Valores particulares de la función zeta de Riemann

En matemáticas , la función zeta de Riemann es una función del análisis complejo , que también es importante en la teoría de números . A menudo se denota y lleva el nombre del matemático Bernhard Riemann . Cuando el argumento es un número real mayor que uno, la función zeta satisface la ecuación Por lo tanto, puede proporcionar la suma de varias series infinitas convergentes , como Existen fórmulas explícitas o numéricamente eficientes para argumentos enteros en, todos los cuales tienen valores reales, incluido este ejemplo. Este artículo enumera estas fórmulas, junto con tablas de valores. También incluye derivadas y algunas series compuestas por la función zeta en argumentos enteros. ${\displaystyle \zeta(s)}$${\estilo de visualización s}$$${\displaystyle \zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.}$$${\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}$${\estilo de texto {\frac {1}{2^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}$${\displaystyle \zeta(s)}$

La misma ecuación anterior también se cumple cuando es un número complejo cuya parte real es mayor que uno, lo que garantiza que la suma infinita aún converge. La función zeta se puede extender entonces a todo el plano complejo por continuación analítica , excepto por un polo simple en . La derivada compleja existe en esta región más general, lo que hace que la función zeta sea una función meromórfica . La ecuación anterior ya no se aplica para estos valores extendidos de , para los cuales la suma correspondiente divergiría. Por ejemplo, la función zeta completa existe en (y por lo tanto es finita allí), pero la serie correspondiente sería cuyas sumas parciales crecerían indefinidamente. ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s=1}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s=-1}$${\textstyle 1+2+3+\lpuntos \,,}$

Los valores de la función zeta que se enumeran a continuación incluyen valores de función en los números pares negativos ( s = −2 , −4 , etc. ), para los que ζ ( s ) = 0 y que forman los denominados ceros triviales . El artículo sobre la función zeta de Riemann incluye un gráfico de colores que ilustra cómo varía la función en una región rectangular continua del plano complejo. La caracterización exitosa de sus ceros no triviales en el plano más amplio es importante en la teoría de números, debido a la hipótesis de Riemann .

En cero , uno tiene $${\displaystyle \zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!}$$

En 1 hay un polo , por lo que ζ (1) no es finito pero los límites izquierdo y derecho son: Como es un polo de primer orden, tiene un residuo complejo$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty }$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \zeta (1+\varepsilon )=1\,.}$$

Para los números enteros positivos pares , se tiene la relación con los números de Bernoulli : ${\estilo de visualización n}$ $Estilo de visualización B_{n}$

$${\displaystyle \zeta (n)=(-1)^{{\tfrac {n}{2}}+1}{\frac {(2\pi )^{n}B_{n}}{2(n !)}}\,.}$$

El cálculo de se conoce como el problema de Basilea . El valor de está relacionado con la ley de Stefan-Boltzmann y la aproximación de Wien en física. Los primeros valores se dan por: ${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \zeta (4)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\zeta (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta (12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16}}}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}}$$

Tomando el límite , se obtiene . ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta (\infty )=1}$

La relación entre zeta en los números enteros pares positivos y los números de Bernoulli se puede escribir como

$${\displaystyle A_{n}\zeta (2n)=\pi ^{2n}B_{n}}$$

donde y son números enteros para todos los números pares . Estos se dan por las secuencias de números enteros OEIS : A002432 y OEIS : A046988 , respectivamente, en OEIS . Algunos de estos valores se reproducen a continuación: ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

Si dejamos que sea el coeficiente de como se indica arriba, entonces encontramos recursivamente, ${\displaystyle \eta _{n}=B_{n}/A_{n}}$${\displaystyle \pi ^{2n}}$$${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{1}&=1/6\\\eta _{n}&=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}\end{aligned}}}$$

Esta relación de recurrencia puede derivarse de la de los números de Bernoulli .

Además, hay otra recurrencia:

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\quad {\text{ for }}\quad n>1}$$ lo cual se puede demostrar, usando que${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-1-\cot ^{2}(x)}$

Los valores de la función zeta en números enteros pares no negativos tienen la función generadora : Dado que la fórmula también muestra que para , $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)x^{2n}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}x^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{6}+\cdots }$$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\zeta (2n)=1}$$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \infty }$$${\displaystyle \left|B_{2n}\right|\sim {\frac {(2n)!\,2}{\;~(2\pi )^{2n}\,}}}$$

La suma de la serie armónica es infinita. $${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty \!}$$

El valor ζ (3) también se conoce como constante de Apéry y tiene un papel en la relación giromagnética del electrón. El valor ζ (3) también aparece en la ley de Planck . Estos y otros valores adicionales son:

Se sabe que ζ (3) es irracional ( teorema de Apéry ) y que una cantidad infinita de números ζ (2 n  + 1) : n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ , son irracionales. ^[1] También existen resultados sobre la irracionalidad de los valores de la función zeta de Riemann en los elementos de ciertos subconjuntos de los enteros impares positivos; por ejemplo, al menos uno de ζ (5), ζ (7), ζ (9) o ζ (11) es irracional. ^[2]

Los números enteros impares positivos de la función zeta aparecen en física, específicamente las funciones de correlación de la cadena de espín XXX antiferromagnética . ^[3]

La mayoría de las identidades que se indican a continuación fueron proporcionadas por Simon Plouffe . Se destacan por su convergencia bastante rápida, lo que da una precisión de casi tres dígitos por iteración, por lo que son útiles para cálculos de alta precisión.

Plouffe afirmó las siguientes identidades sin pruebas. ^[4] Otros autores aportaron pruebas posteriormente. ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (5)&={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\\\zeta (5)&=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}\!}$$

Nótese que la suma tiene la forma de una serie de Lambert .

Definiendo las cantidades

$${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$$

Una serie de relaciones se pueden dar en la forma

$${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)}$$

donde A _n , B _n , C _n y D _n son números enteros positivos. Plouffe ofrece una tabla de valores:

Estas constantes enteras pueden expresarse como sumas de números de Bernoulli, como se indica en (Vepstas, 2006) a continuación.

EA Karatsuba ofrece un algoritmo rápido para el cálculo de la función zeta de Riemann para cualquier argumento entero. ^{[6] [7] [8]}

En general, para números enteros negativos (y también cero), se tiene

$${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

Los llamados "ceros triviales" se encuentran en los números enteros pares negativos:

$${\displaystyle \zeta (-2n)=0}$$( Resumen de Ramanujan )

Los primeros valores para números enteros impares negativos son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}}$$

Sin embargo, al igual que los números de Bernoulli , estos no permanecen pequeños para valores impares cada vez más negativos. Para obtener más detalles sobre el primer valor, consulte 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .

Por lo tanto, ζ ( m ) puede usarse como la definición de todos los números de Bernoulli (incluidos aquellos de índice 0 y 1).

La derivada de la función zeta en los números enteros pares negativos está dada por

$${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.}$$

Los primeros valores son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}}$$

Uno también tiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}}$$

donde A es la constante de Glaisher–Kinkelin . La primera de estas identidades implica que el producto regularizado de los recíprocos de los números enteros positivos es , de ahí la divertida "ecuación" . ^[9]${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \infty !={\sqrt {2\pi }}}$

De la derivada logarítmica de la ecuación funcional,

$${\displaystyle 2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.}$$

Las siguientes sumas se pueden derivar de la función generadora: donde ψ ₀ es la función digamma . $${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

Las series relacionadas con la constante de Euler-Mascheroni (denotada por γ ) son $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}}$$

y utilizando el valor principal que por supuesto afecta solo al valor 1, estas fórmulas se pueden expresar como $${\displaystyle \zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}}$$

y demostrar que dependen del valor principal de ζ (1) = γ .

Los ceros de la zeta de Riemann, excepto los números enteros pares negativos, se denominan "ceros no triviales". La hipótesis de Riemann establece que la parte real de cada cero no trivial debe ser ⁠1/2⁠ . En otras palabras, todos los ceros no triviales conocidos del zeta de Riemann tienen la forma z = ⁠1/2⁠ + y i donde y es un número real. La siguiente tabla contiene la expansión decimal de Im( z ) para los primeros ceros no triviales:

Andrew Odlyzko calculó los primeros 2 millones de ceros no triviales con una precisión de 4 × 10⁻⁹ y los primeros 100 ceros con una precisión de 1000 decimales. Consulte su sitio web para ver las tablas y bibliografías. ^{[10] [11]} Una tabla de aproximadamente 103 mil millones de ceros con alta precisión (de ±2 ^-102 ≈±2·10 ^-31 ) está disponible para acceso interactivo y descarga (aunque en un formato comprimido muy inconveniente) a través de LMFDB . ^[12]

Aunque evaluar valores particulares de la función zeta es difícil, a menudo se pueden encontrar ciertas proporciones insertando valores particulares de la función gamma en la ecuación funcional.

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$

Tenemos relaciones simples para argumentos semienteros.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}}$

A continuación se presentan otros ejemplos para evaluaciones y relaciones más complicadas de la función gamma. Por ejemplo, una consecuencia de la relación

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

es la relación de razón zeta

${\displaystyle {\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

donde AGM es la media aritmético-geométrica . De manera similar, es posible formar relaciones radicales, como por ejemplo

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

La relación zeta análoga es

${\displaystyle {\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}}$

• Ciaurri, Óscar; Navas, Luis M.; Ruiz, Francisco J.; Varona, Juan L. (mayo de 2015). "Un cálculo simple de ζ (2 k )". The American Mathematical Monthly . 122 (5): 444–451. doi :10.4169/amer.math.monthly.122.5.444. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.5.444. S2CID  207521195.
• Simon Plouffe , "Identidades inspiradas en los cuadernos de Ramanujan Archivado el 30 de enero de 2009 en Wayback Machine ", (1998).
• Simon Plouffe , "Identidades inspiradas en los Cuadernos de Ramanujan parte 2 PDF Archivado el 26 de septiembre de 2011 en Wayback Machine " (2006).
• Vepstas, Linas (2006). "Sobre las identidades Ramanujan de Plouffe" (PDF) . The Ramanujan Journal . 27 (3): 387–408. arXiv : math.NT/0609775 . doi :10.1007/s11139-011-9335-9. S2CID  8789411.
• Zudilin, Wadim (2001). "Uno de los números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) es irracional". Encuestas matemáticas rusas . 56 (4): 774–776. Código Bib : 2001RuMaS..56..774Z. doi :10.1070/RM2001v056n04ABEH000427. SEÑOR  1861452. S2CID  250734661.PDF PDF Ruso PS Ruso
• Referencia de ceros no triviales de Andrew Odlyzko :
  • Bibliografía
  • Tablas