distancia plana intrínseca

En matemáticas , la distancia plana intrínseca es una noción de distancia entre dos variedades riemannianas que es una generalización de la distancia plana de Federer y Fleming entre subvariedades y corrientes integrales que se encuentran en el espacio euclidiano .

La distancia plana intrínseca de Sormani -Wenger (SWIF) es una distancia entre variedades riemannianas compactas orientadas de la misma dimensión. De forma más general, define la distancia entre dos espacios de corrientes integrales, ( X , d , T ), de la misma dimensión (véase más adelante). Esta clase de espacios y esta distancia fueron anunciadas por primera vez por los matemáticos Sormani y Wenger en el Festival de Geometría de 2009, y el desarrollo detallado de estas nociones apareció en el Journal of Differential Geometry en 2011. ^{[ 1 ]}

La distancia SWIF es una noción intrínseca basada en la distancia plana (extrínseca) entre subvariedades y corrientes integrales en el espacio euclidiano, desarrollada por Federer y Fleming. La definición imita la definición de Gromov de la distancia de Gromov-Hausdorff, ya que implica tomar un ínfimo sobre todas las aplicaciones que preservan la distancia de los espacios dados en todos los posibles espacios ambiente Z. Una vez en un espacio común Z , la distancia plana entre las imágenes se toma considerando las imágenes de los espacios como corrientes integrales en el sentido de Ambrosio -Kirchheim. ^{[ 1 ]}

La idea general, tanto en entornos intrínsecos como extrínsecos, es considerar los espacios como el límite de un tercer espacio o región y encontrar el volumen ponderado más pequeño de este tercer espacio. De esta manera, las esferas con múltiples splines que contienen volúmenes cada vez más pequeños convergen de forma "SWIF" a esferas. ^{[ 1 ]}

Dadas dos variedades riemannianas compactas orientadas, M _i , posiblemente con frontera:

d _SWIF ( M ₁ , M ₂ ) = 0

Si existe una isometría que preserva la orientación de M ₁ a M _2. Si M _i converge en el sentido de Gromov-Hausdorff a un espacio métrico Y, entonces una subsecuencia de M _i converge de forma SWIF a un espacio de corriente integral contenido en Y, pero no necesariamente igual a Y. Por ejemplo, el límite GH de una secuencia de esferas con un cuello largo y delgado es un par de esferas con un segmento de línea que las une, mientras que el límite SWIF es simplemente el par de esferas. El límite GH de una secuencia de toros cada vez más delgados es un círculo, pero el límite plano es el espacio 0. En el contexto de curvatura de Ricci no negativa y una cota inferior uniforme para el volumen, los límites GH y SWIF coinciden. Si una secuencia de variedades converge en el sentido de Lipschitz a una variedad límite de Lipschitz, entonces el límite SWIF existe y tiene el mismo límite. ^{[ 1 ]}

El teorema de compacidad de Wenger establece que si una sucesión de variedades riemannianas compactas, M _j , tiene una cota superior uniforme en diámetro, volumen y volumen de frontera, entonces una subsucesión converge de forma SWIF a un espacio de corriente integral. ^{[ 1 ]}

Un espacio de corrientes integrales m-dimensional ( X , d , T ) es un espacio métrico ( X , d ) con una estructura de corrientes integrales m -dimensional T. Más precisamente, utilizando nociones de Ambrosio-Kirchheim, T es una corriente integral m -dimensional en la completación métrica de X , y X es el conjunto de densidad positiva de la medida de masa de T. Como consecuencia de profundos teoremas de Ambrosio-Kirchheim, X es entonces un espacio métrico rectificable H ^m numerable , por lo que está cubierto H ^m casi en todas partes por las imágenes de cartas bi-Lipschitz de subconjuntos compactos de R ^m , está dotado de una función de peso de valor entero y tiene una orientación. Además, un espacio de corrientes integrales tiene una noción bien definida de frontera que es un espacio de corrientes integrales ( m - 1)-dimensional. Un espacio de corrientes integrales 0-dimensional es una colección finita de puntos con pesos de valor entero. Un espacio de corrientes integrales especial que se encuentra en cada dimensión es el espacio 0. ^{[ 1 ]}  

La distancia plana intrínseca entre dos espacios de corriente integrales se define de la siguiente manera:

d _SWIF (( X ₁ , d ₁ , T ₁ ), ( X ₂ , d ₂ , T ₂ ,)) se define como el ínfimo de todos los números d  _F ( f _1* T ₁ , f _2* T ₂ ) para todos los espacios métricos M y todos los mapas que preservan la distancia f _i  : X _i → Z . Aquí d  _F denota la distancia plana entre las corrientes integrales en Z encontradas al impulsar hacia adelante las estructuras de corriente integral T _i .

Dos espacios de corriente integral tienen d _SWIF = 0 si y solo si existe una isometría que preserva la corriente entre los espacios. ^{[ 1 ]}

Todos los resultados mencionados anteriormente pueden enunciarse también en este contexto más general, incluido el Teorema de Compacidad de Wenger. ^{[ 1 ]}

• Para demostrar que ciertos límites GH son contablemente rectificables H ^{m [ 1 ]}
• Para comprender la convergencia suave alejándose de las singularidades ^{[ 2 ]}
• Para comprender la convergencia de variedades riemannianas con frontera ^{[ 1 ]}
• Para estudiar cuestiones que surgen en la relatividad general ^{[ 3 ]}
• Para estudiar las cuestiones que surgen en el artículo de Gromov sobre las variedades de Plateau - Stein ^{[ 4 ]}

• Sitio web bibliográfico sobre la distancia plana intrínseca : https://sites.google.com/site/intrinsicflatconvergence/
• Sitio web bibliográfico sobre la distancia plana intrínseca (enlace alternativo): http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/research/intrinsicflat.html
• Festival de Geometría 2009 http://www.math.sunysb.edu/geomfest09/program.html