Teoría de la renovación

La teoría de la renovación es la rama de la teoría de la probabilidad que generaliza el proceso de Poisson para tiempos de retención arbitrarios. En lugar de tiempos de retención con distribución exponencial , un proceso de renovación puede tener tiempos de retención independientes e idénticamente distribuidos (IID) con esperanza finita. Un proceso de renovación-recompensa también tiene una secuencia aleatoria de recompensas incurridas en cada tiempo de retención, las cuales son IID pero no necesariamente independientes de los tiempos de retención.

Un proceso de renovación tiene propiedades asintóticas análogas a la ley fuerte de los grandes números y al teorema del límite central . La función de renovación${\displaystyle m(t)}$(número esperado de llegadas) y función de recompensa${\displaystyle g(t)}$(valor de recompensa esperado) son de vital importancia en la teoría de renovación. La función de renovación satisface una ecuación integral recursiva, la ecuación de renovación. La ecuación de renovación clave proporciona el valor límite de la convolución de${\displaystyle m'(t)}$con una función no negativa adecuada. La superposición de procesos de renovación puede estudiarse como un caso especial de procesos de renovación de Markov .

Las aplicaciones incluyen calcular la mejor estrategia para reemplazar maquinaria desgastada en una fábrica; comparar los beneficios a largo plazo de diferentes pólizas de seguro; y modelar la transmisión de enfermedades infecciosas, donde "Uno de los medios más ampliamente adoptados para inferir el número de reproducción es a través de la ecuación de renovación". ^{[ 1 ]} La paradoja de la inspección se relaciona con el hecho de que observar un intervalo de renovación en el tiempo t da un intervalo con un valor promedio mayor que el de un intervalo de renovación promedio.

Dejar${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$ser una secuencia de variables aleatorias IID ( recompensas ) que satisfacen

${\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}$

Entonces la variable aleatoria

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}$

se denomina proceso de renovación-recompensa . Tenga en cuenta que, a diferencia del${\displaystyle S_{i}}$, cada${\displaystyle W_{i}}$puede tomar valores negativos además de valores positivos.

La variable aleatoria${\displaystyle Y_{t}}$depende de dos secuencias: los tiempos de retención${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$y las recompensas ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$Estas dos secuencias no tienen por qué ser independientes. En particular,${\displaystyle W_{i}}$puede ser una función de${\displaystyle S_{i}}$.

Definimos la función de renovación como el valor esperado del número de saltos observados hasta cierto tiempo.${\displaystyle t}$:

${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}].\,}$

Sea X un proceso de renovación con función de renovación${\displaystyle m(t)}$y la renovación intermedia significa${\displaystyle \mu }$. Dejar${\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$ser una función que satisfaga:

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }$
• g es monótona y no creciente.

El teorema clave de renovación establece que, como${\displaystyle t\rightarrow \infty }$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}$

Los procesos de renovación y los procesos de renovación-recompensa tienen propiedades análogas a la ley fuerte de los grandes números , que se puede derivar del mismo teorema. Si${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$es un proceso de renovación y${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$Se trata entonces de un proceso de renovación y recompensa:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$^{[ 7 ]}

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\operatorname {E} [W_{1}]}$

casi con seguridad.

Los procesos de renovación tienen además una propiedad análoga al teorema del límite central : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}$

Una característica curiosa de los procesos de renovación es que si esperamos un tiempo predeterminado t y luego observamos cuán grande es el intervalo de renovación que contiene t , deberíamos esperar que sea típicamente mayor que un intervalo de renovación de tamaño promedio.

Matemáticamente, la paradoja de la inspección establece que, para cualquier t > 0, el intervalo de renovación que contiene a t es estocásticamente mayor que el primer intervalo de renovación. Es decir, para todo x > 0 y para todo t > 0:

${\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$

donde F _S es la función de distribución acumulativa de los tiempos de espera IID S _i . Un ejemplo ilustrativo es la paradoja del tiempo de espera del autobús : para una distribución aleatoria dada de llegadas de autobuses, el pasajero promedio en una parada de autobús observa más retrasos que el operador promedio de los autobuses.

La solución a la paradoja reside en que nuestra distribución muestreada en el instante t está sesgada por el tamaño (véase sesgo de muestreo ), ya que la probabilidad de que se elija un intervalo es proporcional a su tamaño. Sin embargo, un intervalo de renovación de tamaño medio no está sesgado por el tamaño.

A menos que el proceso de renovación sea un proceso de Poisson, la superposición (suma) de dos procesos de renovación independientes no es un proceso de renovación. ^{[ 8 ]} Sin embargo, tales procesos pueden describirse dentro de una clase más amplia de procesos llamados procesos de renovación de Markov . ^{[ 9 ]} Sin embargo, la función de distribución acumulativa del primer tiempo entre eventos en el proceso de superposición viene dada por ^{[ 10 ]}

${\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}$

donde R _k ( t ) y α _k  >  0 son la función de distribución acumulada de los tiempos entre eventos y la tasa de llegada del proceso k . ^{[ 11 ]}

Eric, el empresario, posee n máquinas, cada una con una vida útil uniformemente distribuida entre cero y dos años. Eric puede dejar que cada máquina funcione hasta que falle, con un coste de reposición de 2600 €; o bien, puede reemplazarla en cualquier momento mientras aún funcione, con un coste de 200 €.

¿Cuál es su política de reemplazo óptima?

• Cox, David (1970). Teoría de la renovación . Londres: Methuen & Co. pág.  142. ISBN 0-412-20570-X.
• Doob, JL (1948). "Teoría de la renovación desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 63 (3): 422– 438. doi : 10.2307/1990567 . JSTOR 1990567 . 
• Feller, William (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol.  2 (segunda  edición). Wiley.
• Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992). Probabilidad y procesos aleatorios (segunda  ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-857222-0.
• Smith, Walter L. (1958). "Teoría de la renovación y sus ramificaciones". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B. 20 ( 2): 243– 302. doi : 10.1111/j.2517-6161.1958.tb00294.x . JSTOR 2983891 . 
• Wanli Wang, Johannes HP Schulz, Weihua Deng y Eli Barkai (2018). "Teoría de renovación con tiempos de permanencia distribuidos de cola pesada: típico versus raro". Phys. Rev. E . 98 (4) 042139. arXiv : 1809.05856 . Bibcode : 2018PhRvE..98d2139W . doi : 10.1103/PhysRevE.98.042139 . S2CID 54727926 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )