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Cadena giratoria

Ilustración simplificada del modelo de cadena de espín. El espín del sitio i puede interactuar con los espines de los sitios i - 1 e i + 1. Una cadena de espín es un tipo de mod...

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Ilustración simplificada del modelo de cadena de espín. El espín del sitio i puede interactuar con los espines de los sitios i - 1 e i + 1.

Una cadena de espín es un tipo de modelo en física estadística . Originalmente, las cadenas de espín se formularon para modelar sistemas magnéticos , que suelen consistir en partículas con espín magnético ubicadas en posiciones fijas de una red . Un ejemplo prototípico es el modelo cuántico de Heisenberg . Las interacciones entre las posiciones se modelan mediante operadores que actúan sobre dos posiciones diferentes, a menudo posiciones vecinas.

Pueden ser vistos como una versión cuántica de los modelos de red estadística , como el modelo de Ising , en el sentido de que el parámetro que describe el espín en cada sitio se promueve a partir de una variable que toma valores en un conjunto discreto (típicamente{+1,−1}{\displaystyle \{+1,-1\}}, que representan 'espín hacia arriba' y 'espín hacia abajo') a una variable que toma valores en un espacio vectorial (típicamente la representación bidimensional de espín-1/2 o de espín-1/2)stú(2){\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}).

Historia

El ejemplo prototípico de una cadena de espín es el modelo de Heisenberg, descrito por Werner Heisenberg en 1928. [ 1 ] Este modelo representa una red unidimensional de partículas fijas con espín 1/2. Hans Bethe resolvió una versión simple (el modelo antiferromagnético XXX), es decir, determinó el espectro del hamiltoniano del modelo de Heisenberg, utilizando el ansatz de Bethe . [ 2 ] Ahora el término ansatz de Bethe se utiliza generalmente para referirse a muchos ansatzs utilizados para resolver problemas exactamente solubles en la teoría de cadenas de espín, como para las otras variaciones del modelo de Heisenberg (XXZ, XYZ), e incluso en la teoría de redes estadísticas, como para el modelo de seis vértices .

Otra cadena de espín con aplicaciones físicas es el modelo de Hubbard , introducido por John Hubbard en 1963. [ 3 ] Elliott Lieb y Fa-Yueh Wu demostraron que este modelo era exactamente soluble en 1968. [ 4 ]

Otro ejemplo de (una clase de) cadenas de espín es el modelo de Gaudin , descrito y resuelto por Michel Gaudin en 1976 [ 5 ].

Descripción matemática

La red se describe mediante un grafo.GRAMO{\displaystyle G}con conjunto de vérticesV{\displaystyle V}y conjunto de bordesmi{\displaystyle E}.

El modelo tiene un álgebra de Lie asociada.sl2:=sl(2,do){\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}:={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}En términos más generales, esta álgebra de Lie puede considerarse como cualquier álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita.gramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}. De forma más general, puede considerarse como un álgebra de Lie arbitraria.

Cada vérticev∈V{\displaystyle v\in V}tiene una representación asociada del álgebra de Liegramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}, etiquetadoVv{\displaystyle V_{v}}Se trata de una generalización cuántica de los modelos de retículos estadísticos, donde cada vértice tiene asociada una "variable de espín".

El espacio de HilbertH{\displaystyle {\mathcal {H}}}Para todo el sistema, que podría denominarse espacio de estados , es el producto tensorial de los espacios de representación en cada vértice: H=⨂v∈VVv.{\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _ {v\in V}V_ {v}.}

Un hamiltoniano es, por lo tanto, un operador en el espacio de Hilbert. En la teoría de cadenas de espín, posiblemente existan muchos hamiltonianos que conmutan entre sí. Esto permite diagonalizar simultáneamente los operadores.

Existe el concepto de solubilidad exacta para cadenas de espín, que a menudo se define como la determinación del espectro del modelo. En términos precisos, esto significa determinar los autovectores simultáneos del espacio de Hilbert para los hamiltonianos del sistema, así como los autovalores de cada autovector con respecto a cada hamiltoniano.

Ejemplos

Modelo Spin 1/2 XXX en detalle

El ejemplo prototípico, y un ejemplo particular de la cadena de espín de Heisenberg, se conoce como el modelo XXX de Heisenberg de espín 1/2 . [ 6 ]

El gráficoGRAMO{\displaystyle G}es la red periódica unidimensional connorte{\displaystyle N}-sitios. Explícitamente, esto viene dado porV={1,⋯,norte}{\displaystyle V=\{1,\cdots ,N\}}y los elementos demi{\displaystyle E}ser{norte,norte+1}{\displaystyle \{n,n+1\}}connorte+1{\displaystyle N+1}identificado con1{\displaystyle 1}.

El álgebra de Lie asociada essl2{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}.

En el sitionorte{\displaystyle n}Existe un espacio de Hilbert asociado.hnorte{\displaystyle h_{n}}que es isomorfo a la representación bidimensional desl2{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}(y por lo tanto, isomorfo ado2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}). El espacio de Hilbert de configuraciones del sistema esH=⨂norte=1nortehnorte{\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}, de dimensión2norte{\displaystyle 2^{N}}.

Dado un operadorA{\displaystyle A}en la representación bidimensionalh{\displaystyle h}desl2{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}, denotemos porA(norte){\displaystyle A^{(n)}}el operador enH{\displaystyle {\mathcal {H}}}que actúa comoA{\displaystyle A}enhnorte{\displaystyle h_{n}}y como identidad en el otro ladohmetro{\displaystyle h_{m}}conmetro≠norte{\displaystyle m\neq n}Explícitamente, se puede escribir A(norte)=1⊗⋯⊗A⏟norte⊗⋯⊗1,{\displaystyle A^{(n)}=1\otimes \cdots \otimes \underbrace {A} _{n}\otimes \cdots \otimes 1,} donde el 1 denota identidad.

El hamiltoniano es esencialmente, salvo una transformación afín , H=∑norte=1norteσi(norte)σi(norte+1){\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\sigma _{i}^{(n)}\sigma _{i}^{(n+1)}} con sumatoria implícita sobre el índicei{\displaystyle i}y dóndeσi{\displaystyle \sigma _{i}}son las matrices de Pauli . El hamiltoniano tienesl2{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}simetría bajo la acción de los tres operadores de espín totalσi=∑norte=1norteσi(norte){\displaystyle \sigma _{i}=\sum _{n=1}^{N}\sigma _{i}^{(n)}}.

El problema central es entonces determinar el espectro ( autovalores y autovectores enH{\displaystyle {\mathcal {H}}}) del hamiltoniano. Esto se resuelve mediante el método de un ansatz de Bethe algebraico, descubierto por Hans Bethe y explorado posteriormente por Ludwig Faddeev .

Lista de cadenas de espín

Véase también

Referencias

  1. ↑ Heisenberg, Werner (septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" . Zeitschrift für Physik . 49 ( 9– 10): 619– 636. Bibcode : 1928ZPhy...49..619H . doi : 10.1007/BF01328601 . S2CID 122524239 . Consultado el 4 de octubre de 2022 . 
  2. ^ Bethe, H. (marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette". Zeitschrift für Physik . 71 ( 3– 4): 205– 226. Bibcode : 1931ZPhy...71..205B . doi : 10.1007/BF01341708 . S2CID 124225487 . 
  3. ↑ Hubbard, John (26 de noviembre de 1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 276 (1365): 238– 257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . S2CID 35439962 . 
  4. ↑ Lieb, Elliott H.; Wu, FY (17 de junio de 1968). "Ausencia de transición de Mott en una solución exacta del modelo de banda única de corto alcance en una dimensión". Physical Review Letters . 20 (25): 1445– 1448. Bibcode : 1968PhRvL..20.1445L . doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1445 .
  5. ^ Gaudín, Michel (1976). "Diagonalización de una clase de hamiltoniens de spin" . Revista de físico . 37 (10): 1087– 1098. doi : 10.1051/jphys:0197600370100108700 . Consultado el 26 de septiembre de 2022 .
  6. ↑ Faddeev, Ludwig (1996). "Cómo funciona el Ansatz de Bethe algebraico para modelos integrables". arXiv : hep-th/9605187 .
  • Cadena de espín en nLab