Estructura del modelo inyectivo y proyectivo

En la teoría de categorías superiores en matemáticas , las estructuras de modelos inyectivas y proyectivas son estructuras de modelos especiales en categorías de funtores dentro de una categoría de modelos . Ambas estructuras de modelos no tienen por qué existir, pero existen condiciones que garantizan su existencia. Una aplicación importante es el estudio de límites y colímites , que son funtores de una categoría de funtores y, por lo tanto, pueden convertirse en adjunciones de Quillen .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ser una categoría pequeña y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría modelo. Para dos functores${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$una transformación natural${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$está compuesto de morfismos${\displaystyle \eta _{X}\colon FX\rightarrow GX}$en${\displaystyle \operatorname {Ar} {\mathcal {C}}}$para todos los objetos${\displaystyle X}$en${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {I}}}$Por lo tanto, para aquellos se debe estudiar si son fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles, lo que podría conducir a una estructura de modelo en la categoría de funtores.${\displaystyle \operatorname {Fun} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})}$.

• Las cofibraciones inyectivas y las equivalencias débiles inyectivas son transformaciones naturales que, en cuanto a sus componentes, consisten únicamente en cofibraciones y equivalencias débiles, respectivamente. Las fibraciones inyectivas son aquellas transformaciones naturales que poseen la propiedad de elevación derecha con respecto a todas las cofibraciones triviales inyectivas. ^{[ 1 ]}
• Las fibraciones proyectivas y las equivalencias débiles proyectivas son las transformaciones naturales que, en cuanto a sus componentes, consisten únicamente en fibraciones y equivalencias débiles, respectivamente. Las cofibraciones proyectivas son aquellas transformaciones naturales que poseen la propiedad de elevación izquierda con respecto a todas las fibraciones triviales proyectivas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Para una estructura de modelo, las cofibraciones triviales inyectivas también deben tener la propiedad de elevación derecha con respecto a todas las fibraciones inyectivas, y las fibraciones triviales proyectivas también deben tener la propiedad de elevación izquierda con respecto a todas las cofibraciones proyectivas. Dado que no es necesario que se cumplan ambas condiciones, la estructura de modelo inyectiva y proyectiva no tiene por qué existir.

La categoría de functores${\displaystyle \operatorname {Fun} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})}$con la estructura del modelo inicial y proyectivo se denota${\displaystyle \operatorname {Diversión} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})_{\mathrm {inj} }}$y${\displaystyle \operatorname {Diversión} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})_{\mathrm {proj} }}$respectivamente.

• Si${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es la categoría asignada a un pequeño conjunto bien ordenado con elemento inicial y si${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene todos los colímites pequeños, entonces la estructura del modelo proyectivo en${\displaystyle \operatorname {Fun} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})}$existe. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Sea una categoría de modelo combinatorio.${\displaystyle F\colon {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {J}}}$Si existe un functor entre categorías pequeñas, entonces existe un functor.${\displaystyle F^{*}\colon \mathbf {Diversión} ({\mathcal {J}},{\mathcal {C}})\rightarrow \mathbf {Diversión} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})}$por precomposición. Dado que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene todos los límites pequeños y colímites pequeños, este functor tiene un adjunto izquierdo${\displaystyle F_{!}\colon \mathbf {Diversión} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow \mathbf {Diversión} ({\mathcal {J}},{\mathcal {C}}),F_{!}(G)=\operatorname {Lan} _{F}(G)}$con${\displaystyle F_{!}\dashv F^{*}}$conocida como extensión de Kan izquierda , así como adjunta derecha.${\displaystyle F_{*}\colon \mathbf {Diversión} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow \mathbf {Diversión} ({\mathcal {J}},{\mathcal {C}}),F_{*}(G)=\operatorname {Ran} _{F}(G)}$con${\displaystyle F^{*}\dashv F_{!}}$conocida como extensión de Kan derecha. Mientras que la primera adjunción es una adjunción de Quillen entre las estructuras del modelo proyectivo, la segunda es una adjunción de Quillen entre las estructuras del modelo inyectivo. ^{[ 5 ]}

• Estructura de modelo covariante y contravariante , estructuras de modelo inducidas en categorías de cortes

• Lurie, Jacob (2009). Teoría de topos superiores . Annals of Mathematics Studies. Vol.  170. Princeton University Press . arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0MR 2522659 .​ 
• Cisinski, Denis-Charles (30 de junio de 2019). Categorías superiores y álgebra homotópica (PDF) . Cambridge University Press . ISBN 978-1108473200.

• Estructura del modelo en functores en el Laboratorio n