Cálculo fraccionario inicializado

En el análisis matemático , la inicialización de las diferintegrales es un tema del cálculo fraccional , una rama de las matemáticas que se ocupa de las derivadas de orden no entero.

Regla de composición de las integrales diferenciales

La ley de composición del operador diferintegral establece que, aunque:

$\mathbb {D} ^{q}\mathbb {D} ^{-q}=\mathbb {I}$

donde D ^{− q} es el inverso izquierdo de D ^q , lo contrario no es necesariamente cierto:

\mathbb {D} ^{-q}\mathbb {D} ^{q}\neq \mathbb {I}

Ejemplo

Consideremos el cálculo elemental de orden entero . A continuación se muestra una integración y diferenciación utilizando la función de ejemplo. $3x^{2}+1$ :

{\frac {d}{dx}}\left[\int (3x^{2}+1)dx\right]={\frac {d}{dx}}[x^{3}+x+C]=3x^{2}+1\,,

Ahora, al intercambiar el orden de composición:

\int \left[{\frac {d}{dx}}(3x^{2}+1)\right]=\int 6x\,dx=3x^{2}+C\,,

Donde C es la constante de integración . Aunque no fuera obvio, se podría usar la condición inicial ƒ ' (0) = C , ƒ '' (0) = D , etc. Si omitáramos esos términos de inicialización, la última ecuación mostraría la composición de la integración, y la diferenciación (y viceversa) no se cumpliría.

Descripción de la inicialización

Trabajar con una integral de diferencia correctamente inicializada es el tema del cálculo fraccional inicializado. Si la integral de diferencia se inicializa correctamente, se cumple la ley de composición deseada. El problema radica en que, durante la diferenciación, se pierde información, como ocurre con C en la primera ecuación.

Sin embargo, en el cálculo fraccional, dado que el operador ha sido fraccionalizado y por lo tanto es continuo, se necesita una función complementaria completa. Esto se denomina función complementaria. $\Psi$ .

\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau +\Psi (x)

Véase también

Referencias

Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2000), Cálculo fraccional inicializado (PDF) , NASA(informe técnico).