Integración a lo largo de las fibras

En geometría diferencial , la integración a lo largo de las fibras de una k -forma produce una${\displaystyle (km)}$-forma donde m es la dimensión de la fibra, a través de " integración ". También se denomina integración de fibra .

Dejar${\displaystyle \pi :E\to B}$ser un haz de fibras sobre un colector con fibras orientadas compactas.${\displaystyle \alpha }$es una k -forma en E , entonces para vectores tangentes w _i en b , sea

${\displaystyle (\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{km})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta }$

dónde${\displaystyle \beta }$es la forma superior inducida en la fibra${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$; es decir, un${\displaystyle m}$-forma dada por: con${\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}$ascensores de${\displaystyle w_{i}}$a${\displaystyle E}$,

${\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{km}}}).}$

(Para ver${\displaystyle b\mapsto (\pi _ {*}\alpha )_ {b}}$es suave, resuélvalo en coordenadas; véase el ejemplo a continuación.)

Entonces${\displaystyle \pi _{*}}$es un mapa lineal${\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{km}(B)}$. Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir, ${\displaystyle [d,\int ]=0}$), el mapa desciende a la cohomología de de Rham :

${\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{km}(B;\mathbb {R} ).}$

Esto también se conoce como integración de fibra.

Ahora, supongamos que...${\displaystyle \pi }$es un haz de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Entonces hay una secuencia exacta${\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}$, K el núcleo, que conduce a una larga secuencia exacta, descartando el coeficiente${\displaystyle \mathbb {R} }$y utilizando${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}$:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _ {*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots }$,

llamada secuencia de Gysin .

Dejar${\displaystyle \pi :M\times [0,1]\to M}$ser una proyección obvia. Primero supongamos${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$con coordenadas${\displaystyle x_{j}}$y consideremos una k -forma:

${\displaystyle \alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.}$

Luego, en cada punto de M ,

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.}$^{[ 1 ]}

A partir de este cálculo local, se deduce fácilmente la siguiente fórmula (véase Poincaré_lemma#Direct_proof ): si${\displaystyle \alpha }$es cualquier k -forma en${\displaystyle M\times [0,1],}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )}$

dónde${\displaystyle \alpha _{i}}$es la restricción de${\displaystyle \alpha }$a${\displaystyle M\times \{i\}}$.

Como aplicación de esta fórmula, dejemos${\displaystyle f:M\times [0,1]\to N}$ser un mapa suave (considerado como una homotopía). Luego la composición${\displaystyle h=\pi _{*}\circ f^{*}}$es un operador de homotopía (también llamado homotopía de cadena):

${\displaystyle d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),}$

lo cual implica${\displaystyle f_{1},f_{0}}$inducir el mismo mapa en la cohomología, hecho conocido como la invariancia homotópica de la cohomología de de Rham . Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R ⁿ con centro en el origen y sea${\displaystyle f_{t}:U\to U,x\mapsto tx}$. Entonces${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )}$, el hecho conocido como el lema de Poincaré .

Dado un fibrado vectorial π  : E → B sobre una variedad, decimos que una forma diferencial α en E tiene soporte verticalmente compacto si la restricción${\displaystyle \alpha |_{\pi ^{-1}(b)}}$tiene soporte compacto para cada b en B. Escribimos${\displaystyle \Omega _ {vc}^{*}(E)}$para el espacio vectorial de formas diferenciales en E con soporte vertical compacto. Si E está orientado como un fibrado vectorial, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra:

${\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}$

La siguiente se conoce como la fórmula de proyección . ^{[ 2 ]} Hacemos${\displaystyle \Omega _ {vc}^{*}(E)}$un derecho${\displaystyle \Omega ^{*}(B)}$-módulo mediante configuración${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta }$.

Prueba: 1. Dado que la afirmación es local, podemos suponer que π es trivial: es decir,${\displaystyle \pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B}$es una proyección. Dejemos${\displaystyle t_{j}}$sean las coordenadas en la fibra. Si${\displaystyle \alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta }$, entonces, ya que${\displaystyle \pi ^{*}}$es un homomorfismo de anillos ,

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}$

De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La demostración de 2. es similar.${\displaystyle \square }$

• Mapa de transgresión

• Michele Audin , Acciones de toro en variedades simplécticas, Birkhauser, 2004
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4