La geometría de los números

La geometría de los números es un libro sobre la geometría de los números , un área de las matemáticas en la quese utiliza la geometría de retículos , conjuntos repetitivos de puntos en el plano o en dimensiones superiores, para obtener resultados en la teoría de números . Fue escrito por Carl D. Olds , Anneli Cahn Lax y Giuliana Davidoff , y publicado por la Asociación Matemática de América en el año 2000 como el volumen 41 de su serie de libros «Anneli Lax New Mathematical Library».

La Geometría de los Números se basa en un manuscrito que Carl D. Olds , matemático neozelandés que trabajaba en la Universidad Estatal de San José, California , aún estaba escribiendo cuando falleció en 1979. Anneli Cahn Lax , editora de la New Mathematical Library de la Mathematical Association of America , se encargó de su edición, pero quedó inconclusa cuando murió en 1999. Finalmente, Giuliana Davidoff retomó el proyecto y lo llevó a su publicación en 2000. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La Geometría de los Números es relativamente corta, ^{[ 3 ] [ 4 ]} y está dividida en dos partes. La primera parte aplica la teoría de números a la geometría de retículos, y la segunda aplica resultados sobre retículos a la teoría de números. ^{[ 1 ]} Los temas de la primera parte incluyen la relación entre la distancia máxima entre líneas paralelas que no están separadas por ningún punto de un retículo y la pendiente de las líneas, ^{[ 5 ]} el teorema de Pick que relaciona el área de un polígono de retículo con el número de puntos de retículo que contiene, ^{[ 4 ]} y el problema del círculo de Gauss de contar puntos de retículo en un círculo centrado en el origen del plano. ^{[ 1 ]}

La segunda parte comienza con el teorema de Minkowski , que establece que los conjuntos convexos con simetría central de área suficientemente grande (o volumen en dimensiones superiores) necesariamente contienen un punto de la red distinto de cero. Aplica esto a la aproximación diofántica , el problema de aproximar con precisión uno o más números irracionales mediante números racionales. Después de otro capítulo sobre las transformaciones lineales de redes, el libro estudia el problema de encontrar los valores no nulos más pequeños de formas cuadráticas y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , que establece que todo entero no negativo puede representarse como una suma de cuatro cuadrados de enteros. Los dos últimos capítulos tratan sobre el teorema de Blichfeldt , que establece que las regiones planas acotadas con área${\displaystyle A}$puede traducirse para cubrir al menos${\displaystyle \lceil A\rceil }$puntos de la red y resultados adicionales en la aproximación diofántica. ^{[ 1 ]} Los capítulos sobre el teorema de Minkowski y el teorema de Blichfeldt, en particular, han sido llamados las "piedras angulares" del libro por el crítico Philip J. Davis . ^{[ 2 ]}

Un apéndice de Peter Lax trata sobre los enteros gaussianos . ^{[ 6 ]} Un segundo apéndice trata sobre métodos basados ​​en retículos para problemas de empaquetamiento , incluyendo el empaquetamiento de círculos y, en dimensiones superiores, el empaquetamiento de esferas . ^{[ 4 ] [ 6 ]} El libro concluye con biografías de Hermann Minkowski y Hans Frederick Blichfeldt . ^{[ 6 ]}

La Geometría de los Números está dirigida a estudiantes de matemáticas de secundaria y universitarios, aunque puede resultar demasiado avanzada para los estudiantes de secundaria; contiene ejercicios que la hacen adecuada para su uso en el aula. ^{[ 3 ]} Se la ha descrito como «expositiva», ^{[ 4 ]} «autónoma», ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]} y «de fácil lectura». ^{[ 6 ]}

Sin embargo, el crítico Henry Cohn señala varios errores de edición, se queja de la selección de temas, en la que «las curiosidades se equiparan a los resultados profundos», y omite algunos ejemplos conocidos. A pesar de ello, recomienda el libro a los lectores que aún no estén preparados para tratamientos más avanzados de este material y deseen contemplar «matemáticas bellas». ^{[ 5 ]}