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Articulo de referencia

Ecuación integro-diferencial

En matemáticas , una ecuación integro-diferencial es una ecuación que involucra tanto integrales como derivadas de una función . ecuaciones lineales generales de primer orden La...

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En matemáticas , una ecuación integro-diferencial es una ecuación que involucra tanto integrales como derivadas de una función .

ecuaciones lineales generales de primer orden

La ecuación integro-diferencial general de primer orden, lineal (solo con respecto al término que involucra la derivada), tiene la forma

ddincógnitatú(incógnita)+∫incógnita0incógnitaF(t,tú(t))dt=gramo(incógnita,tú(incógnita)),tú(incógnita0)=tú0,incógnita0≥0.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}

Como suele ocurrir con las ecuaciones diferenciales , obtener una solución analítica puede resultar difícil. En los pocos casos en que se encuentra una solución, a menudo se recurre a una transformación integral, donde el problema se convierte primero en un problema algebraico. En tales situaciones, la solución se puede obtener aplicando la transformada inversa a la solución de esta ecuación algebraica.

Ejemplo

Consideremos el siguiente problema de segundo orden,

tú′(incógnita)+2tú(incógnita)+5∫0incógnitatú(t)dt=θ(incógnita)contú(0)=0,{\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{con}}\qquad u(0)=0,}

dónde

θ(incógnita)={1,incógnita≥00,incógnita<0{\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}

es la función escalón de Heaviside . La transformada de Laplace se define por:

U(s)=L{tú(incógnita)}=∫0∞mi−sincógnitatú(incógnita)dincógnita.{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}

Al tomar transformadas de Laplace término por término y utilizar las reglas para derivadas e integrales, la ecuación integro-diferencial se convierte en la siguiente ecuación algebraica:

sU(s)−tú(0)+2U(s)+5sU(s)=1s.{\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}

De este modo,

U(s)=1s2+2s+5{\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}.

Invirtiendo la transformada de Laplace usando métodos de integral de contorno se obtiene entonces

tú(incógnita)=12mi−incógnitapecado⁡(2incógnita)θ(incógnita){\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}.

Alternativamente, se puede completar el cuadrado y usar una tabla de transformadas de Laplace ("onda sinusoidal de decaimiento exponencial") o recordar para continuar:

U(s)=1s2+2s+5=122(s+1)2+4⇒tú(incógnita)=L−1{U(s)}=12mi−incógnitapecado⁡(2incógnita)θ(incógnita){\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}.

Aplicaciones

Las ecuaciones integro-diferenciales modelan muchas situaciones de la ciencia y la ingeniería , como en el análisis de circuitos. Según la segunda ley de Kirchhoff , la caída de voltaje neta a través de un lazo cerrado es igual al voltaje aplicado.mi(t){\displaystyle E(t)}(Esencialmente, es una aplicación de la conservación de la energía ). Por lo tanto, un circuito RLC obedece a LddtI(t)+RI(t)+1do∫0tI(τ)dτ=mi(t),{\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),} dóndeI(t){\displaystyle I(t)}es la corriente en función del tiempo,R{\displaystyle R}es la resistencia,L{\displaystyle L}la inductancia ydo{\displaystyle C}la capacitancia. [ 1 ]

La actividad de las neuronas inhibitorias y excitatorias que interactúan puede describirse mediante un sistema de ecuaciones integro-diferenciales; véase, por ejemplo, el modelo de Wilson-Cowan .

La ecuación de Whitham se utiliza para modelar ondas dispersivas no lineales en dinámica de fluidos. [ 2 ]

Epidemiología

Las ecuaciones integro-diferenciales han encontrado aplicaciones en epidemiología , el modelado matemático de epidemias , particularmente cuando los modelos contienen estructura de edad [ 3 ] o describen epidemias espaciales. [ 4 ] La teoría de Kermack-McKendrick sobre la transmisión de enfermedades infecciosas es un ejemplo particular donde la estructura de edad en la población se incorpora al marco del modelo.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Zill, Dennis G., y Warren S. Wright. «Sección 7.4: Propiedades operacionales II». Ecuaciones diferenciales con problemas de contorno , 8.ª ed., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013, pág. 305. ISBN 978-1-111-82706-9El capítulo 7 trata sobre la transformada de Laplace.
  2. ↑ Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-94090-9.
  3. ^ Brauer, Fred; van den Driessche, Paulina ; Wu, Jianhong, eds. (2008). Epidemiología Matemática . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1945. págs. 205–227 . doi : 10.1007/978-3-540-78911-6 . ISBN   978-3-540-78910-9ISSN 0075-8434​​ 
  4. ↑ Medlock, Jan (16 de marzo de 2005). "Modelos de ecuaciones integro-diferenciales para enfermedades infecciosas" (PDF) . Universidad de Yale . Archivado del original (PDF) el 21 de marzo de 2020.

Lecturas adicionales

  • Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “ Teoría de las ecuaciones integrodiferenciales ”, CRC Press, 1995
  • Matemáticas interactivas
  • Solución numérica del ejemplo utilizando Chebfun.