Retículo entero

En matemáticas , la red entera n- dimensional , denotada ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$⁠ , es la red en el espacio euclidiano ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$cuyos puntos de la red son n- tuplas de enteros . La red entera bidimensional también se denomina red cuadrada (o red reticular ) y la red entera tridimensional se denomina red cúbica .${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$⁠ es el ejemplo más simple de una red de raíces . La red entera es una red unimodular impar .

El grupo de automorfismos (o grupo de congruencias ) del retículo entero consta de todas las permutaciones y cambios de signo de las coordenadas, y es de orden 2 ⁿ n ! . Como grupo de matrices , está dado por el conjunto de todas las matrices de permutación con signo de n × n . Este grupo es isomorfo al producto semidirecto.

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

donde el grupo simétrico S _n actúa sobre ( Z ₂ ) ⁿ mediante permutación (este es un ejemplo clásico de un producto de corona ).

Para la red cuadrada, este es el grupo del cuadrado , o el grupo diedral de orden 8; para la red cúbica tridimensional, obtenemos el grupo del cubo , o grupo octaédrico , de orden 48.

En el estudio de la geometría diofántica , la red cuadrada de puntos con coordenadas enteras se denomina a menudo plano diofántico . En términos matemáticos, el plano diofántico es el producto cartesiano.${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$del anillo de todos los números enteros${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$El estudio de las figuras diofánticas se centra en la selección de nodos en el plano diofántico de tal manera que todas las distancias entre pares de nodos sean números enteros.

En geometría gruesa , la red entera es aproximadamente equivalente al espacio euclidiano .

El teorema de Pick , descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899, proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con todos sus vértices situados en la red entera bidimensional, en función del número de puntos enteros que contiene y que se encuentran en su frontera. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle i}$Sea el número de puntos enteros en el interior del polígono, y sea${\displaystyle b}$Sea el número de puntos enteros en su límite (incluyendo tanto vértices como puntos a lo largo de los lados). Entonces el área${\displaystyle A}$de este polígono es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$ El ejemplo mostrado tiene${\displaystyle i=7}$puntos interiores y${\displaystyle b=8}$puntos límite, por lo que su área es${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$unidades cuadradas.

• cuadrícula regular

• Olds, CD ; Lax, Anneli ; Davidoff, Giuliana (2000). La geometría de los números . Nueva Biblioteca Matemática. Vol.  41. Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-643-3.