∞-grupoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un ∞-grupoide es un modelo homotópico abstracto para espacios topológicos . Un modelo utiliza complejos de Kan que son objetos fibrantes en la categoría de conjuntos simpliciales (con la estructura de modelo estándar ). ^{[ 1 ]} Es una generalización de un ∞- grupoide en la categoría de ∞- categoría, una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo .

La hipótesis de homotopía establece que los ∞-grupoides son equivalentes a espacios salvo homotopía. ^{[ 2 ]}^{: 2–3}^{[ 3 ]}

Grupoides globulares

Alexander Grothendieck sugirió en Pursuing Stacks ^{[ 2 ]}^{: 3–4, 201} que debería existir un modelo extraordinariamente simple de ∞-grupoides utilizando conjuntos globulares , originalmente llamados complejos hemisféricos. Estos conjuntos se construyen como prehaces en la categoría globular. $\mathbb {G}$ Esto se define como la categoría cuyos objetos son ordinales finitos. $[n]$ y los morfismos vienen dados por ${\begin{aligned}\sigma _{n}:[n]\to [n+1]\\\tau _{n}:[n]\to [n+1]\end{aligned}}$ de tal manera que las relaciones globulares se mantienen ${\begin{aligned}\sigma _{n+1}\circ \sigma _{n}&=\tau _{n+1}\circ \sigma _{n}\\\sigma _{n+1}\circ \tau _{n}&=\tau _{n+1}\circ \tau _{n}\end{aligned}}$ Estos codifican el hecho de que $los n$ -morfismos no deberían poder ver $(n + 1)$ -morfismos. Al escribirlos como un conjunto globular $X_{\bullet }:\mathbb {G} ^{op}\to {\text{Sets}}$ , los mapas de origen y destino se escriben entonces como ${\begin{aligned}s_{n}=X_{\bullet }(\sigma _{n})\\t_{n}=X_{\bullet }(\tau _{n})\end{aligned}}$ También podemos considerar objetos globulares en una categoría ${\mathcal {C}}$ como functores $X_{\bullet }\colon \mathbb {G} ^{op}\to {\mathcal {C}}.$ Originalmente se esperaba que un modelo tan estricto fuera suficiente para la teoría de la homotopía, pero hay evidencia que sugiere lo contrario. Resulta que para $S^{2}$ su homotopía asociada $n$ -tipo $\pi _{\leq n}(S^{2})$ nunca se puede modelar como un grupoide globular estricto para $n\geq 3$ . ^{[ 2 ]}^{: 445}^{[ 4 ]} Esto se debe a que los ∞-grupoides estrictos solo modelan espacios con un producto de Whitehead trivial . ^{[ 5 ]}

Ejemplos

Grupoide fundamental ∞

Dado un espacio topológico $X$ Debería existir un grupoide fundamental ∞ asociado. $\Pi _{\infty }X$ donde los objetos son puntos $x\in X$ , 1-morfismos $f:x\to y$ se representan como caminos , los 2-morfismos son homotopías de caminos, los 3-morfismos son homotopías de homotopías, y así sucesivamente. A partir de este ∞-grupoide podemos encontrar un $n$ -grupoide llamado fundamental $n$ -grupoide $\Pi _{n}X$ cuyo tipo de homotopía es el de $\pi _{\leq n}X$ .

Nótese que tomar el ∞-grupoide fundamental de un espacio $Y$ de tal manera que $\pi _{>n}Y=0$ es equivalente al n -grupoide fundamental $\Pi _{n}Y$ Dicho espacio se puede encontrar utilizando la torre Whitehead .

Grupoides globulares abelianos

Un caso útil de grupoides globulares proviene de un complejo de cadena que está acotado superiormente, por lo tanto, consideremos un complejo de cadena. $C_{\bullet }\in {\text{Ch}}_{\leq 0}({\text{Ab}})$ . ^{[ 6 ]} Hay un grupoide globular asociado. Intuitivamente, los objetos son los elementos en $C_{0}$ , los morfismos provienen de $C_{0}$ a través del mapa complejo de la cadena $d_{1}:C_{1}\to C_{0}$ y superior $n$ Los morfismos se pueden encontrar a partir de los mapas complejos de cadena superior. $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ Podemos formar un conjunto globular $\mathbb {C} _{\bullet }$ con ${\begin{matrix}\mathbb {C} _{0}=&C_{0}\\\mathbb {C} _{1}=&C_{0}\oplus C_{1}\\&\cdots \\\mathbb {C} _{n}=&\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\end{matrix}}$ y el morfismo de la fuente $s_{n}:\mathbb {C} _{n}\to \mathbb {C} _{n-1}$ es el mapa de proyección $pr:\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\to \bigoplus _{k=0}^{n-1}C_{k}$ y el morfismo objetivo $t_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ es la adición del mapa complejo de la cadena $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ junto con el mapa de proyección. Esto forma un grupoide globular que proporciona una amplia clase de ejemplos de grupoides globulares estrictos. Además, dado que los grupoides estrictos se incrustan dentro de grupoides débiles, también pueden actuar como grupoides débiles.

Aplicaciones

Sistemas locales superiores

Uno de los teoremas básicos sobre sistemas locales es que pueden describirse de forma equivalente como un functor del grupoide fundamental. $\Pi X=\Pi _{\leq 1}X$ a la categoría de grupos abelianos , la categoría de $R$ -módulos , o alguna otra categoría abeliana . Es decir, un sistema local es equivalente a dar un functor. ${\mathcal {L}}:\Pi X\to {\text{Ab}}$ Generalizar dicha definición requiere que consideremos no solo una categoría abeliana, sino también su categoría derivada . Un sistema local superior es entonces un ∞-functor. ${\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})$ con valores en alguna categoría derivada. Esto tiene la ventaja de permitir que los grupos de homotopía superiores $\pi _{n}X$ para actuar sobre el sistema local superior, a partir de una serie de truncamientos. Un ejemplo sencillo para estudiar proviene de los espacios de Eilenberg-MacLane. $K(A,n)$ o bien, analizando los términos de la torre de Whitehead de un espacio. Idealmente, debería haber alguna forma de recuperar las categorías de functores. ${\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})$ a partir de sus truncamientos $\Pi _{n}X$ y los mapas $\tau _{\leq n-1}:\Pi _{n}X\to \Pi _{n-1}X$ cuyas fibras deberían ser las categorías de $n$ -funtores $\Pi _{n}(K(\pi _{n}X,n))\to D({\text{Ab}})$ Otra ventaja de este formalismo es que permite construir formas superiores de $\ell$ Representaciones -ádicas mediante el uso del tipo de homotopía étale ${\hat {\pi }}(X)$ de un plan $X$ y construir representaciones superiores de este espacio, ya que están dadas por functores. ${\mathcal {L}}:{\hat {\pi (X)}}\to D({\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })$

Gerbes superiores

Otra aplicación de los ∞-grupoides es dar construcciones de n -gerbes e ∞-gerbes. Sobre un espacio $X$ un n -gerbe debe ser un objeto ${\mathcal {G}}\to X$ de tal manera que cuando se restringe a un subconjunto suficientemente pequeño $U\subset X$ , ${\mathcal {G}}|_{U}\to U$ está representado por un n -grupoide, y en las superposiciones hay una concordancia hasta cierta equivalencia débil. Suponiendo que la hipótesis de homotopía sea correcta, esto es equivalente a construir un objeto ${\mathcal {G}}\to X$ de tal manera que sobre cualquier subconjunto abierto ${\mathcal {G}}|_{U}\to U$ es un n -grupo , o un n- tipo de homotopía . Debido a que el nervio de una categoría se puede usar para construir un tipo de homotopía arbitrario, un functor sobre un sitio ${\mathcal {X}}$ , p.ej $p:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {X}}$ dará un ejemplo de un gerbe superior si la categoría ${\mathcal {C}}_{U}$ acostado sobre cualquier punto $U\in \operatorname {Ob} {\mathcal {X}}$ es una categoría no vacía. Además, cabría esperar que esta categoría cumpliera algún tipo de condición de descenso.

Véase también

Referencias

↑ "Complejo de Kan en nLab" .
1 2 3 Grothendieck. "Pursuing Stacks" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Recuperado el 17 de septiembre de 2020 .
↑ Maltsiniotis, Georges (2010), Grothendieck infinity groupoids and still another definition of infinity categories , arXiv : 1009.2331 , CiteSeerX 10.1.1.397.2664
↑ Simpson, Carlos (1998-10-09). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : math/9810059 .
^ Marrón, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). "La equivalencia de $\infty $-groupoides y complejos cruzados" . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386 .
↑ Ara, Dimitri (2010). Sur les ∞-groupoïdes de Grothendieck et una variante ∞-categorique (PDF) (Doctor). Universidad París Diderot. Sección 1.4.3. Archivado (PDF) desde el original el 19 de agosto de 2020.

Artículos de investigación

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Bourke, John (2016). "Nota sobre la construcción de grupos omega omega débiles globulares a partir de tipos, espacios topológicos, etc." (PDF) . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . LVII (4): 281– 294. arXiv : 1602.07962 .
Polesello, Pietro; Waschkies, Ingo (2005). "Monodromía superior". Homología, homotopía y aplicaciones . 7 (1): 109– 150. arXiv : math/0407507 . doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n1.a7 .
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Aplicaciones en geometría algebraica

Toën, Bertrand . "Tipos de homotopía de variedades algebraicas" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.607.9789 .

Lecturas adicionales

https://mathoverflow.net/questions/404210/delooping-monoidal-infty-groupoids-into-infty-categories?rq=1

Enlaces externos

grupoide infinito en el laboratorio n
Grupoide infinito fundamental en el laboratorio n
Maltsiniotis, Georges (2010), "Grothendieck ∞-groupoids, and still another definition of ∞-categories", arXiv : 1009.2331 [ math.CT ]
Zawadowski, Marek, Introducción a las categorías de pruebas (PDF) , archivado del original (PDF) el 26 de marzo de 2015.
Lovering, Tom (2012), Cohomología étale y representaciones de Galois , CiteSeerX 10.1.1.394.9850

[1] "Complejo de Kan en nLab" .

[:0-2] 1 2 3 Grothendieck. "Pursuing Stacks" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Recuperado el 17 de septiembre de 2020 .

[3] Maltsiniotis, Georges (2010), Grothendieck infinity groupoids and still another definition of infinity categories , arXiv : 1009.2331 , CiteSeerX 10.1.1.397.2664

[4] Simpson, Carlos (1998-10-09). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : math/9810059 .

[5] Marrón, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). "La equivalencia de $\infty $-groupoides y complejos cruzados" . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386 .

[6] Ara, Dimitri (2010). Sur les ∞-groupoïdes de Grothendieck et una variante ∞-categorique (PDF) (Doctor). Universidad París Diderot. Sección 1.4.3. Archivado (PDF) desde el original el 19 de agosto de 2020.

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