Representación del oscilador

En matemáticas , la representación del oscilador es una representación unitaria proyectiva del grupo simpléctico , investigada por primera vez por Irving Segal , David Shale y André Weil . Una extensión natural de la representación conduce a un semigrupo de operadores de contracción , introducido como el semigrupo del oscilador por Roger Howe en 1988. El semigrupo había sido estudiado previamente por otros matemáticos y físicos, en particular por Felix Berezin en la década de 1960. El ejemplo más simple en una dimensión viene dado por SU(1,1) . Actúa como transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido , dejando el círculo unitario invariante. En ese caso, la representación del oscilador es una representación unitaria de una doble cubierta de SU(1,1) y el semigrupo del oscilador corresponde a una representación mediante operadores de contracción del semigrupo en SL(2, C ) correspondiente a transformaciones de Möbius que toman el disco unitario en sí mismo.

Los operadores de contracción, determinados salvo por un signo, tienen núcleos que son funciones gaussianas . A nivel infinitesimal, el semigrupo se describe mediante un cono en el álgebra de Lie de SU(1,1) que puede identificarse con un cono ligero . Este mismo marco se generaliza al grupo simpléctico en dimensiones superiores, incluyendo su análogo en dimensiones infinitas. Este artículo explica la teoría de SU(1,1) en detalle y resume cómo puede extenderse.

La formulación matemática de la mecánica cuántica propuesta por Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger se basó originalmente en operadores autoadjuntos no acotados en un espacio de Hilbert . Los operadores fundamentales correspondientes a la posición y el momento satisfacen las relaciones de conmutación de Heisenberg . Los polinomios cuadráticos en estos operadores, que incluyen el oscilador armónico , también son cerrados al tomar conmutadores.

En las décadas de 1920 y 1930 se desarrolló una gran cantidad de teoría de operadores para proporcionar una base rigurosa a la mecánica cuántica. Parte de la teoría se formuló en términos de grupos unitarios de operadores, principalmente gracias a las contribuciones de Hermann Weyl , Marshall Stone y John von Neumann . A su vez, estos resultados de la física matemática se incorporaron al análisis matemático, comenzando con las notas de clase de Norbert Wiener de 1933 , quien utilizó el núcleo de calor para el oscilador armónico para derivar las propiedades de la transformada de Fourier .

La unicidad de las relaciones de conmutación de Heisenberg, formuladas en el teorema de Stone-von Neumann , se interpretó posteriormente dentro de la teoría de la representación de grupos , en particular la teoría de las representaciones inducidas iniciada por George Mackey . Los operadores cuadráticos se entendieron en términos de una representación unitaria proyectiva del grupo SU(1,1) y su álgebra de Lie . Irving Segal y David Shale generalizaron esta construcción al grupo simpléctico en dimensiones finitas e infinitas; en física, esto se conoce a menudo como cuantización bosónica : se construye como el álgebra simétrica de un espacio de dimensión infinita. Segal y Shale también trataron el caso de la cuantización fermiónica , que se construye como el álgebra exterior de un espacio de Hilbert de dimensión infinita. En el caso especial de la teoría de campos conformes en 1+1 dimensiones, las dos versiones se vuelven equivalentes mediante la denominada "correspondencia bosón-fermión". Esto no solo se aplica en el análisis donde existen operadores unitarios entre espacios de Hilbert bosónicos y fermiónicos, sino también en la teoría matemática de las álgebras de operadores de vértice . Los operadores de vértice surgieron originalmente a finales de la década de 1960 en la física teórica , particularmente en la teoría de cuerdas .

André Weil extendió posteriormente la construcción a grupos de Lie p-ádicos , mostrando cómo las ideas podían aplicarse en la teoría de números , en particular para dar una explicación teórica de grupos de las funciones theta y la reciprocidad cuadrática . Varios físicos y matemáticos observaron que los operadores del núcleo de calor correspondientes al oscilador armónico estaban asociados a una complejización de SU(1,1): esto no era todo SL(2, C ), sino un semigrupo complejo definido por una condición geométrica natural. La teoría de representación de este semigrupo, y sus generalizaciones en dimensiones finitas e infinitas, tiene aplicaciones tanto en matemáticas como en física teórica. ^{[ 1 ]}

El grupo

${\displaystyle G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}$

es un subgrupo de

${\displaystyle G_{c}=\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$,

el grupo de matrices complejas de 2 × 2 con determinante 1. El subgrupo real de   ${\displaystyle G_{c}}$

${\displaystyle G_{1}=\operatorname {SL(2,\mathbb {R} )} }$

es conjugado de${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=CG_{1}C^{-1},\quad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}},}$

como lo demuestra la multiplicación de matrices.

${\displaystyle G_{1}}$es generado por

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

y el subgrupo${\displaystyle P}$de matrices triangulares inferiores

${\displaystyle P=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.}$

La órbita del vector

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Se puede ver fácilmente que bajo el subgrupo generado por estas matrices${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$y el estabilizador de v en G ₁ se encuentra dentro de este subgrupo.

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de SU(1,1) consta de matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .}$

El automorfismo σ de periodo 2 de G _c

${\displaystyle \sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},}$

con

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

tiene subgrupo de punto fijo G desde

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

De manera similar, la misma fórmula define un automorfismo de período dos σ del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$de G _c , las matrices complejas con traza cero. Una base estándar de${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$sobre C viene dado por

${\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Satisfacen el álgebra de Witt.

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m,n\in \{1,0,-1\}.}$

El álgebra de Lie de${\displaystyle G_{c}}$es una suma directa

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el espacio propio +1 de σ. El espacio propio –1${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$ es el álgebra de Lie de${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$, un subgrupo compacto maximal de${\displaystyle G_{c}}$.

Las matrices X en${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$tener la forma

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle -\det X=x^{2}-|w|^{2}.}$

El cono C en${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$se define por dos condiciones. La primera es${\displaystyle \det X<0.}$Por definición, esta condición se conserva bajo conjugación por G. Dado que G es conexo, deja invariantes las dos componentes con x > 0 y x < 0. La segunda condición es${\displaystyle x<0.}$

El grupo G ^c actúa mediante transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido. El subgrupo G actúa como automorfismos del disco unitario D. Un semigrupo H de G ^c , considerado por primera vez por Olshanskii (1981) , puede definirse mediante la condición geométrica:

${\displaystyle g({\overline {D}})\subset D.}$

El semigrupo se puede describir explícitamente en términos del cono C : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}$

De hecho, la matriz X puede conjugarse mediante un elemento de G con la matriz

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}}$

con

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.}$

Dado que la transformación de Möbius correspondiente a exp Y envía z a e ^{−2 y} z , se deduce que el lado derecho se encuentra en el semigrupo. Recíprocamente, si g se encuentra en H, transporta el disco unitario cerrado a un disco cerrado más pequeño en su interior. Conjugando por un elemento de G , se puede tomar que el disco más pequeño tenga centro 0. Pero entonces, para un y apropiado , el elemento${\displaystyle e^{-Y}g}$lleva D sobre sí mismo , por lo que yace en G.

Un argumento similar muestra que el cierre de H , también un semigrupo, está dado por

${\displaystyle {\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

De la afirmación anterior sobre la conjugación, se deduce que

${\displaystyle H=GA_{+}G,}$

dónde

${\displaystyle A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}.}$

Si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H}$

entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,}$

ya que esta última se obtiene tomando la transpuesta y conjugando por la matriz diagonal con entradas ±1. Por lo tanto, H también contiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}.}$

que da la matriz inversa si la matriz original se encuentra en SU(1,1).

Un resultado adicional sobre la conjugación se deduce al observar que cada elemento de H debe fijar un punto en D , que por conjugación con un elemento de G puede tomarse como  0. Entonces el elemento de H tiene la forma

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.}$

El conjunto de tales matrices triangulares inferiores forma un subsemigrupo H ₀ de H .

Desde

${\displaystyle M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

Cada matriz en H ₀ es conjugada a una matriz diagonal mediante una matriz M en H ₀ .

De manera similar, cada semigrupo uniparamétrico S ( t ) en H fija el mismo punto en D , por lo que es conjugado por un elemento de G a un semigrupo uniparamétrico en H ₀ .

De ello se deduce que existe una matriz M en H ₀ tal que

${\displaystyle MS(t)=S_{0}(t)M,}$

con S ₀ ( t ) diagonal. De manera similar, existe una matriz N en H ₀ tal que

${\displaystyle S(t)N=NS_{0}(t),}$

El semigrupo H ₀ genera el subgrupo L de matrices triangulares inferiores complejas con determinante 1 (dado por la fórmula anterior con a ≠ 0). Su álgebra de Lie consta de matrices de la forma

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.}$

En particular, el semigrupo de un parámetro exp tZ se encuentra en H ₀ para todo t > 0 si y solo si${\displaystyle \Re z<0}$y${\displaystyle |\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.}$

Esto se deduce del criterio para H o directamente de la fórmula.

${\displaystyle \exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.}$

Se sabe que la aplicación exponencial no es sobreyectiva en este caso, aunque sí lo es en todo el grupo L. Esto se debe a que la operación de elevar al cuadrado no es sobreyectiva en H. De hecho, dado que el cuadrado de un elemento fija 0 solo si el elemento original fija 0, basta con demostrar esto en H _0. Tomemos α con |α| < 1 y

${\displaystyle \left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.}$

Si a = α ² y

${\displaystyle b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),}$

con

${\displaystyle (1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

luego la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}}$

no tiene raíz cuadrada en H ₀ . Para una raíz cuadrada tendría la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Por otro lado,

${\displaystyle |\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.}$

El semigrupo cerrado${\displaystyle {\overline {H}}}$es máximo en SL(2, C ): cualquier semigrupo mayor debe ser todo SL(2, C ). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Utilizando cálculos motivados por la física teórica, Ferrara et al. (1973) introdujeron el semigrupo${\displaystyle H}$, definido a través de un conjunto de desigualdades. Sin identificación${\displaystyle H}$como un semigrupo de compresión, establecieron la máxima de ${\displaystyle {\overline {H}}}$. Utilizando la definición como un semigrupo de compresión, la maximalidad se reduce a comprobar qué sucede al añadir una nueva transformación fraccionaria.${\displaystyle g}$a${\displaystyle {\overline {H}}}$La idea de la demostración depende de considerar las posiciones de los dos discos.${\displaystyle g(D)}$y${\displaystyle D}$En los casos clave, o bien un disco contiene al otro o son disjuntos. En los casos más simples,${\displaystyle g}$es la inversa de una transformación de escala o${\displaystyle g(z)=-1/z}$En cualquier caso${\displaystyle g}$y${\displaystyle H}$generar un entorno abierto de 1 y por lo tanto todo SL(2,C)

Más tarde Lawson (1998) dio otra forma más directa de probar la maximalidad mostrando primero que hay un g en S que envía D al disco D ^c , | z | > 1. De hecho, si${\displaystyle x\in S\setminus {\overline {H}},}$Entonces hay un pequeño disco D ₁ en D tal que xD ₁ se encuentra en D ^c . Entonces, para algún h en H , D ₁ = hD . De manera similar, yxD ₁ = D ^c para algún y en H . Por lo tanto, g = yxh se encuentra en S y envía D a D ^c . De ello se deduce que g ² fija el disco unitario D por lo que se encuentra en SU(1,1). Por lo tanto, g ⁻¹ se encuentra en S . Si t se encuentra en H entonces tgD contiene gD . Por lo tanto${\displaystyle g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.}$Entonces t ⁻¹ está en S y por lo tanto S contiene un entorno abierto de 1. Por lo tanto S = SL(2, C ).

El mismo argumento funciona para las transformaciones de Möbius en R ⁿ y el semigrupo abierto que transforma la esfera unitaria cerrada || x || ≤ 1 en la esfera unitaria abierta || x || < 1. La clausura es un semigrupo propio maximal en el grupo de todas las transformaciones de Möbius. Cuando n = 1, la clausura corresponde a las transformaciones de Möbius de la recta real que transforman el intervalo cerrado [–1,1] en sí mismo. ^{[ 8 ]}

El semigrupo H y su clausura tienen una estructura adicional heredada de G , a saber, la inversión en G se extiende a un antiautomorfismo de H y su clausura, que fija los elementos en exp C y su clausura. Para

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

El antiautomorfismo viene dado por

${\displaystyle g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

y se extiende a un antiautomorfismo de SL(2, C ).

De manera similar, el antiautomorfismo

${\displaystyle g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

deja G ₁ invariante y fija los elementos en exp C ₁ y su clausura, por lo que tiene propiedades análogas para el semigrupo en G ₁ .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$Sea el espacio de funciones de Schwartz en R. Es denso en el espacio de Hilbert L² ( R ) de funciones de cuadrado integrable en R. Siguiendo la terminología de la mecánica cuántica , el operador de "momento" ^P y el operador de "posición" Q se definen en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$por

${\displaystyle Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).}$

Estos operadores satisfacen la relación de conmutación de Heisenberg.

${\displaystyle PQ-QP=iI.}$

Tanto P como Q son autoadjuntos para el producto interno en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$heredado de L ² ( R ).

Se pueden definir dos grupos unitarios de un parámetro U ( s ) y V ( t ) en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$y L ² ( R ) por

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).}$

Por definición

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

para${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$, de modo que formalmente

${\displaystyle U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.}$

De la definición se deduce inmediatamente que los grupos uniparamétricos U y V satisfacen la relación de conmutación de Weyl.

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

La realización de U y V en L ² ( R ) se denomina representación de Schrödinger .

La transformada de Fourier se define en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$por ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.}$

Define un mapa continuo de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$en sí misma por su topología natural .

La integración de contorno muestra que la función

${\displaystyle H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}}$

es su propia transformada de Fourier.

Por otro lado, integrar por partes o diferenciar bajo la integral,

${\displaystyle {\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.}$

De ello se deduce que el operador en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$definido por

${\displaystyle Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)}$

conmuta con Q (y P ). Por otro lado,

${\displaystyle TH_{0}=H_{0}}$

y desde

${\displaystyle g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}}$

se encuentra en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$De ello se deduce que

${\displaystyle T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0}$

y por lo tanto

${\displaystyle Tf(a)=f(a).}$

Esto implica la fórmula de inversión de Fourier :

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi }$

y muestra que la transformada de Fourier es un isomorfismo de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$sobre sí mismo.

Por el teorema de Fubini

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .}$

Cuando se combina con la fórmula de inversión, esto implica que la transformada de Fourier conserva el producto interno.

${\displaystyle \left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)}$

así define una isometría de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$sobre sí mismo.

Por densidad se extiende a un operador unitario en L ² ( R ), como afirma el teorema de Plancherel .

Supongamos que U ( s ) y V ( t ) son grupos unitarios uniparamétricos en un espacio de Hilbert.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$satisfaciendo las relaciones de conmutación de Weyl

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

Para${\displaystyle F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),}$sea ^{​​[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

y definir un operador acotado en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$por

${\displaystyle T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}}$

Los operadores T ( F ) tienen una importante propiedad de no degeneración : el espacio vectorial generado por todos los vectores T ( F )ξ es denso en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

De hecho, si fds y gdt definen medidas de probabilidad con soporte compacto, entonces los operadores suavizados

${\displaystyle U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

satisfacer

${\displaystyle \|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1}$

y convergen en la topología del operador fuerte al operador identidad si los soportes de las medidas disminuyen a 0.

Dado que U ( f ) V ( g ) tiene la forma T ( F ), se deduce la no degeneración.

Cuando${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es la representación de Schrödinger en L ² ( R ), el operador T ( F ) viene dado por

${\displaystyle T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.}$

De esta fórmula se deduce que U y V actúan conjuntamente de forma irreducible sobre la representación de Schrödinger, puesto que esto es cierto para los operadores dados por núcleos que son funciones de Schwartz. Una descripción concreta se proporciona en Transformaciones canónicas lineales .

Por el contrario, dada una representación de las relaciones de conmutación de Weyl en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$Esto da lugar a una representación no degenerada del *-álgebra de operadores de núcleo. Sin embargo, todas estas representaciones se encuentran sobre una suma directa ortogonal de copias de L ² ( R ) con la acción sobre cada copia como se indicó anteriormente. Esta es una generalización directa del hecho elemental de que las representaciones de las matrices N × N se encuentran sobre sumas directas de la representación estándar en C ^N . La demostración utilizando unidades matriciales funciona igualmente bien en dimensiones infinitas.

Los grupos unitarios de un parámetro U y V dejan cada componente invariante, induciendo la acción estándar sobre la representación de Schrödinger.

En particular, esto implica el teorema de Stone-von Neumann : la representación de Schrödinger es la única representación irreducible de las relaciones de conmutación de Weyl en un espacio de Hilbert.

Dados U y V que satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl, defina

${\displaystyle W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).}$

Entonces

${\displaystyle W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

de modo que W define una representación unitaria proyectiva de R ² con cociclo dado por

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

dónde${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$y B es la forma simpléctica en R ² dada por

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.}$

Según el teorema de Stone-von Neumann, existe una única representación irreducible que corresponde a este cociclo.

De ello se deduce que si g es un automorfismo de R ² que preserva la forma B , es decir, un elemento de SL(2, R ), entonces existe un π( g ) unitario en L ² ( R ) que satisface la relación de covarianza

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

Según el lema de Schur, la función unitaria π( g ) es única salvo multiplicación por un escalar ζ con |ζ| = 1, de modo que π define una representación unitaria proyectiva de SL(2, R ).

Esto se puede establecer directamente utilizando únicamente la irreducibilidad de la representación de Schrödinger. La irreducibilidad fue una consecuencia directa del hecho de que los operadores

${\displaystyle \iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,}$

donde K una función de Schwartz corresponde exactamente a operadores dados por núcleos con funciones de Schwartz.

Estos son densos en el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt , que, al contener los operadores de rango finito, actúa de forma irreducible.

La existencia de π puede probarse utilizando únicamente la irreducibilidad de la representación de Schrödinger. Los operadores son únicos salvo un signo con

${\displaystyle \pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),}$

de modo que el 2-cociclo para la representación proyectiva de SL(2, R ) toma valores ±1.

De hecho, el grupo SL(2, R ) se genera mediante matrices de la forma

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

y se puede verificar directamente que los siguientes operadores satisfacen las relaciones de covarianza anteriores:

${\displaystyle \pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

Los generadores g _i satisfacen las siguientes relaciones de Bruhat , que especifican de forma única el grupo SL(2, R ): ^{[ 12 ]}

${\displaystyle g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).}$

Se puede verificar mediante cálculo directo que estas relaciones se satisfacen salvo un signo por los operadores correspondientes, lo que establece que el cociclo toma valores ±1.

Existe una explicación más conceptual que utiliza una construcción explícita del grupo metapléctico como una doble cubierta de SL(2, R ). ^{[ 13 ]} SL(2, R ) actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior H. Además, si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle {dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.}$

La función

${\displaystyle m(g,z)=cz+d}$

satisface la relación 1-cociclo

${\displaystyle m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).}$

Para cada g , la función m ( g , z ) no se anula en H y, por lo tanto, tiene dos posibles raíces cuadradas holomorfas. El grupo metapléctico se define como el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.}$

Por definición es una doble cubierta de SL(2, R ) y es conexa. La multiplicación viene dada por

${\displaystyle (g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),}$

dónde

${\displaystyle K(z)=G(hz)H(z).}$

Así, para un elemento g del grupo metapléctico existe una función determinada de forma única m ( g , z ) ^1/2 que satisface la relación de 1-cociclo.

Si${\displaystyle \Im z>0}$, entonces

${\displaystyle f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}}$

se encuentra en L ² y se denomina estado coherente .

Estas funciones se encuentran en una única órbita de SL(2, R ) generada por

${\displaystyle f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

ya que para g en SL(2, R )

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

Más específicamente, si g está en Mp(2, R ) entonces

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

En efecto, si esto se cumple para g y h , también se cumple para su producto. Por otro lado, la fórmula se comprueba fácilmente si g ^t tiene la forma g _i y estos son generadores.

Esto define una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico.

El elemento (1,–1) actúa como una multiplicación por –1 en L ² ( R ), de lo cual se deduce que el cociclo en SL(2, R ) toma solo valores ±1.

Como se explica en Lion & Vergne (1980) , el 2-cociclo en SL(2, R ) asociado con la representación metapléctica, tomando valores ±1, está determinado por el índice de Maslov .

Dados tres vectores no nulos u , v , w en el plano, su índice de Maslov${\displaystyle \tau (u,v,w)}$se define como la signatura de la forma cuadrática en R ³ definida por

${\displaystyle Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).}$

Propiedades del índice de Maslov :

• depende de los subespacios unidimensionales generados por los vectores
• es invariante bajo SL(2, R )
• Es alternante en sus argumentos, es decir, su signo cambia si se intercambian dos de los argumentos.
• desaparece si dos de los subespacios coinciden
• toma los valores –1, 0 y +1: si u y v satisfacen B ( u , v ) = 1 y w = au + bv , entonces el índice de Maslov es cero si ab = 0 y en caso contrario es igual al signo negativo de ab
• ${\displaystyle \displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

Si elegimos un vector distinto de cero u ₀ , se deduce que la función

${\displaystyle \Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})}$

define un 2-cociclo en SL(2, R ) con valores en las octavas raíces de la unidad.

Se puede utilizar una modificación del 2-cociclo para definir un 2-cociclo con valores en ±1 conectado con el cociclo metapléctico. ^{[ 14 ]}

De hecho, dados vectores no nulos u y v en el plano, definimos f ( u , v ) como:

• i veces el signo de B ( u , v ) si u y v no son proporcionales
• el signo de λ si u = λ v .

Si

${\displaystyle b(g)=f(u_{0},gu_{0}),}$

entonces

${\displaystyle \Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.}$

Los representantes π( g ) en la representación metapléctica pueden elegirse de manera que

${\displaystyle \pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)}$

donde el 2-cociclo ω viene dado por

${\displaystyle \omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

con

${\displaystyle \beta (g)^{2}=b(g).}$

El espacio de Fock holomorfo (también conocido como espacio de Segal-Bargmann ) se define como el espacio vectorial${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de funciones holomorfas f ( z ) en C con

${\displaystyle {1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy}$

finito. Tiene producto interno

${\displaystyle (f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un espacio de Hilbert con base ortonormal

${\displaystyle e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.}$

Además, la expansión en serie de potencias de una función holomorfa en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$da su expansión con respecto a esta base. ^{[ 15 ]} Así, para z en C

${\displaystyle |f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},}$

de modo que la evaluación en z da un funcional lineal continuo en${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$De hecho

${\displaystyle f(a)=(f,E_{a})}$

donde ^{[ 16 ]}

${\displaystyle E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

Así, en particular${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor .

Para f en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ y z en C define

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

Entonces

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),}$

Así pues, esto proporciona una representación unitaria de las relaciones de conmutación de Weyl. ^{[ 17 ]} Ahora

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.}$

De ello se deduce que la representación${\displaystyle W_{\mathcal {F}}}$es irreductible.

De hecho, cualquier función ortogonal a todos los E _a debe anularse, de modo que su espacio lineal sea denso en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Si P es una proyección ortogonal que conmuta con W ( z ), sea f = PE _0. Entonces

${\displaystyle f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

La única función holomorfa que satisface esta condición es la función constante. Por lo tanto,

${\displaystyle PE_{0}=\lambda E_{0},}$

con λ = 0 o 1. Dado que E 0 _es cíclico, se deduce que P = 0 o I.

Según el teorema de Stone-von Neumann existe un operador unitario.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$desde L ² ( R ) en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, único salvo multiplicación por un escalar, entrelazando las dos representaciones de las relaciones de conmutación de Weyl. Por el lema de Schur y la construcción de Gelfand-Naimark , el coeficiente matricial de cualquier vector determina el vector salvo un múltiplo escalar. Dado que los coeficientes matriciales de F = E ₀ y f = H ₀ son iguales, se deduce que la unitaria${\displaystyle {\mathcal {U}}}$está determinado de forma única por las propiedades

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.}$

Por lo tanto, para f en L ² ( R )

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

de modo que

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,}$

dónde

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].}$

El operador${\displaystyle {\mathcal {U}}}$se denomina transformada de Segal-Bargmann ^{[ 18 ]} y B se denomina núcleo de Bargmann . ^{[ 19 ]}

El adjunto de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$viene dada por la fórmula:

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.}$

La acción de SU(1,1) en el espacio de Fock holomorfo fue descrita por Bargmann (1970) e Itzykson (1967) .

La doble cubierta metapléctica de SU(1,1) se puede construir explícitamente como pares ( g , γ) con

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha .}$

Si g = g ₁ g ₂ , entonces

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

utilizando la expansión en serie de potencias de (1 + z ) ^1/2 para | z | < 1.

La representación metapléctica es una representación unitaria π( g , γ) de este grupo que satisface las relaciones de covarianza.

${\displaystyle \pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

dónde

${\displaystyle g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , cualquier operador acotado T en él corresponde a un núcleo dado por una serie de potencias de sus dos argumentos. De hecho, si

${\displaystyle K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),}$

y F en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, entonces

${\displaystyle TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

Las relaciones de covarianza y la analiticidad del núcleo implican que para S = π( g , γ),

${\displaystyle K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

para alguna constante C. El cálculo directo muestra que

${\displaystyle C=\gamma ^{-1}}$

conduce a una representación ordinaria de la doble cubierta. ^{[ 20 ]}

Los estados coherentes pueden definirse nuevamente como la órbita de E ₀ bajo el grupo metapléctico.

Para el complejo w , establezca

${\displaystyle F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.}$

Entonces${\displaystyle F_{w}\in {\mathcal {F}}}$si y solo si | w | < 1. En particular _, F0 = 1 = E0 _. Además,

${\displaystyle \pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},}$

dónde

${\displaystyle gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.}$

De manera similar, las funciones zF _w se encuentran en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y forman una órbita del grupo metapléctico:

${\displaystyle \pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).}$

Dado que ( F _w , E ₀ ) = 1, el coeficiente matricial de la función E ₀ = 1 viene dado por ^{[ 21 ]}

${\displaystyle (\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.}$

La representación proyectiva de SL(2, R ) en L ² ( R ) o en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se descomponen como una suma directa de dos representaciones irreducibles, correspondientes a funciones pares e impares de x o z . Las dos representaciones pueden realizarse en espacios de Hilbert de funciones holomorfas en el disco unitario; o, utilizando la transformada de Cayley, en el semiplano superior. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Las funciones pares corresponden a funciones holomorfas F ₊ para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

es finito; y las funciones impares a funciones holomorfas F _– para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy}$

es finito. Las formas polarizadas de estas expresiones definen los productos internos.

La acción del grupo metapléctico viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La irreducibilidad de estas representaciones se establece de manera estándar. ^{[ 24 ]} Cada representación se descompone como una suma directa de autoespacios unidimensionales del grupo de rotación, cada uno de los cuales es generado por un vector C ^∞ para todo el grupo. De ello se deduce que cualquier subespacio invariante cerrado es generado por la suma directa algebraica de los autoespacios que contiene y que esta suma es invariante bajo la acción infinitesimal del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Por otro lado, esa acción es irreductible.

El isomorfismo con funciones pares e impares en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se puede demostrar utilizando la construcción de Gelfand-Naimark, ya que los coeficientes de la matriz asociados a 1 y z en las representaciones correspondientes son proporcionales. Itzykson (1967) dio otro método a partir de los mapas

${\displaystyle U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\displaystyle U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

de las partes pares e impares a funciones en el disco unitario. Estos mapas entrelazan las acciones del grupo metapléctico dado anteriormente y envían z ⁿ a un múltiplo de w ⁿ . Estipulando que U _± debe ser unitario se determinan los productos internos en funciones en el disco, que pueden expresarse en la forma anterior. ^{[ 25 ]}

Aunque en estas representaciones el operador L ₀ tiene espectro positivo —característica que distingue las representaciones de series discretas holomorfas de SU(1,1)—, las representaciones no pertenecen a la serie discreta del grupo metapléctico. De hecho, Kashiwara y Vergne (1978) observaron que los coeficientes de la matriz no son integrables al cuadrado, aunque su tercera potencia sí lo sea. ^{[ 26 ]}

Consideremos el siguiente subespacio de L ² ( R ):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.}$

Los operadores

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}}$

guiarse por${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$X se llama operador de aniquilación e Y operador de creación . Ellos satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Y^{*}\\XY&=D+I&&D=-{d^{2} \over dx^{2}}+x^{2}\\XY-YX&=2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{by induction}}\end{aligned}}}$