Constante de movimiento

En mecánica , una constante de movimiento es una magnitud física que se conserva a lo largo del movimiento, imponiendo, en efecto, una restricción al mismo. Sin embargo, se trata de una restricción matemática , consecuencia natural de las ecuaciones de movimiento , y no de una restricción física (que requeriría fuerzas de restricción adicionales ). Algunos ejemplos comunes son la energía , el momento lineal , el momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz (para leyes de fuerza inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia ).

Aplicaciones

Las constantes de movimiento son útiles porque permiten derivar propiedades del movimiento sin resolver las ecuaciones de movimiento . En algunos casos, incluso la trayectoria del movimiento puede derivarse como la intersección de isosuperficies correspondientes a las constantes de movimiento. Por ejemplo, la construcción de Poinsot muestra que la rotación sin torque de un cuerpo rígido es la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de la energía), una trayectoria que de otro modo sería difícil de derivar y visualizar. Por lo tanto, la identificación de las constantes de movimiento es un objetivo importante en mecánica .

Métodos para identificar constantes de movimiento

Existen varios métodos para identificar las constantes de movimiento.

El enfoque más simple, pero menos sistemático, es la derivación intuitiva ("psíquica"), en la que se plantea la hipótesis de que una cantidad es constante (quizás debido a datos experimentales ) y posteriormente se demuestra matemáticamente que se conserva a lo largo del movimiento.
Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan un método sencillo y de uso común para identificar constantes de movimiento, especialmente cuando el hamiltoniano adopta formas funcionales reconocibles en coordenadas ortogonales .
Otro enfoque consiste en reconocer que una cantidad conservada corresponde a una simetría del lagrangiano . El teorema de Noether proporciona una forma sistemática de derivar dichas cantidades a partir de la simetría. Por ejemplo, la conservación de la energía resulta de la invariancia del lagrangiano ante cambios en el origen del tiempo , la conservación del momento lineal resulta de la invariancia del lagrangiano ante cambios en el origen del espacio ( simetría traslacional ) y la conservación del momento angular resulta de la invariancia del lagrangiano ante rotaciones . Lo contrario también es cierto; cada simetría del lagrangiano corresponde a una constante de movimiento, a menudo denominada carga o corriente conservada .
Una cantidad $A$ es una constante del movimiento si su derivada temporal total es cero. $0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},$ que ocurre cuando $A$ Corchete de Poisson de con el hamiltoniano igual a menos su derivada parcial con respecto al tiempo ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.$

Otro resultado útil es el teorema de Poisson , que establece que si dos cantidades $A$ y $B$ son constantes de movimiento, por lo que también lo es su corchete de Poisson. $\{A,B\}$ .

Un sistema con n grados de libertad y n constantes de movimiento, tal que el corchete de Poisson de cualquier par de constantes de movimiento se anula, se conoce como un sistema completamente integrable . Se dice que tal conjunto de constantes de movimiento está en involución entre sí. Para un sistema cerrado ( lagrangiano que no depende explícitamente del tiempo), la energía del sistema es una constante de movimiento (una cantidad conservada ).

En mecánica cuántica

Una magnitud observable Q será una constante de movimiento si conmuta con el hamiltoniano H y no depende explícitamente del tiempo. Esto se debe a que ${\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,$ dónde $[H,Q]=HQ-QH\,$ es la relación de conmutación.

Derivación

Digamos que existe una magnitud observable $Q$ que depende de la posición, el momento y el tiempo, $Q=Q(x,p,t)$

Y también, que existe una función de onda que obedece la ecuación de Schrödinger. $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .$

Para calcular la derivada temporal del valor esperado de $Q$ se requiere el uso de la regla del producto y se obtiene: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}$

Así que finalmente,

Comentario

Para un estado arbitrario de un sistema mecánico cuántico, si $H$ y $Q$ conmutan, es decir, si $\left[H,Q\right]=0$ y $Q$ no depende explícitamente del tiempo, entonces ${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$

Pero si $\psi$ es una autofunción del hamiltoniano, entonces incluso si $\left[H,Q\right]\neq 0$ Todavía es cierto que ${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$ siempre que $Q$ sea independiente del tiempo.

Derivación

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle$ Desde $H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,$ entonces ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}$ Esta es la razón por la que los autoestados del hamiltoniano también se denominan estados estacionarios.

Relevancia para el caos cuántico

En general, un sistema integrable posee constantes de movimiento distintas de la energía. Por el contrario, en un sistema no integrable , la energía es la única constante de movimiento ; estos sistemas se denominan caóticos. En general, un sistema mecánico clásico solo puede cuantificarse si es integrable; a fecha de 2026 , no se conoce ningún método consistente para cuantificar sistemas dinámicos caóticos.

Integral de movimiento

Una constante de movimiento puede definirse en un campo de fuerza dado como cualquier función de las coordenadas del espacio de fases (posición y velocidad, o posición y momento) y del tiempo que sea constante a lo largo de una trayectoria. Un subconjunto de las constantes de movimiento son las integrales de movimiento , o primeras integrales , definidas como cualquier función de solo las coordenadas del espacio de fases que sean constantes a lo largo de una órbita. Toda integral de movimiento es una constante de movimiento, pero lo contrario no es cierto porque una constante de movimiento puede depender del tiempo. ^{[ 2 ]} Ejemplos de integrales de movimiento son el vector de momento angular, $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v}$ , o un hamiltoniano sin dependencia del tiempo, como por ejemplo ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ Un ejemplo de una función que es una constante de movimiento pero no una integral de movimiento sería la función $C(x,v,t)=x-vt$ para un objeto que se mueve a velocidad constante en una dimensión.

observables de Dirac

Para extraer información física de las teorías de gauge , se construyen observables invariantes de gauge o se fija un gauge. En un lenguaje canónico, esto generalmente implica construir funciones que conmutan de Poisson en la superficie de restricción con el gauge generador de restricciones de primera clase , o bien fijar el flujo de este último seleccionando puntos dentro de cada órbita de gauge . Dichos observables invariantes de gauge son, por lo tanto, las "constantes de movimiento" de los generadores de gauge y se denominan observables de Dirac.

Referencias

^ Landau, L.; Lifshitz, E. (1960). Mecánica . Prensa de Pérgamo. pag. 135.ISBN 0-7506-2896-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Binney, J. y Tremaine, S.: Dinámica galáctica . Princeton University Press. 27 de enero de 2008. ISBN 9780691130279. Consultado el 5 de mayo de 2011 .