Reconstrucción interior

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$son matrices conocidas;${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son vectores desconocidos;${\displaystyle f}$es un vector conocido y${\displaystyle g}$es un vector desconocido. Necesitamos conocer el vector${\displaystyle x}$.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son la imagen original, mientras que${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son mediciones de respuestas. Vector${\displaystyle x}$está dentro de la región de interés${\displaystyle X}$, (${\displaystyle x\in X}$). Vector${\displaystyle y}$está fuera de la región${\displaystyle X}$La región exterior se llama${\displaystyle Y}$, (${\displaystyle y\in Y}$) y${\displaystyle f}$está dentro de una región en la medición correspondiente a${\displaystyle X}$Esta región se denomina${\displaystyle F}$, (${\displaystyle f\in F}$). La región del vector${\displaystyle g}$(fuera de la región)${\displaystyle F}$) también corresponde a${\displaystyle Y}$y se denota como${\displaystyle G}$, (${\displaystyle g\in G}$). En la reconstrucción de imágenes de TC, tiene

${\displaystyle C=0}$

Para simplificar el concepto de reconstrucción interior, las matrices${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$se aplican a la reconstrucción de imágenes en lugar de un operador complejo.

La respuesta en la región exterior puede ser una suposición.${\displaystyle G}$; por ejemplo, supongamos que es${\displaystyle g_{ex}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

Una solución de${\displaystyle x}$se escribe como${\displaystyle x_{0}}$y se conoce como el método de extrapolación. El resultado depende de la calidad de la función de extrapolación.${\displaystyle g_{ex}}$es. Una opción frecuente es

${\displaystyle g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}}$

en el límite de las dos regiones. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} El método de extrapolación a menudo se combina con conocimiento a priori , ^{[ 5 ] [ 6 ]} y a continuación se muestra un método de extrapolación que reduce el tiempo de cálculo.

Supongamos una solución aproximada,${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle y_{0}}$, se obtiene a partir del método de extrapolación descrito anteriormente. La respuesta en la región exterior${\displaystyle g_{1}}$se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle g_{1}=Cx_{0}+Dy_{0}}$

La imagen reconstruida se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{1}+g_{1ex}\end{bmatrix}}}$

Se supone que

${\displaystyle f|_{\partial F}=(g_{1}+g_{1ex})|_{\partial G}}$

en el límite de la región interior;${\displaystyle x_{1}}$Resuelve el problema y se conoce como el método de extrapolación adaptativa. ${\displaystyle g_{1ex}}$es la función de extrapolación adaptativa. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 5 ]}

Se supone que una solución aproximada,${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle y_{0}}$, se obtiene a partir del método de extrapolación que se describe a continuación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\y_{0}\end{bmatrix}}}$

o

${\displaystyle f_{1}=By_{0}}$

La reconstrucción se puede obtener como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f-f_{1}\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

Aquí${\displaystyle g_{1ex}}$es una función de extrapolación, y se supone que

${\displaystyle (f-f_{1})|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}}$

${\displaystyle x_{1}}$es una solución a este problema. ^{[ 11 ]}

La tomografía local, con un filtro muy corto, también se conoce como tomografía lambda. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

El método inverso local extiende el concepto de tomografía local. La respuesta en la región exterior se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle f=Ax+By}$

Consideremos la inversa generalizada${\displaystyle B^{+}}$satisfactorio

${\displaystyle BB^{+}B=B}$

Definir

${\displaystyle Q=[I-BB^{+}]}$

de modo que

${\displaystyle QB=0}$

Por eso,

${\displaystyle Qf=QAx}$

La ecuación anterior se puede resolver como

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Q^{+}Qf}$,

considerando que

${\displaystyle QQ=Q}$

${\displaystyle QQQ=Q}$

${\displaystyle Q}$es la inversa generalizada de${\displaystyle Q}$, es decir

${\displaystyle Q^{+}=Q}$

La solución se puede simplificar como

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Qf}$.

La matriz ${\displaystyle A^{+}Q=A^{+}[I-BB^{+}]}$ se conoce como la inversa local de la matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}}$, correspondiente a${\displaystyle A}$Esto se conoce como el método inverso local. ^{[ 11 ]}

Aquí se define una función objetivo, y este método la alcanza iterativamente. Si la función objetivo puede ser algún tipo de distribución normal, se conoce como el método de norma mínima.

${\displaystyle \min(R\|x\|+S\|y\|+T\|g\|)}$,

sujeto a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}}$

y ${\displaystyle f}$es conocido,

dónde${\displaystyle R}$,${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$son constantes de ponderación de la minimización y${\displaystyle \|\cdot \|}$es algún tipo de norma . Las normas de uso frecuente son:${\displaystyle L_{0}}$,${\displaystyle L_{1}}$,${\displaystyle L_{2}}$,${\displaystyle L_{+\infty }}$norma de variación total (TV) o una combinación de las normas anteriores. Un ejemplo de este método es el método de proyección sobre conjuntos convexos (POCS). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

En situaciones especiales, la reconstrucción interior se puede obtener como una solución analítica; la solución de${\displaystyle x}$es exacto en tales casos. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Los datos extrapolados a menudo se convolucionan a una función kernel . Después de extrapolar los datos, su tamaño aumenta N veces, donde N  =  2  ~  3. Si los datos necesitan convolucionarse a una función kernel conocida, los cálculos numéricos aumentarán log( N )· N veces, incluso con la transformada rápida de Fourier (FFT). Existe un algoritmo que calcula analíticamente la contribución de una parte de los datos extrapolados. El tiempo de cálculo puede omitirse en comparación con el cálculo de convolución original; con este algoritmo, el cálculo de una convolución utilizando los datos extrapolados no aumenta de forma apreciable. Esto se conoce como extrapolación rápida. ^{[ 19 ]}