Inversa local

La inversa local es un tipo de función inversa o matriz inversa utilizada en el procesamiento de imágenes y señales, así como en otras áreas generales de las matemáticas.

El concepto de una inversa local surgió de la reconstrucción interior de imágenes de TC ^{[ aclaración necesaria ]} . Un método de reconstrucción interior primero reconstruye aproximadamente la imagen fuera de la ROI (región de interés) y luego resta los datos de reproyección de la imagen fuera de la ROI de los datos de proyección originales; luego, estos datos se utilizan para hacer una nueva reconstrucción. Esta idea se puede ampliar a una inversa completa. En lugar de hacer una inversa directamente, las incógnitas fuera de la región local se pueden invertir primero. Recalcule los datos de estas incógnitas (fuera de la región local), reste estos datos recalculados del original y luego tome la inversa dentro de la región local utilizando estos datos recién producidos para la región exterior.

Este concepto es una extensión directa de la tomografía local, la inversa generalizada y los métodos de refinamiento iterativo . Se utiliza para resolver el problema inverso con datos de entrada incompletos, de manera similar a la tomografía local. Sin embargo, este concepto de inversa local también se puede aplicar a datos de entrada completos.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Supongamos que hay , , y que satisfacen ${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=J.}$

Aquí no es igual a , pero está cerca de , donde es la matriz identidad. Ejemplos de matrices de este tipo son el método de retroproyección filtrada para reconstrucción de imágenes y el inverso con regularización. En este caso, la siguiente es una solución aproximada: ${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}.}$

Una mejor solución se puede encontrar de la siguiente manera: $estilo de visualización x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f-By_{0}\\g-Dy_{0}\end{bmatrix}}.}$

En la fórmula anterior es inútil, por lo tanto $estilo de visualización y_{1}$

${\displaystyle x_{1}=E(f-By_{0})+F(g-Dy_{0}).}$

De la misma manera, hay

${\displaystyle y_{1}=G(f-Ax_{0})+H(g-Cx_{0}).}$

En lo anterior, la solución se divide en dos partes: dentro del ROI y fuera del ROI, f dentro del FOV (campo de visión) y g fuera del FOV. ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Las dos partes se pueden extender a muchas partes, en cuyo caso el método extendido se denomina método de refinamiento iterativo de subregión ^[1].

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Supongamos que , , , y son matrices conocidas; y son vectores desconocidos; es un vector conocido; es un vector desconocido. Nos interesa determinar x. ¿Cuál es una buena solución? ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}=J.}$

Aquí está o está cerca de . El algoritmo inverso local es el siguiente: ${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$

(1) . Se obtiene una versión extrapolada de$estilo de visualización g_ {ex}}$${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle g_{ex}|_{\parcial G}=f|_{\parcial F}.}$

(2) . Una versión aproximada de se calcula mediante ${\displaystyle y_{0}}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle y_{0}=Hg_{ex}.}$

(3) . Se realiza una corrección por${\estilo de visualización y'}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle y'=y_{0}+y_{\text{co}}.}$

(4) . Una función corregida para se calcula mediante ${\estilo de visualización f'}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f'=f-Por'.}$

(5) . Una función extrapolada para se obtiene mediante $estilo de visualización g_{1ex}}$${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle g_{1ex}|_{\parcial G}=f'|_{\parcial F}.}$

(6) . Se obtiene una solución inversa local $estilo de visualización x_{1}}$

${\displaystyle x_{1}=Ef'+Fg_{1ex}.}$

En el algoritmo anterior, hay dos extrapolaciones temporales que se utilizan para superar el problema de truncamiento de datos. Hay una corrección para . Esta corrección puede ser una corrección constante para corregir los valores de CC de o una corrección lineal según el conocimiento previo sobre . Este algoritmo se puede encontrar en la siguiente referencia:. ^[2]${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$

En el ejemplo de la referencia ^[3] se observa que aquí se realiza la corrección constante. Se puede realizar una corrección más complicada, por ejemplo una corrección lineal, que podría lograr mejores resultados. ${\displaystyle y'=y_{0}+y_{\text{co}}=ky_{0}}$${\displaystyle k=1.04}$

Shuang-ren Zhao definió una inversa local ^[2] para resolver el problema anterior. Primero, considere la solución más simple

${\displaystyle f=Ax+By,}$

o

${\displaystyle Ax=f-By=f'.}$

Aquí están los datos correctos en los que no hay influencia de la función del objeto externo. A partir de estos datos es fácil obtener la solución correcta. ${\displaystyle f'=f-By}$

${\displaystyle x'=A^{-1}f'.}$

Aquí hay una solución correcta (o exacta) para la incógnita , lo que significa . En caso de que no sea una matriz cuadrada o no tenga inversa, se puede aplicar la inversa generalizada, ${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle x'=A^{+}(f-By)=A^{+}f'.}$

Como se desconoce, si se establece en , se obtiene una solución aproximada. ${\displaystyle y}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x_{0}=A^{+}f.}$

En la solución anterior, el resultado está relacionado con el vector desconocido . Como puede tener cualquier valor, el resultado tiene artefactos muy fuertes, a saber: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {error} _{0}=|x_{0}-x'|=|A^{+}By|}$.

Este tipo de artefactos se denominan artefactos de truncamiento en el campo de la reconstrucción de imágenes de TC. Para minimizar los artefactos anteriores en la solución, se considera una matriz especial que satisface ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle QB=0,}$

y así satisface

${\displaystyle QAx=Qf-QBy=Qf.}$

Resolviendo la ecuación anterior con inversa generalizada se obtiene

${\displaystyle x_{1}=[QA]^{+}Qf=[A]^{+}Q^{+}Qf.}$

Aquí está la inversa generalizada de , y es una solución para . Es fácil encontrar una matriz Q que satisfaga , específicamente se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle Q^{+}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle QB=0}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I-BB^{+}.}$

Esta matriz se denomina proyección transversal de y es la inversa generalizada de . La matriz satisface ${\displaystyle Q}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{+}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{+}}$

${\displaystyle BB^{+}B=B,}$

De lo cual se sigue que

${\displaystyle QB=[I-BB^{+}]B=B-BB^{+}B=B-B=0.}$

Es fácil demostrar que : ${\displaystyle QQ=Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}QQ&=[I-BB^{+}][I-BB^{+}]=I-2BB^{+}+BB^{+}BB^{+}\\&=I-2BB^{+}+BB^{+}=I-BB^{+}=Q,\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle QQQ=(QQ)Q=QQ=Q.}$

Por lo tanto, Q es también la inversa generalizada de Q.

Eso significa

${\displaystyle Q^{+}Q=QQ=Q.}$

Por eso,

${\displaystyle x_{1}=A^{+}[Q]^{+}Qf=A^{+}Qf}$

o

${\displaystyle x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f.}$

La matriz

${\displaystyle A^{L}=[A]^{+}[I-BB^{+}]}$

se denomina inversa local de la matriz. El uso de la inversa local en lugar de la inversa generalizada o la inversa puede evitar artefactos de datos de entrada desconocidos. Considerando, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle [A]^{+}[I-BB^{+}]f'=[A]^{+}[I-BB^{+}](f-By)=[A]^{+}[I-BB^{+}]f.}$

Por lo tanto, hay

${\displaystyle x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f'.}$

Por lo tanto, solo se relaciona con los datos correctos . Este tipo de error se puede calcular como ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle \mathrm {error} _{1}=|x_{1}-x'|=|[A]^{+}BB^{+}f'|.}$

Este tipo de error se denomina efecto cuenco y no está relacionado con el objeto desconocido , sino únicamente con los datos correctos . ${\displaystyle y}$${\displaystyle f'}$

En caso de que la contribución de a sea menor que la de , o ${\displaystyle [A]^{+}BB^{+}f'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [A]^{+}By}$

${\displaystyle \mathrm {error} _{1}\ll \mathrm {error} _{0},}$

La solución inversa local es mejor que para este tipo de problema inverso. Al utilizar en lugar de , los artefactos de truncamiento se reemplazan por el efecto de cuenco. Este resultado es el mismo que en la tomografía local, por lo tanto, la inversa local es una extensión directa del concepto de tomografía local. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{0}}$

Es bien sabido que la solución de la inversa generalizada es un método de norma L2 mínima. De la derivación anterior se desprende claramente que la solución de la inversa local es un método de norma L2 mínima sujeto a la condición de que la influencia del objeto desconocido sea . Por lo tanto, la inversa local es también una extensión directa del concepto de inversa generalizada. ${\displaystyle y}$${\displaystyle 0}$

• Formulación de la conjetura jacobiana
• Reconstrucción de imágenes interiores de tomografías computarizadas
• reconstrucción interior
• extrapolación
• matriz inversa
• inversa generalizada
• refinamiento iterativo
• Tomografía local