Espacio resistente

En análisis complejo , los espacios de Hardy (o clases de Hardy ) $H^{p}$ Los espacios de Hardy son espacios de funciones holomorfas en el disco unitario o semiplano superior . Fueron introducidos por Frigyes Riesz ( Riesz 1923 ) , quien los nombró en honor a G. H. Hardy , debido al artículo ( Hardy 1915 ) . En análisis real, los espacios de Hardy son espacios de distribuciones en el espacio real n-dimensional $.$ $\mathbb {R} ^{n}$ , definidos (en el sentido de distribuciones) como valores límite de las funciones holomorfas. Los espacios de Hardy están relacionados con los espacios L ^p . ^{[ 1 ]} Para $1\leq p<\infty$ Estos espacios de Hardy son subconjuntos de $L^{p}$ espacios , mientras que para $0<p<1$ el $L^{p}$ Los espacios tienen algunas propiedades indeseables, y los espacios de Hardy se comportan mucho mejor. Por lo tanto, $H^{p}$ Los espacios pueden considerarse extensiones de $L^{p}$ espacios. ^{[ 2 ]}

Los espacios de Hardy tienen varias aplicaciones, tanto en el análisis matemático en sí como en áreas interdisciplinarias como la teoría de control (por ejemplo $H^{\infty }$ métodos ) y teoría de la dispersión .

Definición

En el disco de la unidad

El espacio Hardy $H^{p}$ para $0<p<\infty$ es la clase de funciones holomorfas $f$ en el disco de la unidad abierta $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C$ satisfactorio $\sup _{0\,\leqslant \,r\,<\,1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$ Si $p\geq 1$ Esto coincide con la definición del espacio de Hardy. $p$ norma -, denotada por $\|f\|_{H^{p}}.$

El espacio $H^{\infty }$ se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas acotadas en el disco unitario, con norma

{\|f\|}_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.

Para $0<p\leq q\leq \infty$ , la clase $H^{q}$ es un subconjunto de $H^{p}$ y el $H^{p}$ -la norma está aumentando con $p$ (es una consecuencia de la desigualdad de Hölder que la $L^{p}$ La norma -es creciente para medidas de probabilidad , es decir, medidas con masa total 1) ( Rudin 1987 , Def 17.7) .

$H^{2}$ es un espacio de Hilbert y es unitariamente equivalente a $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ a través del mapa unitario $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\leftrightarrow (a_{n})_{n=0}^{\infty }$ . ^{[ 3 ]}

En el círculo unitario

Los espacios de Hardy también pueden considerarse como subespacios vectoriales cerrados de los espacios L ^p complejos en el círculo unitario. $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C$ . Esta conexión viene dada por el siguiente teorema ( Katznelson 1976 , Teorema 3.8) : Dado $f\in H^{p}$ con $p\geq 1$ el límite radial ${\tilde {f}}\!\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}\,f\!\left(re^{i\theta }\right)$ existe para casi todos $\theta$ y ${\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbb {T} )$ de tal manera que ${\|{\tilde {f}}\|}_{L^{p}}={\|f\|}_{H^{p}}.$ Denotemos por $H^{p}(\mathbb {T} )$ el subespacio vectorial de $L^{p}(\mathbb {T} )$ que consta de todas las funciones límite ${\tilde {f}}$ , cuando $f$ varía en $H^{p}$ , entonces se tiene que para p ≥ 1, ( Katznelson 1976 )

g\in H^{p}\left(\mathbb {T} \right){\text{ si y solo si }}g\in L^{p}\left(\mathbb {T} \right){\text{ y }}{\hat {g}}_{n}=0{\text{ para todo }}n<0,

donde el ${\hat {g}}_{n}$ son los coeficientes de Fourier definidos como ${\hat {g}}_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi ,\quad \forall n\in \mathbb {Z} .$ El espacio $H^{p}(\mathbb {T} )$ es un subespacio cerrado de $L^{p}(\mathbb {T} )$ . Desde $L^{p}(\mathbb {T} )$ es un espacio Banach (para $1\leq p\leq \infty$ ), así que es $H^{p}(\mathbb {T} )$ .

Lo anterior se puede invertir. Dada una función ${\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )$ , con p ≥ 1, se puede recuperar una función ( armónica ) f en el disco unitario mediante el núcleo de Poisson P _r :

f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,

y f pertenece a H ^p exactamente cuando ${\tilde {f}}$ está en H ^p ( T ). Suponiendo que ${\tilde {f}}$ está en H ^p ( T ), es decir, ${\tilde {f}}$ tiene coeficientes de Fourier ( a _n ) _{n ∈ Z} con a _n = 0 para cada n < 0, entonces la función holomorfa asociada f de H ^p viene dada por $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.$ En las aplicaciones, aquellas funciones con coeficientes de Fourier negativos que se anulan se interpretan comúnmente como las soluciones causales . Por ejemplo, el espacio de Hardy $H 2$ consta de funciones cuyo valor cuadrático medio permanece acotado como $r\to 1$ desde abajo. Así, se ve que el espacio H ^{2 se encuentra naturalmente dentro}del espacio $L 2$ , y está representado por secuencias infinitas indexadas por N ; mientras que L ² consiste en secuencias bi-infinitas indexadas por Z .

En el semiplano superior

El espacio de Hardy en el semiplano superior $\mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}$ se define como el espacio de funciones holomorfas $f$ en $\mathbb {H}$ con norma acotada, dada por $\|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$ El correspondiente $H^{\infty }(\mathbb {H} )$ se define como funciones de norma acotada, con la norma dada por $\|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbb {H} }|f(z)|.$ El disco unitario es isomorfo al semiplano superior mediante una transformación de Möbius . Por ejemplo, sea $m:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {H}$ denota la transformación de Möbius $m(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}.$ Luego, el operador lineal $M:H^{2}(\mathbb {H} )\rightarrow H^{2}(\mathbb {D} )$ definido por $(Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)),$ es un isomorfismo isométrico de espacios de Hardy.

Un enfoque similar se aplica, por ejemplo, al semiplano derecho.

En el espacio vectorial real

En el análisis del espacio vectorial real $\mathbb {R} ^{n}$ , el espacio Hardy $H^{p}$ (para $0<p\leq \infty$ ) consiste en distribuciones templadas $f$ de tal manera que para alguna función de Schwartz $\Phi$ con $\int \Phi =1$ , la función máxima

(M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|

está en $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ , dónde $*$ es convolución y $\Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi (x/t)$ . El $H^{p}$ - cuasinorma $\|f\|_{H^{p}}$ de una distribución $f$ de $H^{p}$ se define como el $L^{p}$ norma de $M_{\Phi }f$ (esto depende de la elección de $\Phi$ pero diferentes elecciones de funciones de Schwartz $\Phi$ dar normas equivalentes). $H^{p}$ -cuasinorma es una norma cuando $p\geq 1$ pero no cuando $p<1$ .

Si $1<p<\infty$ , el espacio Hardy $H^{p}$ es el mismo espacio vectorial que $L^{p}$ , con norma equivalente. Cuando $p=1$ , el espacio Hardy $H^{1}$ es un subespacio propio de $L^{1}$ . Se pueden encontrar secuencias en $H^{1}$ que están delimitados en $L^{1}$ pero sin límites en $H^{1}$ ; por ejemplo, en la línea

f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.

El $L^{1}$ y $H^{1}$ Las normas no son equivalentes en $H^{1}$ , y $H^{1}$ no está cerrado en $L^{1}$ . El dual de $H^{1}$ es el espacio $\operatorname {BMO}$ de funciones de oscilación media acotada . El espacio $\operatorname {BMO}$ contiene funciones no acotadas (demostrando nuevamente que $H^{1}$ no está cerrado en $L^{1}$ ).

Si $p<1$ luego el espacio Hardy $H^{p}$ tiene elementos que no son funciones, y su dual es el espacio de Lipschitz homogéneo de orden $n(1/p-1)$ . Cuando ' $p<1$ , el $H^{p}$ -quasinorma no es una norma, ya que no es subaditiva. $p$ -otro poder $\|f\|_{H^{p}}^{p}$ es subaditivo para $p<1$ y así define una métrica en el espacio de Hardy $H^{p}$ , que define la topología y hace $H^{p}$ en un espacio métrico completo.

Descomposición atómica

Cuando $0<p\leq 1$ , una función medible acotada $f$ de soporte compacto está en el espacio Hardy $H^{p}$ si y solo si todos sus momentos

\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,

cuyo orden $i_{1}+\cdots +i_{n}$ es como máximo $n(1/p-1)$ , desaparecer. Por ejemplo, la integral de $f$ debe desaparecer para que $f\in H^{p}$ , $0<p\leq 1$ y siempre que $p>n/(n+1)$ , esto también es suficiente.

Si además $f$ tiene apoyo en algún balón $B$ y está delimitado por $|B|^{-1/p}$ , entonces $f$ se llama un $H^{p}$ -átomo (aquí) $|B|$ denota el volumen euclidiano de $B$ en $\mathbb {R} ^{n}$ ). El $H^{p}$ -cuasinorma de un arbitrario $H^{p}$ -átomo está limitado por una constante que depende únicamente de $p$ y en la función Schwartz $\Phi$ .

Cuando $0<p\leq 1$ cualquier elemento $f$ de $H^{p}$ tiene una descomposición atómica como una combinación infinita convergente de $H^{p}$ -átomos,

f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty

donde el $a_{j}$ son $H^{p}$ -átomos y el $c_{j}$ son escalares.

En la línea, por ejemplo, la diferencia de las distribuciones de Dirac $f=\delta _{1}-\delta _{0}$ puede representarse como una serie de funciones de Haar , convergentes en $H^{p}$ -cuasinorma cuando $1/2<p<1$ . (En el círculo, la representación correspondiente es válida para $0<p<1$ , pero en la línea, las funciones de Haar no pertenecen a $H^{p}$ cuando $p\leq 1/2$ , porque su función máxima es equivalente en el infinito a $ax^{-2}$ para algunos $a\neq 0$ .)

Vínculo entre los espacios de Hardy de variables reales y complejas

Las técnicas de variables reales, asociadas principalmente al estudio de espacios de Hardy reales definidos en R ⁿ , también se utilizan en el marco más simple del círculo. Es práctica común permitir funciones (o distribuciones) complejas en estos espacios "reales". La definición que sigue no distingue entre el caso real y el complejo.

Sea P _r el núcleo de Poisson en el círculo unitario T . Para una distribución f en el círculo unitario, definamos

(Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,

donde la estrella indica la convolución entre la distribución f y la función e ^iθ → P _r (θ) en el círculo. Es decir, ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es el resultado de la acción de f sobre la función C ^∞ definida en el círculo unitario por

e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).

Para 0 < p < ∞, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) consiste en distribuciones f tales que M f está en L ^p ( T ).

La función F definida en el disco unitario por F ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es armónica, y M f es la función maximal radial de F . Cuando M f pertenece a L ^p ( T ) y p ≥ 1, la distribución f " es " una función en L ^p ( T ), es decir, el valor límite de F . Para p ≥ 1, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) es un subconjunto de L ^p ( T ).

Función conjugada

A cada polinomio trigonométrico real u en el círculo unitario se le asocia el polinomio real conjugado v tal que u + i v se extiende a una función holomorfa en el disco unitario,

u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).

Esta aplicación u → v se extiende a un operador lineal acotado H en L ^p ( T ), cuando 1 < p < ∞ (salvo un múltiplo escalar, es la transformada de Hilbert en el círculo unitario), y H también aplica L ¹ ( T ) a L ¹ ( T ) débil . Cuando 1 ≤ p < ∞, las siguientes son equivalentes para una función integrable de valor real f en el círculo unitario:

La función f es la parte real de alguna función g ∈ H ^p ( T )
La función f y su conjugada H(f) pertenecen a L ^p ( T )
La función radial máxima M f pertenece a L ^p ( T ).

Cuando 1 < p < ∞, H(f) pertenece a L ^p ( T ) cuando f ∈ L ^p ( T ), por lo tanto, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) coincide con L ^p ( T ) en este caso. Para p = 1, el espacio de Hardy real H ¹ ( T ) es un subespacio propio de L ¹ ( T ).

El caso de p = ∞ se excluyó de la definición de espacios de Hardy reales, porque la función máxima M f de una función L ^∞ siempre está acotada, y porque no es deseable que H ^∞ real sea igual a L ^∞ . Sin embargo, las dos propiedades siguientes son equivalentes para una función de valor real f

La función f es la parte real de alguna función g ∈ H ^∞ ( T )
La función f y su conjugada H(f) pertenecen a L ^∞ ( T ).

Para 0 < p < 1

Cuando 0 < p < 1, una función F en H ^p no puede reconstruirse a partir de la parte real de su función límite en el círculo, debido a la falta de convexidad de L ^p en este caso. La convexidad falla, pero permanece una especie de " convexidad compleja ", a saber, el hecho de que z → | z | ^q es subarmónico para todo q > 0. Como consecuencia, si

F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1

está en H ^p , se puede demostrar que c _n = O( n ^{1/ p –1} ). De ello se deduce que la serie de Fourier

\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }

converge en el sentido de las distribuciones a una distribución f en el círculo unitario, y F ( re ^iθ ) =( f ∗ P _r )(θ). La función F ∈ H ^p puede reconstruirse a partir de la distribución real Re( f ) en el círculo, porque los coeficientes de Taylor c _n de F pueden calcularse a partir de los coeficientes de Fourier de Re( f ).

Las distribuciones en el círculo son suficientemente generales para manejar espacios de Hardy cuando p < 1. También ocurren distribuciones que no son funciones, como se ve con las funciones F ( z ) = (1− z ) ^{− N} (para | z | < 1), que pertenecen a H ^p cuando 0 < N p < 1 (y N un entero ≥ 1).

Una distribución real en el círculo pertenece a real- H ^p ( T ) si y solo si es el valor límite de la parte real de algún F ∈ H ^p . Una distribución de Dirac δ _x , en cualquier punto x del círculo unitario, pertenece a real- H ^p ( T ) para todo p < 1; las derivadas δ′ _x pertenecen cuando p < 1/2, las segundas derivadas δ′′ _x cuando p < 1/3, y así sucesivamente.

Factorización de Beurling

Para 0 < p ≤ ∞, toda función no nula f en H ^p puede escribirse como el producto f = Gh donde G es una función externa y h es una función interna , como se define a continuación ( Rudin 1987 , Teorema 17.17) . Esta " factorización de Beurling " permite caracterizar completamente el espacio de Hardy mediante los espacios de funciones internas y externas. ^[⁴^]^[⁵^]

Se dice que G ( z ) es una función externa si toma la forma

G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)

para algún número complejo c con | c | = 1, y alguna función medible positiva $\varphi$ en el círculo unitario de tal manera que $\log(\varphi )$ es integrable en el círculo. En particular, cuando $\varphi$ es integrable en el círculo, G está en H ¹ porque lo anterior toma la forma del núcleo de Poisson ( Rudin 1987 , Teorema 17.16 ) . Esto implica que

\lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)

para casi todos los θ.

Se dice que h es una función interna si y solo si | h | ≤ 1 en el disco unitario y el límite

\lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })

existe para casi todos los θ y su módulo es igual a 1 ae En particular, h está en H ^∞ . La función interna se puede factorizar aún más en una forma que involucra un producto de Blaschke .

La función f , descompuesta como f = Gh , está en H ^p si y solo si φ pertenece a L ^p ( T ), donde φ es la función positiva en la representación de la función externa G .

Sea G una función exterior representada como se indicó anteriormente a partir de una función φ en el círculo. Reemplazando φ por φ ^α , α > 0, se obtiene una familia ( G _α ) de funciones exteriores, con las siguientes propiedades:

G ₁ = G , G _α+β = G _αG _β y | Gα _| = | GRAMO | ^α casi en todas partes del círculo.

De ello se deduce que siempre que 0 < p , q , r < ∞ y 1/ r = 1/ p + 1/ q , toda función f en H ^r puede expresarse como el producto de una función en H ^p y una función en H ^q . Por ejemplo: toda función en H ¹ es el producto de dos funciones en H ² ; toda función en H ^p , p < 1, puede expresarse como el producto de varias funciones en algún H ^q , q > 1.

Martingala H ^p

Sea ( M _n ) _{n ≥0} una martingala en algún espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ), con respecto a una secuencia creciente de σ-campos (Σ _n ) _n_≥0 . Supongamos, por simplicidad, que Σ es igual al σ-campo generado por la secuencia (Σ _n ) _n_≥0 . La función maximal de la martingala se define por

M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.

Sea 1 ≤ p < ∞. La martingala ( M _n ) _{n ≥0} pertenece a la martingala - H ^p cuando M* ∈ L ^p .

Si M* ∈ L ^p , la martingala ( M _n ) _{n ≥0} está acotada en L ^p ; por lo tanto, converge casi seguramente a alguna función f por el teorema de convergencia de martingalas . Además, M _n converge a f en la norma L ^p por el teorema de convergencia dominada ; por lo tanto, M _n puede expresarse como la esperanza condicional de f en Σ _n . Así pues, es posible identificar la martingala- H ^p con el subespacio de L ^p (Ω, Σ, P ) que consta de aquellas f tales que la martingala

M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}

pertenece a la martingala- H ^p .

La desigualdad máxima de Doob implica que martingala- H ^p coincide con L ^p (Ω, Σ, P ) cuando 1 < p < ∞. El espacio interesante es martingala- H ¹ , cuyo dual es martingala-BMO ( Garsia 1973 ) .

Las desigualdades de Burkholder-Gundy (cuando p > 1) y la desigualdad de Burgess-Davis (cuando p = 1) relacionan la norma L ^p de la función máxima con la de la función cuadrática de la martingala.

S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.

Martingala- H ^p se puede definir diciendo que S ( f )∈ L ^p ( Garsia 1973 ) .

También se pueden considerar martingalas con parámetro de tiempo continuo. Se obtiene un vínculo directo con la teoría clásica a través del movimiento browniano complejo ( B _t ) en el plano complejo, partiendo del punto z = 0 en el tiempo t = 0. Sea τ el tiempo de llegada al círculo unitario. Para cada función holomorfa F en el disco unitario,

M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })

es una martingala, que pertenece a la martingala- H ^p si y solo si F ∈ H ^p ( Burkholder, Gundy y Silverstein 1971 ) .

Ejemplo

En este ejemplo, Ω = [0, 1] y Σ _n es el campo finito generado por la partición diádica de [0, 1] en 2 ⁿ intervalos de longitud 2 ^{− n} , para cada n ≥ 0. Si una función f en [0, 1] está representada por su expansión en el sistema de Haar ( h _k )

f=\sum c_{k}h_{k},

Entonces, la norma H ^{1 de la martingala de}f se puede definir mediante la norma L ^{1 de la función cuadrada.}

\int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.

Este espacio, a veces denominado H ¹ (δ), es isomorfo al espacio real clásico H ^{1 en el círculo}( Müller 2005 ) . El sistema de Haar es una base incondicional para H ¹ (δ).

Véase también

Notas

↑ Folland 2001 .
↑ Stein y Murphy 1993 , pág. 88.
↑ ( Garcia, Mashreghi y Ross 2023 , Sec. 5.3)
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Referencias

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[FOOTNOTEFolland2001-1] Folland 2001 .

[FOOTNOTESteinMurphy199388-2] Stein y Murphy 1993 , pág. 88.

[GMR2023-3] ( Garcia, Mashreghi y Ross 2023 , Sec. 5.3)

[4] Beurling, Arne (1948). "Sobre dos problemas relacionados con transformaciones lineales en espacios de Hilbert" . Acta Mathematica . 81 : 239–255 . doi : 10.1007/BF02395019 .

[5] Voichick, Michael; Zalcman, Lawrence (1965). "Funciones internas y externas en superficies de Riemann" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 16 (6): 1200– 1204. doi : 10.1090/S0002-9939-1965-0183883-1 .

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