Dualidad de Poincaré

En matemáticas , el teorema de dualidad de Poincaré , que lleva el nombre de Henri Poincaré , es un resultado fundamental sobre la estructura de los grupos de homología y cohomología de las variedades . Afirma que si M es una variedad cerrada orientada n -dimensional ( compacta y sin frontera), entonces el k -ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( n - k ) -ésimo grupo de homología de M , para todos los enteros k

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).}$

La dualidad de Poincaré se cumple para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada variedad tiene una orientación única módulo 2, la dualidad de Poincaré se cumple módulo 2 sin ninguna suposición de orientación.

Henri Poincaré enunció por primera vez, sin demostración, una forma de dualidad de Poincaré en 1893. La formuló en términos de números de Betti : los números de Betti k y ( n − k ) de una n- variedad orientable cerrada (es decir, compacta y sin frontera) son iguales. El concepto de cohomología aún tardaría unos 40 años en ser clarificado. En su artículo de 1895, Analysis Situs , Poincaré intentó demostrar el teorema utilizando la teoría de la intersección topológica , que él mismo había inventado. Las críticas de Poul Heegaard a su trabajo le hicieron comprender que su demostración presentaba graves fallos. En los dos primeros complementos de Analysis Situs , Poincaré ofreció una nueva demostración en términos de triangulaciones duales.

La dualidad de Poincaré no adquirió su forma moderna hasta la llegada de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de copa y casquete y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

La formulación moderna del teorema de dualidad de Poincaré se expresa en términos de homología y cohomología: si M es una n -variedad cerrada orientada , entonces existe un isomorfismo definido canónicamente. ${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,\mathbb {Z} )}$para cualquier entero k . Para definir tal isomorfismo, se elige una clase fundamental fija [ M ] de M , que existirá si${\displaystyle M}$está orientado. Entonces el isomorfismo se define mapeando un elemento${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$al producto de tapa${\displaystyle [M]\frown \alpha }$. ^{[ 1 ]}

Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de las n -variedades cerradas orientables son cero para grados mayores que n .

Aquí, la homología y la cohomología son integrales, pero el isomorfismo sigue siendo válido sobre cualquier anillo de coeficientes. En el caso de que una variedad orientada no sea compacta, hay que reemplazar la homología por la homología de Borel-Moore.

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}^{BM}(X),}$

o bien sustituir la cohomología por una cohomología con soporte compacto.

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}(X).}$

Dada una variedad triangulada, existe una descomposición poliédrica dual correspondiente. La descomposición poliédrica dual es una descomposición celular de la variedad tal que las k -celdas de la descomposición poliédrica dual están en correspondencia biyectiva con la (${\displaystyle nk}$)-células de la triangulación, generalizando la noción de poliedros duales .

Precisamente, dejemos${\displaystyle T}$ser una triangulación de un${\displaystyle n}$-colector${\displaystyle M}$. Dejar${\displaystyle S}$ser un simplex de${\displaystyle T}$. Dejar${\displaystyle \Delta }$ser un simplex de dimensión superior de${\displaystyle T}$que contiene${\displaystyle S}$, así que podemos pensar en${\displaystyle S}$como un subconjunto de los vértices de${\displaystyle \Delta }$. Defina la celda dual${\displaystyle DS}$correspondiente a${\displaystyle S}$de modo que${\displaystyle \Delta \cap DS}$es la envoltura convexa en${\displaystyle \Delta }$de los baricentros de todos los subconjuntos de los vértices de${\displaystyle \Delta }$que contienen${\displaystyle S}$. Se puede comprobar que si${\displaystyle S}$es${\displaystyle i}$-dimensional, entonces${\displaystyle DS}$es un${\displaystyle (ni)}$célula -dimensional. Además, las células duales a${\displaystyle T}$formar una descomposición CW de${\displaystyle M}$y el único (${\displaystyle ni}$celda dual )-dimensional que interseca una${\displaystyle i}$-celúla${\displaystyle S}$es${\displaystyle DS}$. Por lo tanto, el emparejamiento${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{ni}M\to \mathbb {Z} }$dado que al tomar intersecciones se induce un isomorfismo${\displaystyle C_{i}M\to C^{\,ni}M}$, dónde${\displaystyle C_{i}}$es la homología celular de la triangulación${\displaystyle T}$, y${\displaystyle C_{ni}M}$y${\displaystyle C^{\,ni}M}$son las homologías celulares y las cohomologías de la descomposición poliédrica dual/CW de la variedad respectivamente. El hecho de que esto sea un isomorfismo de complejos de cadena es una prueba de la dualidad de Poincaré. En términos generales, esto equivale al hecho de que la relación de frontera para la triangulación${\displaystyle T}$es la relación de incidencia para la descomposición poliédrica dual bajo la correspondencia${\displaystyle S\longmapsto DS}$.

Suponiendo que la variedad M es compacta, sin frontera y orientable , sea

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

denotamos el subgrupo de torsión de${\displaystyle H_{i}M}$y dejar

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

La parte libre se refiere a todos los grupos de homología con coeficientes enteros en esta sección. Luego están las aplicaciones bilineales , que son emparejamientos de dualidad (explicados más adelante).

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{ni}M\to \mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{ni-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Aquí${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$es el cociente de los racionales por los enteros, tomado como un grupo aditivo. Nótese que en la forma de enlace de torsión, hay un −1 en la dimensión, por lo que las dimensiones emparejadas suman n − 1 , en lugar de n .

La primera forma se denomina normalmente producto de intersección y la segunda, forma de enlace de torsión . Suponiendo que la variedad M es lisa, el producto de intersección se calcula perturbando las clases de homología para que sean transversales y calculando su número de intersección orientado. Para la forma de enlace de torsión, se calcula el emparejamiento de x e y realizando nx como el límite de alguna clase z . La forma toma entonces el valor igual a la fracción cuyo numerador es el número de intersección transversal de z con y , y cuyo denominador es n .

La afirmación de que los emparejamientos son emparejamientos de dualidad significa que los mapas adjuntos

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{ni}M,\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _ {\mathbb {Z} }(\tau H_{ni-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

son isomorfismos de grupos.

Este resultado es una aplicación de la dualidad de Poincaré.

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{ni}M}$,

junto con el teorema del coeficiente universal , que da una identificación

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$.

Así, la dualidad de Poincaré dice que${\displaystyle fH_{i}M}$y${\displaystyle fH_{n-i}M}$son isomorfos, aunque no existe un mapa natural que dé el isomorfismo, y de manera similar${\displaystyle \tau H_{i}M}$y${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$También son isomorfos, aunque no de forma natural.

Dimensión media

Si bien en la mayoría de las dimensiones la dualidad de Poincaré induce un emparejamiento bilineal entre diferentes grupos de homología, en la dimensión intermedia induce una forma bilineal en un único grupo de homología. La forma de intersección resultante es un invariante topológico muy importante.

El significado de "dimensión media" depende de la paridad. Para la dimensión par n = 2k , que es más común, esta es literalmente la dimensión media k , y hay una forma en la parte libre de la homología media:

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

Por el contrario, para la dimensión impar n = 2 k + 1 , que se discute con menos frecuencia, se trata simplemente de la dimensión media inferior k , y existe una forma en la parte de torsión de la homología en esa dimensión:

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Sin embargo, también existe un emparejamiento entre la parte libre de la homología en la dimensión media inferior k y en la dimensión media superior k + 1 :

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

Los grupos resultantes, si bien no constituyen un único grupo con forma bilineal, son un complejo de cadena simple y se estudian en la teoría L algebraica .

Aplicaciones

Este enfoque de la dualidad de Poincaré fue utilizado por Józef Przytycki y Akira Yasuhara para dar una clasificación elemental de homotopía y difeomorfismo de espacios de lentes tridimensionales . ^{[ 2 ]}

Un resultado inmediato de la dualidad de Poincaré es que cualquier variedad cerrada de dimensión impar M tiene característica de Euler cero, lo que a su vez implica que cualquier variedad que la limite tiene característica de Euler par.

La dualidad de Poincaré está estrechamente relacionada con el teorema de isomorfismo de Thom . Sea${\displaystyle M}$Sea M una n -variedad compacta, sin límites y orientada , y M × M el producto de M consigo mismo. Sea V un entorno tubular abierto de la diagonal en M × M. Consideremos las aplicaciones:

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$el producto cruzado de homología
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$inclusión.
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$mapa de escisión donde${\displaystyle \nu M}$es el haz de discos normal de la diagonal en${\displaystyle M\times M}$.
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$el isomorfismo de Thom . Este mapa está bien definido ya que existe una identificación estándar.${\displaystyle \nu M\equiv TM}$que es un fibrado orientado, por lo que se aplica el isomorfismo de Thom.

En conjunto, esto da como resultado un mapa.${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$, que es el producto de intersección , generalizando el producto de intersección discutido anteriormente. Un argumento similar con el teorema de Künneth da la forma de enlace de torsión .

Esta formulación de la dualidad de Poincaré se ha popularizado ^{[ 3 ]} ya que define la dualidad de Poincaré para cualquier teoría de homología generalizada , dado un teorema de Künneth y un isomorfismo de Thom para dicha teoría. Un teorema de isomorfismo de Thom para una teoría de homología se considera ahora como la noción generalizada de orientabilidad para esa teoría. Por ejemplo, una estructura ^C de espín en una variedad es un análogo preciso de una orientación dentro de la teoría topológica k compleja .

El teorema de dualidad de Poincaré-Lefschetz es una generalización para variedades con frontera. En el caso no orientable, teniendo en cuenta el haz de orientaciones locales, se puede dar una afirmación que es independiente de la orientabilidad: véase dualidad de Poincaré retorcida .

La dualidad de Blanchfield es una versión de la dualidad de Poincaré que proporciona un isomorfismo entre la homología de un espacio de recubrimiento abeliano de una variedad y la cohomología correspondiente con soportes compactos. Se utiliza para obtener resultados estructurales básicos sobre el módulo de Alexander y puede emplearse para definir las signaturas de un nudo .

Con el desarrollo de la teoría de la homología para incluir la teoría K y otras teorías extraordinarias a partir de 1955, se comprendió que la homología${\displaystyle H'_{*}}$Podría ser reemplazada por otras teorías, una vez construidos los productos en variedades; y ahora existen tratamientos generales en los libros de texto. Más específicamente, existe un teorema general de dualidad de Poincaré para una teoría de homología generalizada que requiere una noción de orientación con respecto a una teoría de homología, y se formula en términos de un teorema generalizado de isomorfismo de Thom . El teorema de isomorfismo de Thom en este sentido puede considerarse como la idea germinal para la dualidad de Poincaré en teorías de homología generalizadas.

La dualidad de Verdier es la generalización apropiada a objetos geométricos (posiblemente singulares ), como espacios analíticos o esquemas , mientras que la homología de intersección fue desarrollada por Robert MacPherson y Mark Goresky para espacios estratificados , como variedades algebraicas reales o complejas, precisamente para generalizar la dualidad de Poincaré a dichos espacios estratificados.

En topología algebraica existen muchas otras formas de dualidad geométrica , entre ellas la dualidad de Lefschetz , la dualidad de Alexander , la dualidad de Hodge y la dualidad S.

De forma más algebraica, se puede abstraer la noción de complejo de Poincaré , que es un objeto algebraico que se comporta como el complejo de cadena singular de una variedad, satisfaciendo notablemente la dualidad de Poincaré en sus grupos de homología, con respecto a un elemento distinguido (correspondiente a la clase fundamental). Estos se utilizan en la teoría de la cirugía para algebraizar cuestiones sobre variedades. Un espacio de Poincaré es aquel cuyo complejo de cadena singular es un complejo de Poincaré. No todos estos son variedades, pero su falta de serlo puede medirse mediante la teoría de la obstrucción .

• descomposición de Bruhat
• Clase fundamental
• Grupo Weyl

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Teoría de la intersección de variedades con operadores con aplicaciones a la teoría de nudos", Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356 , doi : 10.2307/1969966 , JSTOR 1969966 , MR 0085512  
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 

• Forma de intersección en el Atlas de Múltiples
• Formulario de enlace en el Atlas de Múltiples