Ángulo inscrito

Sea O el centro de un círculo, como en el diagrama de la derecha. Elija dos puntos en el círculo y llámelos V y A. Designe el punto B como diametralmente opuesto al punto V. Dibuje la cuerda VB , un diámetro que contiene el punto O. Dibuje la cuerda VA . El ángulo ∠ BVA es un ángulo inscrito que intercepta el arco AB ; denótelo como ψ . Dibuje la línea OA . El ángulo ∠ BOA es un ángulo central que también intercepta el arco AB ; denótelo como θ .

Las líneas OV y OA son radios del círculo, por lo que tienen la misma longitud. Por lo tanto, el triángulo △ VOA es isósceles , así que los ángulos ∠ BVA y ∠ VAO son iguales.

Los ángulos ∠ BOA y ∠ AOV son suplementarios , sumando un ángulo llano (180°), por lo que el ángulo ∠ AOV mide 180° − θ .

Los tres ángulos del triángulo △ VOA deben sumar 180° :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

Agregar${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$a ambas partes cede

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C y D sobre él. Dibuje las rectas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuje la recta OV y extiéndala más allá del punto O de manera que interseque el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC interseca el arco DC sobre el círculo.

Supongamos que este arco incluye el punto E. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ DVE y ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos tienen un lado que pasa por el centro del círculo; por lo tanto, se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

Dibuje las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ DOE y ∠ EOC , y $${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

Desde la primera parte sabemos que${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$y eso${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$. Combinando estos resultados con la ecuación (2) se obtiene

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

Por lo tanto, según la ecuación (1),

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

El caso anterior puede extenderse para cubrir el caso en el que la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos, como se analizó en la primera parte de esta demostración.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C y D sobre él. Dibuje las rectas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuje la recta OV y extiéndala más allá del punto O de manera que interseque el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC interseca el arco DC sobre el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ EVD y ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos tienen un lado que pasa por el centro del círculo; por lo tanto, se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD.}$$

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

Dibuje las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ EOD y ∠ EOC , y

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

Desde la primera parte sabemos que${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$y eso${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$. Combinando estos resultados con la ecuación (4) se obtiene $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$ Por lo tanto, según la ecuación (3), $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$