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Rango intercuartil

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Diagrama de caja (con rango intercuartil) y función de densidad de probabilidad (pdf) de una población normal N(0,σ² ) .

En estadística descriptiva , el rango intercuartil ( RIC ) es una medida de dispersión estadística , que es la dispersión de los datos. [ 1 ] El RIC también puede denominarse dispersión media , 50% central , dispersión del cuarto o dispersión H. Se define como la diferencia entre los percentiles 75 y 25 de los datos. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Para calcular el RIC, el conjunto de datos se divide en cuartiles , o cuatro partes pares ordenadas por rango mediante interpolación lineal. [ 1 ] Estos cuartiles se denotan por Q 1 (también llamado cuartil inferior), Q 2 (la mediana ) y Q 3 (también llamado cuartil superior). El cuartil inferior corresponde al percentil 25 y el cuartil superior corresponde al percentil 75, por lo que RIC = Q 3 −   Q 1 . [ 1 ]

El IQR es un ejemplo de estimador recortado , definido como el rango recortado al 25% , que mejora la precisión de las estadísticas del conjunto de datos al eliminar los puntos atípicos de menor contribución. [ 5 ] También se utiliza como una medida robusta de escala . [ 5 ] Se puede visualizar claramente mediante el cuadro en un diagrama de caja . [ 1 ]

Usar

A diferencia del rango total , el rango intercuartil tiene un punto de ruptura del 25 % [ 6 ] y, por lo tanto, a menudo se prefiere al rango total.

El rango intercuartílico (IQR) se utiliza para construir diagramas de caja , representaciones gráficas sencillas de una distribución de probabilidad .

El rango intercuartílico (RIC) se utiliza en las empresas como indicador de sus tasas de ingresos .

Para una distribución simétrica (donde la mediana es igual al punto medio , el promedio del primer y tercer cuartil), la mitad del rango intercuartil (RIC) es igual a la desviación absoluta mediana (DAM).

La mediana es la medida de tendencia central correspondiente .

El rango intercuartílico (RIC) puede utilizarse para identificar valores atípicos (véase más abajo ). El RIC también puede indicar la asimetría del conjunto de datos. [ 1 ]

La desviación cuartílica o rango semiintercuartílico se define como la mitad del IQR. [ 7 ]

Algoritmo

El IQR de un conjunto de valores se calcula como la diferencia entre los cuartiles superior e inferior, Q 3 y Q 1 . Cada cuartil es una mediana [ 8 ] calculada de la siguiente manera.

Dado un número par de valores (2n) o impar (2n+1),

primer cuartil Q 1 = mediana de los n valores más pequeños
tercer cuartil Q 3 = mediana de los n valores más grandes [ 8 ]

El segundo cuartil Q2 es igual a la mediana ordinaria. [ 8 ]

Ejemplos

Conjunto de datos en una tabla

La siguiente tabla tiene 13 filas y sigue las reglas para un número impar de entradas.

Para los datos de esta tabla, el rango intercuartil es IQR = Q 3 − Q 1 = 119 - 31 = 88.

Conjunto de datos en un diagrama de caja de texto plano

 +−−−−−+−+ * |−−−−−−−−−−−| | |−−−−−−−−−−−| +−−−−−+−+ +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+ Línea numérica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Para el conjunto de datos de este diagrama de caja :

  • Cuartil inferior (primer cuartil) Q 1 = 7
  • Mediana (segundo cuartil) Q 2 = 8,5
  • Cuartil superior (tercero) Q 3 = 9
  • Rango intercuartil, RIC = Q3 - Q1 = 2
  • El bigote inferior de 1,5 * IQR = Q 1 - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Si no hay ningún punto de datos en 4, entonces el punto más bajo mayor que 4).
  • Bigote superior de 1,5 * IQR = Q 3 + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Si no hay ningún punto de datos en 12, entonces el punto más alto es menor que 12).
  • Patrón de los dos últimos puntos: Si no hay datos en los cuartiles verdaderos, utilice datos ligeramente "hacia el interior" (más cerca de la mediana) de los cuartiles reales.

Esto significa que los bigotes de 1,5*IQR pueden tener longitudes desiguales. La mediana, el mínimo, el máximo y el primer y tercer cuartil constituyen el resumen de cinco números . [ 9 ]

Distribuciones

El rango intercuartil de una distribución continua se puede calcular integrando la función de densidad de probabilidad (lo que da como resultado la función de distribución acumulativa ; cualquier otro método para calcular la CDF también funcionará). El cuartil inferior, Q1 , es un número tal que la integral de la PDF desde -∞ hasta Q1 es igual a 0,25, mientras que el cuartil superior, Q3 , es un número tal que la integral desde -∞ hasta Q3 es igual a 0,75; en términos de la CDF, los cuartiles se pueden definir de la siguiente manera:

Q1=CDF−1(0,25),{\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25),}
Q3=CDF−1(0,75),{\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}

donde CDF −1 es la función cuantil .

A continuación se muestran el rango intercuartil y la mediana de algunas distribuciones comunes.

Prueba del rango intercuartil para la normalidad de la distribución

El rango intercuartílico (RIC), la media y la desviación estándar de una población P se pueden usar en una prueba simple para determinar si P tiene una distribución normal o gaussiana. Si P tiene una distribución normal, entonces la puntuación estándar del primer cuartil, z 1 , es −0,67, y la puntuación estándar del tercer cuartil, z 3 , es +0,67. Dado que la media  = PAG¯{\displaystyle {\bar {P}}}y desviación estándar   =  σ para P , si P tiene una distribución normal, el primer cuartil

Q1=(σz1)+PAG¯{\displaystyle Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+{\bar {P}}}

y el tercer cuartil

Q3=(σz3)+PAG¯{\displaystyle Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+{\bar {P}}}

Si los valores reales del primer o tercer cuartil difieren sustancialmente de los valores calculados, P no sigue una distribución normal. Sin embargo, una distribución normal puede modificarse fácilmente para mantener sus desviaciones estándar Q1 y Q2 en 0,67 y -0,67, respectivamente, sin que ello implique una distribución normal (por lo que la prueba anterior arrojaría un falso positivo). En este caso, sería más apropiado utilizar una prueba de normalidad más precisa, como un gráfico Q-Q .

Valores atípicos

Diagrama de caja y bigotes con cuatro valores atípicos leves y un valor atípico extremo. En este diagrama, los valores atípicos se definen como leves por encima de Q3 + 1,5 IQR y extremos por encima de Q3 + 3 IQR.

El rango intercuartil se utiliza a menudo para identificar valores atípicos en los datos. En este caso, los valores atípicos se definen como observaciones que se encuentran por debajo de Q1 − 1,5 IQR o por encima de Q3 + 1,5 IQR. En un diagrama de caja, los bigotes de la caja indican el valor máximo y el mínimo que se encuentran dentro de este límite, y los valores atípicos se representan como puntos individuales.

Véase también

Referencias

  1. ^ Dekking , Frederik Michel ; Kraaikamp, ​​Cornelis; Lopuhaä, gallina Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística . Textos Springer en Estadística. Londres: Springer Londres. doi : 10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1.
  2. ↑ Upton, Graham; Cook, Ian (1996). Comprensión de la estadística . Oxford University Press. pág. 55. ISBN  0-19-914391-9.
  3. ↑ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Tablas y fórmulas estándar de probabilidad y estadística de CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7página 18.
  4. ↑ Ross, Sheldon (2010). Estadística introductoria . Burlington, MA: Elsevier. págs. 103–104 . ISBN  978-0-12-374388-6.
  5. ^ Kaltenbach , Hans-Michael (2012). Una guía concisa de estadística . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-23502-3OCLC 763157853​​ 
  6. ↑ Rousseeuw, Peter J.; Croux, Christophe (1992). Y. Dodge (ed.). "Estimadores de escala explícitos con alto punto de ruptura" (PDF) . L1-Análisis estadístico y métodos relacionados . Ámsterdam: North-Holland. págs. 77–92 . 
  7. ↑ Yule, G. Udny (1911). Introducción a la teoría de la estadística . Charles Griffin and Company. págs. 147-148 . 
  8. 1 2 3 Bertil., Westergren (1988). Beta [beta] manual de matemáticas : conceptos, teoremas, métodos, algoritmos, fórmulas, gráficos, tablas . Studentlitteratur . pág. 348. ISBN   9144250517OCLC 18454776​​ 
  9. ^ Dekking, Kraaikamp, ​​Lopuhaä y Meester, págs. 235-237
  • Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con el rango intercuartil en Wikimedia Commons.
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