Prueba integral de convergencia

En matemáticas , el criterio integral de convergencia es un método utilizado para comprobar la convergencia de series infinitas de términos monótonos . Fue desarrollado por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y a veces se le conoce como el criterio de Maclaurin-Cauchy .

Consideremos un entero N y una función f definida en el intervalo no acotado [ N , ∞) , en el que es monótonamente decreciente . Entonces la serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

converge a un número real si y solo si la integral impropia

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

es finito. En particular, si la integral diverge, entonces la serie también diverge.

La demostración utiliza la prueba de comparación , comparando el término${\displaystyle f(n)}$con la integral de${\displaystyle f}$sobre los intervalos${\displaystyle [n-1,n)}$y${\displaystyle [n,n+1)}$respectivamente.

La función monótona${\displaystyle f}$es continua casi en todas partes . Para demostrar esto, dejemos

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ es discontinua en }}x\}}$

Por cada${\displaystyle x\in D}$, existe por la densidad de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, a${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$de modo que${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$.

Nótese que este conjunto contiene un intervalo abierto no vacío precisamente si${\displaystyle f}$es discontinuo en${\displaystyle x}$Podemos identificar de forma única${\displaystyle c(x)}$como el número racional que tiene el índice más pequeño en una enumeración${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$y satisface la propiedad anterior. Dado que${\displaystyle f}$es monótono , esto define una aplicación inyectiva${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$y por lo tanto${\displaystyle D}$es contable . De ello se deduce que${\displaystyle f}$es continua casi en todas partes . Esto es suficiente para la integrabilidad de Riemann . ^{[ 5 ]}

Dado que f es una función monótona decreciente, sabemos que

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

y

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Por lo tanto, para cada entero n ≥ N ,

y, para cada entero n ≥ N + 1 ,

Al sumar sobre todos los n desde N hasta algún entero mayor M , obtenemos de ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

y de ( 3 )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

La combinación de estas dos estimaciones produce

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Haciendo que M tienda a infinito, se obtienen los límites en ( 1 ) y el resultado.

La serie armónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

diverge porque, usando el logaritmo natural , su antiderivada y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Por otro lado, la serie

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(cf. función zeta de Riemann ) converge para todo ε > 0 , porque por la regla de potencia

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

De ( 1 ) obtenemos la estimación superior

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

que se pueden comparar con algunos de los valores particulares de la función zeta de Riemann .

Los ejemplos anteriores que involucran la serie armónica plantean la cuestión de si existen secuencias monótonas tales que f ( n ) disminuye a 0 más rápido que 1/ n pero más lento que 1/ n ^{1+ ε} en el sentido de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

Para cada ε > 0 , se analiza si la serie correspondiente de f ( n ) sigue divergiendo. Una vez hallada dicha secuencia, se puede plantear una pregunta similar con f ( n ) tomando el papel de 1/ n (si f ( n ) diverge) o 1/ n² ^{+ ε} (si f ( n ) converge), y así sucesivamente. De esta forma, es posible investigar el límite entre la divergencia y la convergencia de series infinitas.

Utilizando el criterio integral de convergencia, se puede demostrar (véase más abajo) que, para cada número natural k , la serie

aún diverge (cf. prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge para k = 1 ) pero

converge para todo ε > 0. Aquí ln _k denota la composición k -ésima del logaritmo natural definido recursivamente por

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Además, sea N _k el número natural más pequeño tal que la composición k -ésima esté bien definida y ln _k ( N _k ) ≥ 1 , es decir

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

utilizando la tetración o la notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) usando la prueba integral, observe que mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), observe que por la regla de la potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior,

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

y ( 1 ) da límites para la serie infinita en ( 5 ).

• Pruebas de convergencia
• Convergencia puntual
• Convergencia incondicional
• Convergencia uniforme
• Prueba de comparación directa
• Teorema de convergencia dominada
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• prueba de comparación límite
• Teorema de convergencia monótona

• Knopp, Konrad , «Secuencias y series infinitas», Dover Publications , Inc., Nueva York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, ET y Watson, GN, Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
• Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3