Cono convexo invariante

En matemáticas , un cono convexo invariante es un cono convexo cerrado en un álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo que es invariante bajo automorfismos internos . El estudio de dichos conos fue iniciado por Ernest Vinberg y Bertram Kostant .

Para un álgebra de Lie simple , la existencia de un cono convexo invariante obliga a que el álgebra de Lie tenga una estructura hermitiana, es decir, el subgrupo compacto maximal tiene un centro isomorfo al grupo del círculo . El cono convexo invariante generado por un generador del álgebra de Lie del centro es cerrado y es el cono convexo invariante mínimo (salvo un signo). El cono dual con respecto a la forma de Killing es el cono convexo invariante maximal. Cualquier cono intermedio está determinado unívocamente por su intersección con el álgebra de Lie de un toro maximal en un subgrupo compacto maximal. La intersección es invariante bajo el grupo de Weyl del toro maximal y la órbita de cada punto en el interior del cono interseca el interior del cono invariante del grupo de Weyl.

Para el grupo simpléctico real , el cono máximo y el mínimo coinciden, por lo que solo existe un cono convexo invariante. Cuando uno está contenido propiamente en el otro, existe un continuo de conos convexos invariantes intermedios.

Los conos convexos invariantes surgen en el análisis de semigrupos holomorfos en la complejización del grupo de Lie, estudiados por primera vez por Grigori Olshanskii. Están asociados naturalmente con espacios simétricos hermíticos y sus series discretas holomorfas asociadas . El semigrupo está formado por aquellos elementos en la complejización que, al actuar sobre el espacio simétrico hermítico de tipo compacto, dejan invariante el dominio acotado correspondiente al dual no compacto. El semigrupo actúa mediante operadores de contracción sobre la serie discreta holomorfa; su interior actúa mediante operadores de Hilbert-Schmidt . La parte unitaria de su descomposición polar es el operador correspondiente a un elemento en el grupo de Lie real original, mientras que la parte positiva es la exponencial de un múltiplo imaginario del operador infinitesimal correspondiente a un elemento en el cono maximal. Una descomposición similar ya ocurre en el semigrupo.

El semigrupo oscilador de Roger Howe se refiere al caso particular de esta teoría para el grupo simpléctico real. Históricamente, esta ha sido una de las aplicaciones más importantes y se ha generalizado a dimensiones infinitas. Este artículo analiza en detalle el ejemplo del cono convexo invariante para el grupo simpléctico y su uso en el estudio del semigrupo simpléctico de Olshanskii.

^{El álgebra de Lie} del grupo simpléctico en R²ⁿ tiene un único cono convexo invariante. Es autodual. ^{[ 1 ]} _{El cono y} sus propiedades se pueden derivar directamente utilizando la descripción del álgebra de Lie simpléctica proporcionada por el ^cálculo de Weyl _en mecánica cuántica . ^{[ 2 ]} Sean las variables en R²ⁿ ^x₁ , ..., xₙ , _y₁ , ... , yₙ _. Tomando el producto interno estándar en ^R²ⁿ , la forma ^simpléctica corresponde a la matriz

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}.}}$

Los polinomios reales en R²ⁿ forman un álgebra de Lie ^de dimensión infinita bajo el corchete de Poisson ^.

${\displaystyle \displaystyle {\{f,g\}=\sum _{i}{\partial f \over \partial x_{i}}{\partial g \over \partial y_{i}}-{\partial f \over \partial y_{i}}{\partial g \over \partial x_{i}}.}}$

Los polinomios de grado ≤ 2 forman un álgebra de Lie de dimensión finita con centro en los polinomios constantes. Los polinomios homogéneos de grado 2 forman una subálgebra de Lie isomorfa al álgebra de Lie simpléctica. El grupo simpléctico actúa naturalmente sobre esta subálgebra mediante reparametrización y esto produce la representación adjunta . Los polinomios homogéneos de grado 2 por otro lado son simplemente formas bilineales simétricas en R _{2 n} . Por lo tanto, corresponden a matrices simétricas de 2 n × 2 n . La forma de Killing en el álgebra de Lie es proporcional a la forma traza Tr AB . Las formas bilineales simétricas definidas positivas dan un cono convexo invariante abierto con clausura el conjunto P de formas bilineales simétricas semidefinidas positivas. Debido a que la forma de Killing es la forma traza, el cono P es autodual.

Cualquier forma bilineal simétrica positiva define un nuevo producto interno en R²ⁿ . La forma simpléctica define un operador antisimétrico invertible T con respecto a este producto interno, donde –T² es ^un operador ^positivo . Se puede elegir una base ortonormal de modo que T tenga matrices antisimétricas ^de 2 × 2 en la diagonal. Al escalar la base ortonormal, se deduce que existe una base simpléctica para R²ⁿ ^{que diagonaliza la forma bilineal simétrica positiva original. Por lo tanto ,} toda forma bilineal simétrica positiva se encuentra en la órbita de una forma diagonal bajo el grupo simpléctico.

Si C es cualquier otro cono convexo invariante, entonces es invariante bajo el subgrupo cerrado U del grupo simpléctico que consiste en transformaciones ortogonales que conmutan con J. Identificando R ^{2 n} con el espacio de producto interno complejo C ⁿ usando la estructura compleja J , U puede identificarse con U ( n ). Tomando cualquier punto no nulo en C . el promedio sobre U con respecto a la medida de Haar está en C y es no nulo. La forma cuadrática correspondiente es un múltiplo del producto interno estándar. Reemplazando C por – C este múltiplo puede tomarse como positivo. Hay una copia de SL(2, R ) en el grupo simpléctico que actúa solo sobre las variables x _i e y _i . Estos operadores se pueden usar para transformar ( x _i ) ² + ( y _i ) ² en t ( x _i ) ² + (2 – t )( y _i ) ² con 0 < t < 2. De ello se deduce que C contiene el punto ( x ₁ ) ² + ( y ₂ ) ² + ... + ( y _n ) ² . Aplicando operadores de escala diagonal en la segunda y subsiguientes copias de SL(2, R ), el cono C debe contener la forma cuadrática ( x ₁ ) ² . Por invariancia, C también debe contener las formas cuadráticas ( x _i ) ² y ( y _i ) ² . Por convexidad, contiene todas las formas bilineales simétricas positivas diagonales. Dado que cualquier forma bilineal simétrica positiva está en la órbita de una forma diagonal, C contiene el cono de formas bilineales simétricas no negativas. Por dualidad, el cono dual C * está contenido en P . Si C es un cono propio, el argumento anterior muestra que C * = P y por lo tanto que C = P .

Este argumento demuestra que toda forma simétrica definida positiva está en la órbita de una forma con forma cuadrática correspondiente.

${\displaystyle \displaystyle {Q(x,y)=\sum a_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),}}$

con i > 0. Esto corresponde a un cono en el álgebra _de Lie del toro maximal ( diagonal) de U.

Dado que cada elemento de P es diagonalizable, el estabilizador de un elemento positivo en el grupo simpléctico está contenido en un conjugado de U. Por otro lado, si K es otro subgrupo compacto del grupo simpléctico, el promedio sobre la medida de Haar muestra que deja invariante un elemento positivo de P. Por lo tanto, K está contenido en un conjugado de U. De ello se deduce que U es un subgrupo compacto maximal del grupo simpléctico y que cualquier otro subgrupo de este tipo debe ser un conjugado de U.

El grupo simpléctico complejo actúa mediante transformaciones de Möbius sobre X , las matrices simétricas complejas con norma de operador menor o igual a uno. Representando un elemento como una matriz de bloques de 2 × 2 ${\displaystyle h={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$, la acción es dada por

${\displaystyle \displaystyle {h(z)=(az+b)(cz+d)^{-1}.}}$

Hay un automorfismo de período 2 σ del grupo simpléctico complejo con subgrupo de punto fijo el grupo simpléctico real. Entonces x ⁺ = σ(x)^{-1} es un antiautomorfismo de H que induce el inverso en el grupo simpléctico real G . Si g está en el semigrupo abierto de Olshanski H , sea h = g ⁺ g . Por el teorema del punto fijo de Brouwer aplicado al conjunto convexo compacto X , g tiene un punto fijo en X . Como g lleva X a su interior, el punto fijo es un punto interior. Como G actúa transitivamente en el interior de X , postmultiplicando por un elemento de G si es necesario, se puede suponer que h fija 0. Como h ⁺ = h , se deduce que b = c = 0. Conjugando por un elemento en K ⊂ SU(1,1), a y d se pueden diagonalizar. Tiene autovalores positivos, por lo que hay un único operador diagonal positivo h ₁ con cuadrado h . Por unicidad ( h ₁ ) ⁺ = h ₁ . Dado que h ₁ es diagonal, la teoría para SU(1,1) y SL(2, C ) actuando sobre el disco unitario en C muestra que h ₁ se encuentra en exp C . Por otro lado, k = g ( h ₁ ) ⁻¹ satisface k ⁺ k = 1 de modo que σ( k ) = k . Por lo tanto, k se encuentra en G y, por consiguiente, utilizando la invariancia de C , H admite la descomposición

${\displaystyle \displaystyle {H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}}$

De hecho, existe una descomposición similar para el semigrupo simpléctico cerrado de Olshanski:

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H}}=G\cdot \exp({\overline {C}})=\exp({\overline {C}})\cdot G.}}$

Además, el mapa ( g , x ) ↦ g exp x es un homeomorfismo. ^{[ 3 ]}

De hecho, si X está en C , es diagonalizable con autovalores reales. Por lo tanto, exp X tiene autovalores estrictamente positivos. Por continuidad, si X está en la clausura de C , tiene autovalores reales y exp X tiene autovalores estrictamente positivos. Cualquier operador invertible que sea un límite de tal exp X también tendrá autovalores estrictamente positivos. Mediante el cálculo funcional holomorfo, la aplicación exponencial en el espacio de operadores con espectro real define un homeomorfismo en el espacio de operadores con espectro estrictamente positivo, con un inverso analítico dado por el logaritmo. De ello se deduce que ${\displaystyle \exp {\overline {C}}}$está cerrado en el grupo simpléctico complejo.

Si g _n exp X _n tiende a h , entonces exp 2 X _n tiende a h ⁺ h . Dado que ${\displaystyle \exp {\overline {C}}}$es cerrado, h ⁺ h = exp 2 X para algún X y por lo tanto h exp – X está en G . Entonces el cierre de ${\displaystyle G\exp {\overline {C}}}$está cerrado y coincide con${\displaystyle {\overline {H}}}$. De manera similar, si g _n exp X _n tiende a g exp X , entonces exp 2 X _n tiende a exp 2 X . Por lo tanto, X _n tiende a X . Pero entonces exp X _n tiende a exp X , de modo que g _n tiende a g .

El uso del teorema del punto fijo de Brouwer puede evitarse aplicando teoremas de punto fijo más directos para aplicaciones holomorfas, como el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton y sus variantes. ^{[ 4 ]} De hecho, una transformación de Möbius f que toma { z : || z || < 1, z ^t = z } en un subconjunto compacto tiene un único punto fijo z ₀ con f ⁿ ( z ) → z ₀ para cualquier z .

La unicidad se deduce porque, si f tiene un punto fijo, después de conjugarlo por un elemento del grupo simpléctico real, se puede asumir que es 0. Entonces f tiene la forma f ( z ) = az (1 + cz ) ⁻¹ a ^t , donde c ^t = c , con iteraciones f ^m ( z ) = a ^m z (1 + c _m z ) ⁻¹ ( a ^m ) ^t con c _m = c + a ^t ca + ⋅⋅⋅ + ( a ^{m − 1} ) ^t ca ^{m − 1} . Aquí a y c _m tienen todos norma de operador menor que uno. Por lo tanto, para || z || ≤ r < 1, f ^m ( z ) tiende a 0 uniformemente, de modo que en particular 0 es el único punto fijo y se obtiene aplicando iteraciones de f .

La existencia de un punto fijo para f se deduce al observar que es una sucesión creciente n _k tal que f ^{n _k} y f ^{n _{2 k + 1} − n _{2 k}} convergen uniformemente en compacto, a h y g respectivamente. Esto se deduce porque las transformaciones simplécticas reales g _n pueden elegirse de modo que h _n = g _n ∘ f ⁿ fije 0, con una subsucesión de g _n convergente precisamente cuando la subsucesión correspondiente de f ⁿ (0) es convergente. Dado que las transformaciones h _n pueden escribirse como h _n ( z ) = a _n z (1 + b _n z ) ⁻¹ ( a _n ) ^t , se pueden elegir subsucesiones convergentes. Por construcción g ∘ h = h . Por lo tanto, los puntos en la imagen de h están fijados por g . Ahora bien, g y h son constantes o tienen la forma az (1 + cz ) ^{- 1} at ^seguida de una transformación simpléctica real. Dado que la imagen de h es conexa y una aplicación no constante tiene un único punto fijo, la imagen de h es un único punto z₀ , fijado por g . Como g conmuta con f , f ( z₀ ₎ también está fijado por g y, por lo tanto _{, f} ( z₀ ) = _z₀ , de modo que ^{z₀ es} un punto fijo de f . [ ⁵ _]

El grupo simpléctico actúa transitivamente mediante transformaciones de Möbius sobre matrices simétricas complejas con norma de operador menor que uno. El semigrupo abierto de Olshanski consiste en transformaciones de Möbius en el grupo simpléctico complejo que transforman el espacio de matrices simétricas complejas de norma ≤ 1 en matrices simétricas complejas de norma < 1. Su clausura es un semigrupo propio maximal en el grupo simpléctico complejo.

En dos dimensiones, esto se deduce de un argumento general de Lawson (1998) que también se aplica en una dimensión. Sea G = SL(2, R ) actuando mediante transformaciones de Möbius en la recta real extendida y sea H el semigrupo abierto que consta de transformaciones que llevan [–1,1] a (–1,1). Su cierre${\displaystyle {\overline {H}}}$es el semigrupo cerrado de transformaciones que lleva [–1,1] en sí mismo. Maximalidad de${\displaystyle {\overline {H}}}$se demuestra mostrando primero que cualquier semigrupo estrictamente mayor S contiene un elemento g que envía | t | < 1 a | t | > 1. De hecho, si x está en S pero no en${\displaystyle {\overline {H}}}$, entonces hay un intervalo I ₁ en I = (–1,1) tal que x I ₁ se encuentra en [–1,1] ^c . Entonces para algún h en H , I ₁ = hI . De manera similar yxI ₁ = [–1,1] ^c para algún y en H . Por lo tanto g = yxh se encuentra en S y envía I a [–1,1] ^c . De ello se deduce que g ² fija I , de modo que g ⁻¹ se encuentra en S . Si z se encuentra en H entonces z g I contiene g I . Por lo tanto g ⁻¹ z ⁻¹ g se encuentra en${\displaystyle {\overline {H}}}$. Entonces z ⁻¹ está en S y por lo tanto S contiene un entorno abierto de 1 . Por lo tanto S = SL(2, R ). ^{[ 6 ]}

La maximalidad se puede deducir para el semigrupo simpléctico de Olshanski en SL(2, C ) a partir de la maximalidad de este semigrupo en SL(2, R ). Basta con demostrar que el semigrupo cerrado contiene SL(2, R ), porque las transformaciones de escala se encuentran en el interior del semigrupo simpléctico de Olshanski. Así que si sus inversas se encuentran en el semigrupo simpléctico, este contiene un entorno de la identidad y, por lo tanto, todo SL(2, C ). Si S es un semigrupo que contiene propiamente al semigrupo simpléctico, contiene un elemento que lleva el disco unitario cerrado fuera de sí mismo. Precomponiendo y postcomponiendo con elementos de SU(1,1), se puede suponer que el elemento g de S lleva 0 en r > 1. Precomponiendo con una transformación de escala, se puede suponer que g lleva el disco unitario cerrado a un pequeño entorno de r . Precomponiendo con un elemento de SU(1,1), la imagen inversa del eje real puede tomarse como el diámetro que une –1 y 1. Pero en ese caso, g debe estar en SL(2, R ). Del resultado de maximalidad para semigrupos en SL(2, R ), S debe contener SL(2, R ) y, por lo tanto, debe ser todo SL(2, C ). ^{[ 7 ]}

La factorización de Autonne-Takagi establece que para cualquier matriz simétrica compleja M , existe una matriz unitaria U tal que UMU ^t es diagonal. ^{[ 8 ]} Si S es un semigrupo que contiene propiamente la clausura del semigrupo de Olshanki, entonces contiene un elemento g tal que z = g (0) con 1 < || z || < ∞.

En efecto, existe una incrustación debida a Harish-Chandra del espacio de matrices simétricas complejas n x n como un subconjunto abierto denso de la grassmanniana compacta de subespacios lagrangianos de C ^{2 n} . Además, esta incrustación es equivariante para la acción del grupo simpléctico real. ^{[ 9 ]} De hecho, con el producto interno complejo estándar en C ^{2 n} , la grassmanniana de subespacios n -dimensionales tiene una acción transitiva continua de SL(2 n , C ) y su subgrupo compacto maximal SU(2 n ). Se puede identificar con el espacio de proyecciones ortogonales de rango n , un subespacio compacto de M _{2 n} ( C ). Tomando coordenadas ( z ₁ ,..., z _n , w ₁ ,..., w _n ) en C ^{2 n} , la forma simpléctica viene dada por

${\displaystyle \displaystyle {B((z,w),(z^{\prime },w^{\prime }))=\sum z_{i}w_{i}^{\prime }-w_{i}z_{i}^{\prime }.}}$

Un subespacio n -dimensional U se denomina lagrangiano si B se anula en U. Los subespacios lagrangianos forman un subconjunto cerrado de la grassmanniana sobre el cual el grupo simpléctico complejo y el grupo simpléctico unitario actúan transitivamente. Este es el grassmanniano lagrangiano. El subespacio U ₀ formado por vectores con z _i = 0 es lagrangiano. El conjunto de subespacios lagrangianos U para los cuales la restricción de la proyección ortogonal sobre U ₀ es un isomorfismo forma un subconjunto abierto y denso Ω de la grassmanniana lagrangiana. Cualquier subespacio de este tipo tiene una base canónica cuyos vectores columna forman una matriz de 2 n × n.${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z\\I\end{pmatrix}}}$donde Z es una matriz simétrica compleja de n x n e I es la matriz identidad de n x n . Bajo esta correspondencia, los elementos del grupo simpléctico complejo se ven como matrices de bloques. ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$actúan como transformaciones de Möbius, g ( Z ) = ( AZ + B )( CZ + D ) ⁻¹ . La bola unitaria para la norma del operador y su clausura se dejan invariantes bajo la forma real correspondiente del grupo simpléctico.

Si un elemento g del grupo simpléctico complejo no se encuentra en la clausura del semigrupo de Olshanski, debe llevar algún punto W de la bola unitaria abierta al complemento de su clausura. Si g ( W ) no se encuentra en Ω, entonces la imagen de una bola pequeña alrededor de W debe contener puntos con en Ω con norma de operador arbitrariamente grande. Precomponiendo g con un elemento adecuado en G , se deduce que Z = g (0) tendrá norma de operador mayor que 1. Si g ( W ) ya se encuentra en Ω, también tendrá norma de operador mayor que 1 y W puede tomarse como 0 precomponiéndolo con un elemento adecuado de G .

Precomponiendo g con una transformación de escala y postcomponiendo g con una transformación unitaria, se puede suponer que g (0) es una matriz diagonal con entradas λ _i ≥ 0 con r = λ ₁ > 0 y que la imagen de la bola unitaria está contenida en una bola pequeña alrededor de este punto. Las entradas λ _i con i ≥ 2 pueden ser escaladas por separado por elementos del semigrupo de Olshanki de modo que λ _i < 1; y luego pueden ser enviadas a 0 por elementos de G que se encuentran en copias conmutativas de SU(1,1). Así que g (0) es una matriz diagonal con entradas r , 0,...,0, donde r > 1.

• Representación del oscilador
• Cono simétrico

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