota un límite infinito sin signo . La expresiónincógnita→∞{\displaystyle x\rightarrow \infty }significa que la magnitud |incógnita|{\displaystyle |x|}de incógnita{\displaystyle x}crece más allá de cualquier valor asignado. Un punto etiquetado∞{\displaystyle \infty }se puede agregar al plano complejo como un espacio topológico que da la compactificación de un punto del plano complejo. Cuando esto se hace, el espacio resultante es una variedad compleja unidimensional , o superficie de Riemann , llamada plano complejo extendido o esfera de Riemann . [ 36 ] También se pueden definir operaciones aritméticas similares a las dadas anteriormente para los números reales extendidos, aunque no hay distinción en los signos (lo que lleva a la única excepción de que el infinito no se puede sumar a sí mismo). Por otro lado, este tipo de infinito permite la división por cero , a saberz/0=∞{\displaystyle z/0=\infty }para cualquier número complejo distinto de cero z{\displaystyle z}. En este contexto, a menudo es útil considerar las funciones meromorfas como aplicaciones en la esfera de Riemann que toman el valor de∞{\displaystyle \infty }en los polos. El dominio de una función de valores complejos puede extenderse para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius (véase Transformación de Möbius § Introducción ).

Análisis no estándar

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la recta numérica hiperreal (1/ε = ω/1)

La formulación original del cálculo infinitesimal de Isaac Newton y Gottfried Leibniz utilizaba cantidades infinitesimales. En la segunda mitad del siglo XX, se demostró que este tratamiento podía fundamentarse rigurosamente mediante diversos sistemas lógicos , incluyendo el análisis infinitesimal suave y el análisis no estándar . En este último, los infinitesimales son invertibles y sus inversos son números infinitos. Los infinitos en este sentido forman parte de un cuerpo hiperreal ; no existe equivalencia entre ellos como con los transfinitos cantorianos . Por ejemplo, si  H es un número infinito en este sentido, entonces H  +  H  =  2H y H  +  1 son números infinitos distintos. Este enfoque del cálculo no estándar se desarrolla completamente en Keisler (1986) .

teoría de conjuntos

Correspondencia biunívoca entre un conjunto infinito y su subconjunto propio.

Otra forma de «infinito» son los infinitos ordinales y cardinales de la teoría de conjuntos, un sistema de números transfinitos desarrollado inicialmente por Georg Cantor . En este sistema, el primer cardinal transfinito es aleph-nulo ( ℵ₀ ), la cardinalidad del conjunto de los números naturales . Esta concepción matemática moderna del infinito cuantitativo se desarrolló a finales del siglo XIX a partir de las obras de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros, utilizando la idea de colecciones o conjuntos. [ 1 ]

El enfoque de Dedekind consistió esencialmente en adoptar la idea de correspondencia biunívoca como estándar para comparar el tamaño de los conjuntos, y rechazar la visión de Galileo (derivada de Euclides ) de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. (Sin embargo, véase la paradoja de Galileo, donde este concluye que los enteros positivos no pueden compararse con el subconjunto de los cuadrados positivos , ya que ambos son conjuntos infinitos). Un conjunto infinito puede definirse simplemente como aquel que tiene el mismo tamaño que al menos uno de sus subconjuntos propios (un subconjunto estrictamente menor); esta noción de infinito se denomina infinito de Dedekind . El diagrama de la derecha ofrece un ejemplo: al considerar las líneas como conjuntos infinitos de puntos, la mitad izquierda de la línea azul inferior puede mapearse biunívocamente (correspondencias verdes) a la línea azul superior y, a su vez, a toda la línea azul inferior (correspondencias rojas); por lo tanto, toda la línea azul inferior y su mitad izquierda tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo "tamaño". [ 37 ]

Cantor definió dos tipos de números infinitos: números ordinales y números cardinales . Los números ordinales caracterizan conjuntos bien ordenados , o el conteo continuado hasta cualquier punto de parada, incluyendo puntos posteriores a que ya se haya contado un número infinito. La generalización de secuencias finitas e infinitas (ordinarias) que son funciones de los enteros positivos conduce a funciones de números ordinales a secuencias transfinitas. Los números cardinales definen el tamaño de los conjuntos, es decir, cuántos elementos contienen, y pueden estandarizarse eligiendo el primer número ordinal de un tamaño determinado para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los enteros positivos, y cualquier conjunto que tenga la cardinalidad de los enteros es numerablemente infinito .

Si un conjunto es demasiado grande para establecer una correspondencia biunívoca con los enteros positivos, se le llama incontable . El teorema de Cantor demostró además que no existe un cardinal mayor, lo que significa que para cada conjunto infinito, existe un conjunto mayor. Cantor proclamó que la colección de todos los conjuntos tenía un infinito absoluto inconmensurable , que identificó con Dios. [ 38 ] [ 39 ] Aunque inicialmente controvertidas , las ideas de Cantor prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan el infinito real como parte de una teoría consistente y coherente. [ 40 ]

La teoría de los números ordinales y cardinales se ha desarrollado aún más desde Cantor, y actualmente se estudian en lógica matemática los ordinales contables grandes y los cardinales grandes . [ 41 ]

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuodo{\displaystyle \mathbf {c} }es mayor que el de los números naturalesℵ0{\displaystyle {\aleph _{0}}}; es decir, hay más números reales R que números naturales N. Concretamente, Cantor demostró quedo=2ℵ0>ℵ0{\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}. [ 42 ]

La hipótesis del continuo afirma que no existe ningún número cardinal entre la cardinalidad de los números reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir,do=ℵ1=ℶ1{\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}.

Esta hipótesis no puede probarse ni refutarse dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ampliamente aceptada , incluso asumiendo el Axioma de Elección . [ 43 ]

La aritmética cardinal puede utilizarse para demostrar no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta , sino también que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita . [ 44 ]

Los tres primeros pasos de una construcción fractal cuyo límite es una curva que llena el espacio , mostrando que hay tantos puntos en una línea unidimensional como en un cuadrado bidimensional.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia biunívoca entre el intervalo ( − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ) y R .

El segundo resultado fue demostrado por Cantor en  1878, pero solo se hizo intuitivamente evidente en  1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se retuercen y giran lo suficiente como para llenar por completo cualquier cuadrado, cubo , hipercubo o espacio de dimensión finita. Estas curvas pueden usarse para definir una correspondencia biunívoca entre los puntos de un lado de un cuadrado y los puntos del cuadrado. [ 45 ]

Geometría

Hasta finales del siglo XIX, el concepto de infinito rara vez se discutía en geometría , salvo en el contexto de procesos que podían continuarse sin límite alguno. Por ejemplo, una línea era lo que hoy llamamos un segmento de línea , con la salvedad de que se podía extender tanto como se quisiera; pero extenderla infinitamente era impensable. Del mismo modo, una línea no se consideraba compuesta por infinitos puntos, sino simplemente un lugar donde se podía colocar un punto. Aunque existieran infinitas posiciones posibles, solo se podía colocar un número finito de puntos sobre una línea. Prueba de ello es la expresión «el lugar geométrico de un punto que satisface alguna propiedad» (singular), mientras que los matemáticos modernos suelen decir «el conjunto de puntos que poseen dicha propiedad» (plural).

Una de las raras excepciones a un concepto matemático que involucra el infinito real fue la geometría proyectiva , donde se agregan puntos en el infinito al espacio euclidiano para modelar el efecto de perspectiva que muestra líneas paralelas que se intersecan "en el infinito". Matemáticamente, los puntos en el infinito tienen la ventaja de permitir omitir algunos casos especiales. Por ejemplo, en un plano proyectivo , dos líneas distintas se intersecan en un solo punto, mientras que sin puntos en el infinito, no hay puntos de intersección para líneas paralelas. Por lo tanto, las líneas paralelas y no paralelas deben estudiarse por separado en la geometría clásica, mientras que no es necesario distinguirlas en la geometría proyectiva.

Antes de que la teoría de conjuntos se utilizara como fundamento de las matemáticas , los puntos y las líneas se consideraban entidades distintas, y un punto podía ubicarse sobre una línea . Con la generalización de la teoría de conjuntos en matemáticas, la perspectiva ha cambiado drásticamente: ahora una línea se considera como el conjunto de sus puntos , y se dice que un punto pertenece a una línea en lugar de que está ubicado sobre una línea (aunque esta última expresión todavía se usa).

En particular, en matemáticas modernas, las líneas son conjuntos infinitos .

Dimensión infinita

Los espacios vectoriales que aparecen en la geometría clásica siempre tienen una dimensión finita , generalmente dos o tres. Sin embargo, esto no se deduce de la definición abstracta de espacio vectorial, y pueden considerarse espacios vectoriales de dimensión infinita. Este es el caso típico en el análisis funcional, donde los espacios de funciones suelen ser espacios vectoriales de dimensión infinita.

En topología, algunas construcciones pueden generar espacios topológicos de dimensión infinita. En particular, este es el caso de los espacios de bucles iterados .

Fractales

La estructura de un objeto fractal se reitera en sus ampliaciones. Los fractales pueden ampliarse indefinidamente sin perder su estructura ni volverse "suaves"; tienen perímetros infinitos y áreas infinitas o finitas. Un ejemplo de curva fractal con perímetro infinito y área finita es el copo de nieve de Koch . [ 46 ]

Finitismo

Leopold Kronecker se mostró escéptico ante la noción de infinito y la forma en que sus colegas matemáticos la utilizaban en las décadas de 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas denominada finitismo , una forma extrema de filosofía matemática dentro de las escuelas filosóficas y matemáticas generales del constructivismo y el intuicionismo . [ 47 ]

Lógica

En lógica , un argumento de regresión infinita es "un tipo de argumento distintivamente filosófico que pretende demostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando (forma  A) no existe tal serie o (forma  B) si existiera, la tesis carecería del papel (por ejemplo,  de justificación) que se supone que debe desempeñar". [ 48 ]

En lógica de primer orden , tanto el teorema de compacidad como los teoremas de Löwenheim-Skolem se utilizan para construir modelos no estándar con ciertas propiedades infinitas.

Aplicaciones

Física

En física , se utilizan aproximaciones de números reales para mediciones continuas y números naturales para mediciones discretas (es decir, para contar). Existen conceptos de cosas infinitas, como una onda plana infinita , pero no hay medios experimentales para generarlas. [ 49 ]

Cosmología

La primera propuesta publicada de que el universo es infinito provino de Thomas Digges en 1576. [ 50 ] Ocho años después, en 1584, el filósofo y astrónomo italiano Giordano Bruno propuso un universo ilimitado en Sobre el universo y los mundos infinitos : «Existen innumerables soles; innumerables tierras giran alrededor de estos soles de manera similar a como los siete planetas giran alrededor de nuestro sol. Los seres vivos habitan estos mundos». [ 51 ]

Los cosmólogos llevan mucho tiempo intentando descubrir si existe el infinito en nuestro universo físico : ¿Hay un número infinito de estrellas? ¿Tiene el universo un volumen infinito? ¿El espacio se extiende infinitamente ? Esta sigue siendo una cuestión abierta en cosmología . La cuestión de la infinitud es lógicamente distinta de la cuestión de la existencia de límites. La superficie bidimensional de la Tierra, por ejemplo, es finita, pero no tiene borde. Al viajar en línea recta con respecto a la curvatura de la Tierra, uno eventualmente regresará al punto exacto de partida. El universo, al menos en principio, podría tener una topología similar . De ser así, uno podría eventualmente regresar a su punto de partida después de viajar en línea recta a través del universo durante el tiempo suficiente. [ 52 ]

La curvatura del universo puede medirse mediante momentos multipolares en el espectro de la radiación cósmica de fondo . Hasta la fecha, el análisis de los patrones de radiación registrados por la nave espacial WMAP sugiere que el universo tiene una topología plana. Esto sería consistente con un universo físico infinito. [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]

Sin embargo, el universo podría ser finito, incluso si su curvatura es plana. Una forma sencilla de entender esto es considerar ejemplos bidimensionales, como los videojuegos donde los objetos que salen de un borde de la pantalla reaparecen en el otro. La topología de estos juegos es toroidal y la geometría es plana. También existen muchas posibilidades planas y acotadas para el espacio tridimensional. [ 56 ]

El concepto de infinito también se extiende a la hipótesis del multiverso , que, según explican astrofísicos como Michio Kaku , postula que existe un número y variedad infinitos de universos. [ 57 ] Asimismo, los modelos cíclicos postulan una cantidad infinita de Big Bangs , lo que resulta en una variedad infinita de universos después de cada evento de Big Bang en un ciclo infinito. [ 58 ]

Computación

El estándar de punto flotante IEEE (IEEE 754) especifica un valor infinito positivo y uno negativo (y también valores indefinidos ). Estos se definen como el resultado de un desbordamiento aritmético , una división por cero y otras operaciones excepcionales. [ 59 ]

Algunos lenguajes de programación , como Java [ 60 ] y J [ 61 ], permiten al programador un acceso explícito a los valores infinitos positivos y negativos como constantes del lenguaje. Estos pueden usarse como elementos mayor y menor , ya que comparan (respectivamente) valores mayores o menores que todos los demás. Tienen usos como valores centinela en algoritmos que implican ordenación , búsqueda o ventanas .

En lenguajes que no tienen elementos máximo y mínimo, pero sí permiten la sobrecarga de operadores relacionales , un programador puede crearlos . En lenguajes que no proporcionan acceso explícito a dichos valores desde el estado inicial del programa, pero sí implementan el tipo de dato de punto flotante , los valores infinitos aún pueden ser accesibles y utilizables como resultado de ciertas operaciones.

En programación, un bucle infinito es un bucle cuya condición de salida nunca se cumple, por lo que se ejecuta indefinidamente.

Artes, juegos y ciencias cognitivas

El arte de la perspectiva utiliza el concepto de puntos de fuga , que corresponden aproximadamente a puntos matemáticos en el infinito , ubicados a una distancia infinita del observador. Esto permite a los artistas crear pinturas que representan de forma realista el espacio, las distancias y las formas. [ 62 ] El artista M. C. Escher es particularmente conocido por emplear el concepto de infinito en su obra de esta y otras maneras. [ 63 ]

Las variantes del ajedrez que se juegan en un tablero ilimitado se denominan ajedrez infinito . [ 64 ] [ 65 ]

El científico cognitivo George Lakoff considera el concepto de infinito en matemáticas y ciencias como una metáfora. Esta perspectiva se basa en la metáfora básica del infinito  (MBI), definida como la secuencia siempre creciente <1, 2, 3, …>. [ 66 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 Allen, G Donald (2003). "3 El surgimiento del cálculo". La historia del infinito (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Texas A&M . pág.  7. Archivado del original (PDF) el 1 de agosto de 2020. Recuperado el 15 de noviembre de 2019 .
  2. 1 2 Jesseph, Douglas Michael (1998-05-01). "Leibniz sobre los fundamentos del cálculo: la cuestión de la realidad de las magnitudes infinitesimales" . Perspectives on Science. 6 (1&2): 6–40. doi: 10.1162/posc_a_00543. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. S2CID 118227996. Archivado del original el 11 de enero de 2012. Recuperado el 1 de noviembre de 2019 a través de Project MUSE .   
  3. ↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June (2008). The Princeton companion to mathematics . Imre Leader, Princeton University. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8OCLC 659590835​​ 
  4. ↑ Maddox 2002 , págs. 113–117
  5. ↑ Wallace 2004 , pág. 44 
  6. ↑ Aristóteles. Física . Traducido por Hardie, RP; Gaye, RK. Archivo de Clásicos de Internet. Libro 3, capítulos 5–8.
  7. ↑ Goodman, Nicolas D. (1981). «Reflexiones sobre la filosofía de las matemáticas de Bishop». En Richman, F. (ed.). Matemáticas constructivas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 873. Springer. pp. 135–145 . doi : 10.1007/BFb0090732 . ISBN   978-3-540-10850-4.
  8. ↑ Maor, pág. 3
  9. ↑ Sarton, George (marzo de 1928). " Los trece libros de los Elementos de Euclides . Thomas L. Heath, Heiberg" . Isis . 10 (1): 60– 62. doi : 10.1086/346308 . ISSN 0021-1753 – vía The University of Chicago Press Journals. 
  10. ↑ Hutten, Ernest Hirschlaff (1962). Los orígenes de la ciencia; una investigación sobre los fundamentos del pensamiento occidental . Archivo de Internet. Londres, Allen and Unwin. págs. 1–241 . Consultado el 9 de enero de 2020 . 
  11. ↑ Euclides (2008) [c. 300 a. C.]. Elementos de geometría de Euclides (PDF) . Traducido por Richard Fitzpatrick. Lulu.com. pág. 6 (Libro I, Postulado 5). ISBN  978-0-6151-7984-1.
  12. ↑ Heath, Sir Thomas Little ; Heiberg, Johan Ludvig (1908). Los trece libros de los Elementos de Euclides . Vol. v. 1. The University Press. pág. 212.  
  13. ↑ Drozdek, Adam (2008).En el principio era el Apeiron : el infinito en la filosofía griega. Stuttgart, Alemania: Franz Steiner Verlag. ISBN 978-3-515-09258-6.
  14. ↑ "Las paradojas de Zenón" . Universidad de Stanford . 15 de octubre de 2010. Consultado el 3 de abril de 2017 .
  15. ↑ Russell 1996 , pág. 347 
  16. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1821). Curso de Análisis de la Escuela Real Politécnica . Libraires du Roi y de la Bibliothèque du Roi. pag. 124 . Consultado el 12 de octubre de 2019 . 
  17. ↑ Ian Stewart (2017). Infinity: a Very Short Introduction . Oxford University Press. p. 117. ISBN  978-0-19-875523-4Archivado del original el 3 de abril de 2017 .
  18. ↑ Cajori, Florian (2007). Historia de las notaciones matemáticas . Vol. 1. Cosimo, Inc. pág. 214. ISBN   9781602066854.
  19. ↑ Cajori 1993 , art. 421, vol. II, pág. 44
  20. ↑ «Arithmetica Infinitorum» .
  21. ↑ Cajori 1993 , art. 435, vol. II, pág. 58
  22. ↑ Grattan-Guinness, Ivor (2005). Obras fundamentales de las matemáticas occidentales 1640-1940 . Elsevier. pág. 62. ISBN  978-0-08-045744-4Archivado del original el 3 de junio de 2016 .Extracto de la página 62
  23. ↑ AG, Compart. "Carácter Unicode "∞" (U+221E)" . Compart.com . Consultado el 15 de noviembre de 2019 .
  24. ↑ "Lista de símbolos matemáticos de LaTeX - OeisWiki" . oeis.org . Consultado el 15 de noviembre de 2019 .
  25. ↑ Scott, Joseph Frederick (1981), La obra matemática de John Wallis, DD, FRS, (1616–1703) (2.ª ed.), American Mathematical Society , p. 24, ISBN   978-0-8284-0314-6Archivado del original el 9 de mayo de 2016 .
  26. ↑ Martin-Löf, Per (1990), "Matemáticas del infinito", COLOG-88 (Tallin, 1988) , Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlín: Springer, pp. 146–197 , doi : 10.1007/3-540-52335-9_54 , ISBN   978-3-540-52335-2, MR 1064143 
  27. ↑ O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Sueños, ilusión y otras realidades , University of Chicago Press, pág. 243, ISBN  978-0-226-61855-5Archivado del original el 29/06/2016
  28. ↑ Toker, Leona (1989), Nabokov: El misterio de las estructuras literarias , Cornell University Press, pág. 159, ISBN  978-0-8014-2211-9Archivado del original el 9 de mayo de 2016 .
  29. ↑ Bell, John Lane . "Continuidad e infinitesimales" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  30. ↑ Taylor 1955 , pág. 63
  31. ↑ Estos usos del infinito para integrales y series se pueden encontrar en cualquier texto estándar de cálculo, como por ejemplo, Swokowski 1983 , pp. 468–510. 
  32. ↑ "Secuencias propiamente divergentes - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Consultado el 15 de noviembre de 2019 .
  33. ↑ Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principios de análisis real (3.ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., pág. 29, ISBN   978-0-12-050257-8, MR 1669668 , archivado del original el 15/05/2015 
  34. ↑ Gemignani 1990 , pág. 177
  35. ↑ Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, pág. 27, ISBN  978-0-521-48364-3
  36. ↑ Rao, Murali; Stetkær, Henrik (1991). Análisis complejo: una invitación : una introducción concisa a la teoría de funciones complejas . World Scientific. pág. 113. ISBN   9789810203757.
  37. ↑ Eric Schechter (2005). Lógicas clásicas y no clásicas: Una introducción a las matemáticas de las proposiciones ( edición ilustrada). Princeton University Press. pág. 118. ISBN   978-0-691-12279-3.Extracto de la página 118
  38. ↑ Abhijit Dasgupta (2013). Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales . Springer Science & Business Media . págs. 362–363 . ISBN  978-1-4614-8854-5.
  39. ↑ Ignacio Jané (mayo de 1995). "El papel del absoluto infinito en la concepción de conjunto de Cantor". Erkenntnis . 42 ( 3): 375– 402. doi : 10.1007/BF01129011 . JSTOR 20012628. S2CID 122487235. Cantor (1) tomó el absoluto como una manifestación de Dios [...] Cuando el absoluto se introduce por primera vez en Grundlagen, está vinculado a Dios. "el verdadero infinito o absoluto, que está en Dios, no admite ningún tipo de determinación" (Cantor 1883b, p. 175). Esta no es una observación incidental, ya que Cantor es muy explícito e insistente sobre la relación entre el absoluto y Dios.  
  40. ^ AW Moore (2012). El Infinito (2ª edición revisada). Rutledge. pag. xiv. ISBN   978-1-134-91213-1.Extracto de la página xiv
  41. ↑ Hamkins, Joel David (2012-01-04). "Entra en el ático de Cantor" . Joel David Hamkins . Recuperado el 2026-01-20 .
  42. ↑ Dauben, Joseph (1993). "Georg Cantor y la batalla por la teoría de conjuntos transfinitos" (PDF) . Actas de la 9.ª Conferencia ACMS : 4.
  43. ↑ Cohen 1963 , pág. 1143 
  44. ↑ Felix Hausdorff (2021). Teoría de conjuntos . American Mathematical Soc. p. 44. ISBN  978-1-4704-6494-3.Extracto de la página 44
  45. ↑ Sagan 1994 , págs. 10–12 
  46. ↑ Michael Frame; Benoit Mandelbrot (2002). Fractales, gráficos y educación matemática ( edición ilustrada). Cambridge University Press. pág. 36. ISBN   978-0-88385-169-2.Extracto de la página 36
  47. ↑ Kline 1972 , págs. 1197–1198 
  48. ↑ Diccionario de Filosofía de Cambridge , Segunda Edición, pág. 429
  49. ↑ Lentes dóricas archivadas el 24/01/2013 en Wayback Machine – Nota de aplicación – Axicones – 2. Distribución de intensidad. Consultado el 7 de abril de 2014.
  50. ↑ John Gribbin (2009), En busca del multiverso: mundos paralelos, dimensiones ocultas y la búsqueda definitiva de las fronteras de la realidad , ISBN 978-0-470-61352-8pág.  88
  51. ↑ Brake, Mark (2013). Alien Life Imagined: Communicating the Science and Culture of Astrobiology ( edición ilustrada). Cambridge University Press. pág. 63. ISBN   978-0-521-49129-7.
  52. ↑ Koupelis, Theo; Kuhn, Karl F. (2007). En busca del universo ( edición ilustrada). Jones & Bartlett Learning. pág. 553. ISBN   978-0-7637-4387-1.Extracto de la página 553
  53. ↑ "¿Se expandirá el Universo para siempre?" . NASA. 24 de enero de 2014. Archivado del original el 1 de junio de 2012. Consultado el 16 de marzo de 2015 .
  54. ↑ "Nuestro universo es plano" . FermiLab/SLAC. 7 de abril de 2015. Archivado del original el 10 de abril de 2015.
  55. ↑ Marcus Y. Yoo (2011). "Conexiones inesperadas". Ingeniería y Ciencia . LXXIV1: 30.
  56. ↑ Weeks, Jeffrey (2001). La forma del espacio . CRC Press. ISBN 978-0-8247-0709-5.
  57. ↑ Kaku, M. (2006). Mundos paralelos. Knopf Doubleday Publishing Group.
  58. ↑ McKee, Maggie (25 de septiembre de 2014). "Ingenioso: Paul J. Steinhardt: el físico de Princeton explica qué falla en la teoría de la inflación y su visión del Big Bang" . Nautilus . N.° 17. NautilusThink Inc. Consultado el 31 de marzo de 2017 . 
  59. ↑ "Infinito y NaN (La biblioteca C de GNU)" . www.gnu.org . Consultado el 15 de marzo de 2021 .
  60. ↑ Gosling, James; et al. (27 de julio de 2012). "4.2.3." . Especificación del lenguaje Java (Java SE 7 ed.). California: Oracle America, Inc. Archivado del original el 9 de junio de 2012. Recuperado el 6 de septiembre de 2012 .  
  61. ↑ Stokes, Roger (julio de 2012). "19.2.1" . Learning J. Archivado del original el 25 de marzo de 2012. Recuperado el 6 de septiembre de 2012 .
  62. ↑ Morris Kline (1985). Matemáticas para no matemáticos (edición ilustrada, íntegra y reimpresa ). Courier Corporation. pág. 229. ISBN   978-0-486-24823-3.Extracto de la página 229, Sección 10-7
  63. ↑ Schattschneider, Doris (2010). "El lado matemático de MC Escher" (PDF) . Notices of the AMS . 57 (6): 706–718 .
  64. ↑ Ajedrez infinito en las Páginas de variantes de ajedrez Archivado el 2 de abril de 2017 en Wayback Machine Un esquema de ajedrez infinito.
  65. ↑ "Ajedrez infinito, PBS Infinite Series" Archivado el 7 de abril de 2017 en Wayback Machine PBS Infinite Series, con fuentes académicas de J. Hamkins (ajedrez infinito: Evans, CDA; Joel David Hamkins (2013). "Valores de juego transfinitos en ajedrez infinito". arXiv : 1302.4377 [ math.LO ].y Evans, CDA; Joel David Hamkins; Norman Lewis Perlmutter (2015). "Una posición en ajedrez infinito con valor de juego $ω^4$". arXiv : 1510.08155 [ math.LO ].).
  66. ↑ Elglaly, Yasmine Nader; Quek, Francis. "Reseña de "De dónde vienen las matemáticas: cómo la mente encarnada da origen a las matemáticas" de George Lakoff y Rafael E. Nunez" (PDF) . CHI 2009. Archivado del original (PDF) el 26 de febrero de 2020. Consultado el 25 de marzo de 2021 .

Bibliografía

  • Cajori, Florian (1993) [1928 y 1929], Historia de las notaciones matemáticas (dos volúmenes encuadernados en uno) , Dover, ISBN 978-0-486-67766-8
  • Gemignani, Michael C. (1990), Topología elemental (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-66522-1
  • Keisler, H. Jerome (1986), Cálculo elemental: Un enfoque utilizando infinitesimales (2.ª  ed.)
  • Maddox, Randall B. (2002), Pensamiento y escritura matemáticos: una transición a las matemáticas abstractas , Academic Press, ISBN 978-0-12-464976-7
  • Kline, Morris (1972), El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna , Nueva York: Oxford University Press, págs. 1197–1198 , ISBN  978-0-19-506135-2
  • Russell, Bertrand (1996) [1903], Los principios de las matemáticas , Nueva York: Norton, ISBN 978-0-393-31404-5, OCLC 247299160 
  • Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio , Springer, ISBN 978-1-4612-0871-6
  • Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (  Edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
  • Taylor, Angus E. (1955), Cálculo avanzado , Blaisdell Publishing Company
  • Wallace, David Foster (2004), Todo y más: Una historia concisa del infinito , Norton, WW & Company, Inc., ISBN 978-0-393-32629-1

Fuentes

  • Aczel, Amir D. (2001). El misterio del Aleph: matemáticas, la cábala y la búsqueda del infinito . Nueva York: Pocket Books. ISBN 978-0-7434-2299-4.
  • DP Agrawal (2000). Matemáticas Jainas Antiguas: una Introducción , Infinity Foundation .
  • Bell, JL: Continuidad e infinitesimales. Enciclopedia de filosofía de Stanford. Edición revisada de 2009.
  • Cohen, Paul (1963), "La independencia de la hipótesis del continuo", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 50 (6): 1143– 1148, Bibcode : 1963PNAS...50.1143C , doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC 221287 , PMID 16578557  .
  • Jain, LC (1982). Ciencias exactas a partir de fuentes jainistas .
  • Jain, LC (1973). "Teoría de conjuntos en la escuela jaina de matemáticas", Indian Journal of History of Science .
  • Joseph, George G. (2000). La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (2.ª  ed.). Penguin Books . ISBN 978-0-14-027778-4.
  • H. Jerome Keisler: Cálculo elemental: Un enfoque con infinitesimales. Primera edición: 1976; segunda edición: 1986. Este libro está actualmente agotado. La editorial ha devuelto los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato PDF para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
  • Eli Maor (1991). Hasta el infinito y más allá . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7.
  • O'Connor, John J. y Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Archivado el 16 de septiembre de 2006 en Wayback Machine , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
  • O'Connor, John J. y Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Archivado el 20 de diciembre de 2008 en Wayback Machine , archivo de MacTutor History of Mathematics .
  • Pearce, Ian. (2002). 'Jainismo' , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
  • Rucker, Rudy (1995). El infinito y la mente: La ciencia y la filosofía del infinito . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00172-2.
  • Singh, Navjyoti (1988). "Teoría Jaina del Infinito Actual y los Números Transfinitos". Revista de la Sociedad Asiática . 30 .
  • Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "El infinito" . Enciclopedia de filosofía en Internet . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
  • Infinity en In Our Time en la BBC
  • Curso intensivo sobre matemáticas de conjuntos infinitos. Archivado el 27 de febrero de 2010 en Wayback Machine , por Peter Suber. De St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Apéndice independiente de Infinite Reflections , a continuación. Una introducción concisa a las matemáticas de conjuntos infinitos de Cantor.
  • Reflexiones infinitas. Archivado el 5 de noviembre de 2009 en Wayback Machine , por Peter Suber. Cómo las matemáticas del infinito de Cantor resuelven algunos problemas filosóficos antiguos sobre el infinito. De St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
  • Grime, James. "El infinito es más grande de lo que crees" . Numberphile . Brady Haran . Archivado del original el 22 de octubre de 2017. Recuperado el 6 de abril de 2013 .
  • Hotel Infinity
  • John J. O'Connor y Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Archivado el 16 de septiembre de 2006 en Wayback Machine , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
  • John J. O'Connor y Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Archivado el 20 de diciembre de 2008 en Wayback Machine , archivo de MacTutor History of Mathematics .
  • Ian Pearce (2002). 'Jainismo' , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
  • El misterio del Aleph: las matemáticas, la Cábala y la búsqueda del infinito.
  • Diccionario del Infinito (compilación de artículos sobre el infinito en física, matemáticas y filosofía)
Lecturas relacionadas
6 articulos
Triángulo de SierpinskiTriángulo de SierpinskiEl triángulo de Sierpiński , también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński , es un fractal con la forma general de un triángulo equilát...Objetivo Minolta MD 4,5/300 mm IFSímbolo del infinitoEl símbolo de infinito ( ∞ ) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito . Este símbolo también se denomina lemniscata, [1] por...matemáticas de la antigua Greciamatemáticas de la antigua GreciaLas matemáticas de la Antigua Grecia se refieren a la historia de las ideas y los textos matemáticos en la Antigua Grecia durante la Antigüedad clá...Infinito (filosofía)Infinito (filosofía)En filosofía y teología, el concepto de infinito se explora en artículos bajo epígrafes como el Absoluto , Dios y las paradojas de Zenón . En la fi...Frontispicio que representa a Ibn al-HaythamCálculoEl cálculo es la rama de las matemáticas que estudia el cambio continuo y es el principal precursor del análisis matemático moderno . Originalmente...Serie (matemáticas)En matemáticas , una serie es, en términos generales, una suma de infinitas cantidades, una tras otra. [1] El estudio de las series es una parte im...