Forma de intersección de una 4-variedad

En matemáticas , la forma de intersección de una 4-variedad compacta orientada es una forma bilineal simétrica especial en el segundo grupo de (co)homología de la 4-variedad. Refleja gran parte de la topología de las 4-variedades, incluyendo información sobre la existencia de una estructura suave .

Dejar${\displaystyle M}$ser una 4-variedad cerrada ( PL o suave ). Tomar una triangulación${\displaystyle T}$de${\displaystyle M}$Denotemos por${\displaystyle T^{*}}$la subdivisión celular dual . Representar clases${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$por${\displaystyle 2}$-ciclos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$módulo${\displaystyle 2}$vistos como uniones de${\displaystyle 2}$-símplices de T y de${\displaystyle T^{*}}$, respectivamente. Definir la forma de intersección módulo${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \cap _{M,2}:H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

por la fórmula

${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|{\bmod {2}}.}$

Esto está bien definido porque la intersección de un ciclo y un límite consta de un número par de puntos (por definición de ciclo y límite).

Si${\displaystyle M}$está orientado, análogamente (es decir, contando intersecciones con señales) se define la forma de intersección en el${\displaystyle 2}$y grupo de homología

${\displaystyle Q_{M}=\cap _{M}=\cdot _{M}:H_{2}(M;\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} .}$

Utilizando la noción de transversalidad, se pueden enunciar los siguientes resultados (que constituyen una definición equivalente de la forma de intersección).

• Si las clases${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$están representadas por superficies cerradas (o${\displaystyle 2}$-ciclos módulo${\displaystyle 2}$)${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$encontrándose transversalmente, entonces${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|\mod 2.}$

• Si${\displaystyle M}$está orientado y clases${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$están representadas por superficies cerradas orientadas (o${\displaystyle 2}$-ciclos)${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$encuentro transversal, entonces cada punto de intersección en${\displaystyle A\cap B}$tiene el letrero${\displaystyle +1}$o${\displaystyle -1}$dependiendo de las orientaciones y${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$es la suma de estos signos.

Utilizando la noción del producto de la taza${\displaystyle \smile }$, se puede dar una definición dual (y por lo tanto equivalente) de la siguiente manera. Sea${\displaystyle M}$sea ​​una 4-variedad cerrada orientada (PL o suave). Defina la forma de intersección en el${\displaystyle 2}$y grupo de cohomología

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} }$

por la fórmula

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle .}$

La definición de producto de copa es dual (y, por lo tanto, análoga) a la definición anterior de la forma de intersección en la homología de una variedad, pero es más abstracta. Sin embargo, la definición de producto de copa se generaliza a variedades complejas y topológicas. Esto representa una ventaja para los matemáticos interesados ​​en variedades complejas y topológicas (no solo en PL y variedades diferenciables).

Cuando la 4-variedad es lisa, entonces en la cohomología de de Rham , si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$están representados por${\displaystyle 2}$-formularios${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$, entonces la forma de intersección puede expresarse mediante la integral

${\displaystyle Q(a,b)=\int _{M}\alpha \wedge \beta }$

dónde${\displaystyle \wedge }$es el producto cuña .

La definición que utiliza el producto de la taza tiene un módulo análogo más simple.${\displaystyle 2}$(lo cual funciona para variedades no orientables). Por supuesto, esto no se da en la cohomología de De Rham.

La dualidad de Poincaré establece que la forma de intersección es unimodular (salvo torsión).

Según la fórmula de Wu, una variedad de espín 4 debe tener una forma de intersección par, es decir,${\displaystyle Q(x,x)}$es par para cada x . Para una 4-variedad lisa simplemente conexa (o más generalmente una sin 2-torsión que resida en la primera homología), se cumple lo contrario.

La signatura de la forma de intersección es un invariante importante. Una 4-variedad acota una 5-variedad si y solo si su signatura es cero. El lema de Van der Blij implica que una 4-variedad de espín tiene signatura múltiplo de ocho. De hecho, el teorema de Rokhlin implica que una 4-variedad de espín compacta y lisa tiene signatura múltiplo de 16.

Michael Freedman utilizó la forma de intersección para clasificar las 4-variedades topológicas simplemente conexas. Dada cualquier forma bilineal simétrica unimodular sobre los enteros, Q , existe una 4-variedad cerrada simplemente conexa M con forma de intersección Q. Si Q es par, solo existe una de estas variedades. Si Q es impar, existen dos, y al menos una (posiblemente ambas) carece de estructura lisa. Por lo tanto, dos 4-variedades lisas cerradas simplemente conexas con la misma forma de intersección son homeomorfas. En el caso impar, las dos variedades se distinguen por su invariante de Kirby-Siebenmann .

El teorema de Donaldson establece que una 4-variedad lisa simplemente conexa con forma de intersección definida positiva tiene la forma de intersección diagonal (escalar 1). Por lo tanto, la clasificación de Freedman implica que hay muchas 4-variedades no suavizables, por ejemplo la variedad E8 .

• Forma de intersección
• Número de inmersiones en la intersección
• Kirby, Robion (1989), La topología de las 4-variedades, Lecture Notes in Math. 1374 , Springer-Verlag
• Formulario de enlace
• Scorpan, Alexandru (2005), El salvaje mundo de las 4-variedades , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3749-4
• Skopenkov, Arkadiy (2015), Topología algebraica desde el punto de vista geométrico (en ruso) , MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7