Modelo Inozemtsev

En física estadística cuántica , el modelo de Inozemtsev es una cadena de espines definida en una red periódica unidimensional. A diferencia de la cadena de espines de Heisenberg prototípica , que solo incluye interacciones entre sitios vecinos de la red, el modelo de Inozemtsev presenta interacciones de largo alcance , es decir, interacciones entre cualquier par de sitios, independientemente de la distancia que los separe.

Fue introducido en 1990 por Vladimir Inozemtsev como un modelo que interpola entre el modelo Heisenberg XXX y el modelo Haldane-Shastry . ^{[ 1 ]} Al igual que esas cadenas de espín, el modelo de Inozemtsev es exactamente soluble .

Para una cadena con${\displaystyle L}$Sitios de espín 1/2, el espacio de fase cuántico se describe mediante el espacio de Hilbert de producto tensorial .${\displaystyle {\mathcal {H}}=(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes L}}$. El modelo de Inozemtsev (elíptico) viene dado por el hamiltoniano (no normalizado) ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle H=\sum _{i<j}^{L}\wp (ij){\frac {1-{\vec {\sigma }}_{i}\cdot {\vec {\sigma }}_{j}}{2}}}$$ donde el par potencial${\displaystyle \wp (z)}$es la función elíptica de Weierstrass y${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{j}}$denota el vector de Pauli en el${\displaystyle j}$el sitio (que actúa de manera no trivial sobre el${\displaystyle j}$la copia de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$). Los períodos de la función elíptica de Weierstrass son la longitud${\displaystyle L}$de la cadena, para asegurar condiciones de contorno periódicas, junto con un período imaginario que establece el rango de interacción y tradicionalmente se parametriza como${\displaystyle \omega =i\,\pi /\kappa }$dónde${\displaystyle \kappa >0}$. La cadena de Haldane-Shastry de largo alcance se obtiene cuando se elimina el período imaginario (${\displaystyle \omega \to i\,\infty }$, entonces${\displaystyle \kappa \to 0}$) mientras que, tras la renormalización, la cadena de espín de Heisenberg se recupera en el límite${\displaystyle \omega \to i\,0^{+}}$(${\displaystyle \kappa \to \infty }$). El límite de longitud infinita${\displaystyle L\to \infty }$en cambio da potencial hiperbólico${\displaystyle 1/\sinh ^{2}(\kappa (ij))}$, razón por la cual la cadena de espín resultante a veces se denomina cadena de Inozemtsev hiperbólica (en contraposición a elíptica).

El sistema se ha resuelto exactamente mediante un método de Bethe ansatz «extendido» . El modelo fue resuelto por Inozemtsev primero en el límite de tamaño de red infinito, ^{[ 3 ]} y posteriormente para tamaño finito. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 2 ]}

El modelo puede utilizarse para comprender ciertos aspectos de la correspondencia AdS/CFT propuesta por Maldacena . Específicamente, las técnicas de integrabilidad han resultado útiles para una instancia "integrable" de la correspondencia. En el lado de la teoría de cuerdas de la correspondencia, se tiene una supercuerda de tipo IIB en${\displaystyle \mathrm {AdS} _ {5}\times \mathrm {S} ^{5}}$, el producto del espacio Anti-de Sitter de cinco dimensiones con la esfera de cinco dimensiones . En el lado de la teoría de campos conformes (CFT) se tiene la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 (N = 4 SYM) en el espacio de cuatro dimensiones.

Las cadenas de espín han resultado útiles para calcular dimensiones anómalas específicas en el lado de la CFT, lo que puede proporcionar evidencia de la correspondencia si se calculan observables coincidentes en el lado de la teoría de cuerdas. En el llamado "límite planar" o "grande"${\displaystyle N}$' límite de N = 4 SYM, en el que el número de colores${\displaystyle N}$, que parametriza el grupo de calibre${\displaystyle SU(N)}$Cuando se envía al infinito, determinar las dimensiones anómalas de un bucle se vuelve equivalente al problema de diagonalizar una cadena de espín apropiada. El modelo de Inozemtsev es uno de esos modelos que ha sido útil para determinar estas cantidades. ^{[ 6 ]} Si bien la coincidencia solo se cumple hasta tres bucles en la teoría de perturbaciones, y su aparición podría haber sido, por lo tanto, algo coincidente, este desarrollo ha atraído la atención de un público más amplio de investigadores hacia la cadena de Inozemtsev.

• Modelo cuántico de Heisenberg
• Modelo de Haldane-Shastry