Integración mediante la fórmula de Euler

En cálculo integral , la fórmula de Euler para números complejos puede utilizarse para evaluar integrales que involucren funciones trigonométricas . Utilizando la fórmula de Euler, cualquier función trigonométrica puede escribirse en términos de funciones exponenciales complejas, es decir y y luego integrarse. Esta técnica suele ser más simple y rápida que utilizar identidades trigonométricas o integración por partes , y es lo suficientemente potente como para integrar cualquier expresión racional que involucre funciones trigonométricas. ^[1]${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle e^{-ix}}$

La fórmula de Euler establece que ^[2]

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.}$

Sustituyendo por se obtiene la ecuación ${\displaystyle -x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x}$

porque el coseno es una función par y el seno es impar. Estas dos ecuaciones se pueden resolver para el seno y el coseno para obtener

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{and}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$

Considere la integral

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx.}$

El enfoque estándar para esta integral es utilizar una fórmula de medio ángulo para simplificar el integrando. En su lugar, podemos utilizar la identidad de Euler:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}}$

En este punto, sería posible volver a convertir a números reales utilizando la fórmula e ^{2 ix} + e ^{−2 ix} = 2 cos 2 x . Alternativamente, podemos integrar las exponenciales complejas y no volver a convertir a funciones trigonométricas hasta el final:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}$

Considere la integral

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.}$

Esta integral sería extremadamente tediosa de resolver usando identidades trigonométricas, pero usar la identidad de Euler la hace relativamente sencilla:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}}$

En este punto podemos integrar directamente o podemos cambiar primero el integrando a 2 cos 6 x − 4 cos 4 x + 2 cos 2 x y continuar desde allí. Cualquiera de los dos métodos da

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.}$

Además de la identidad de Euler, puede ser útil hacer un uso juicioso de las partes reales de expresiones complejas. Por ejemplo, considere la integral

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$

Como cos x es la parte real de e ^ix , sabemos que

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.}$

La integral de la derecha es fácil de evaluar:

${\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}$

De este modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}$

En general, esta técnica se puede utilizar para evaluar cualquier fracción que involucre funciones trigonométricas. Por ejemplo, considere la integral

${\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx.}$

Usando la identidad de Euler, esta integral se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.}$

Si ahora hacemos la sustitución , el resultado es la integral de una función racional : ${\displaystyle u=e^{ix}}$

${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+6u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du.}$

Se puede proceder mediante la descomposición en fracciones parciales .

• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Weierstrass
• Sustitución de Euler