Álgebra sigma invariante

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ser un espacio medible y dejar${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ser una función medible . Un subconjunto medible${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$se denomina invariante si y solo si${\displaystyle T^{-1}(S)=S}$. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Equivalentemente, si para cada${\displaystyle x\in X}$, tenemos eso${\displaystyle x\in S}$si y solo si${\displaystyle T(x)\in S}$.

En términos más generales, dejemos${\displaystyle M}$sea ​​un grupo o un monoide , sea${\displaystyle \alpha :M\times X\to X}$sea ​​una acción monoide , y denotemos la acción de${\displaystyle m\in M}$en${\displaystyle X}$por${\displaystyle \alpha _{m}:X\to X}$. Un subconjunto${\displaystyle S\subsetequ X}$es${\displaystyle \alpha }$-invariante si para cada${\displaystyle m\in M}$,${\displaystyle \alpha _{m}^{-1}(S)=S}$.

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ser un espacio medible y dejar${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ser una función medible . Un subconjunto medible (evento)${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$Se denomina invariante casi con seguridad si y solo si su función indicadora${\displaystyle 1_{S}}$es casi con seguridad igual a la función indicadora${\displaystyle 1_{T^{-1}(S)}}$. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 3 ]}

De manera similar, dado un núcleo de Markov que preserva la medida${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}},p)\to (X,{\mathcal {F}},p)}$, lo llamamos evento${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$casi seguramente invariante si y solo si${\displaystyle k(S\mid x)=1_{S}(x)}$para casi todos${\displaystyle x\in X}$.

En cuanto al caso de conjuntos estrictamente invariantes, la definición puede extenderse a una acción de grupo o monoide arbitraria.

En muchos casos, casi con seguridad los conjuntos invariantes difieren de los conjuntos invariantes solo por un conjunto nulo (ver más abajo).

Tanto los conjuntos estrictamente invariantes como los conjuntos casi seguramente invariantes son cerrados al tomar uniones y complementos numerables, y por lo tanto forman sigma-álgebras . Estas sigma-álgebras se denominan habitualmente sigma-álgebra invariante o sigma-álgebra de eventos invariantes , tanto en el caso estricto como en el caso casi seguro, según el autor. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Para los fines de este artículo, denotemos por${\displaystyle {\mathcal {I}}}$el álgebra sigma de conjuntos estrictamente invariantes, y por${\displaystyle {\tilde {\mathcal {I}}}}$el álgebra sigma de conjuntos casi seguramente invariantes.

Dado un espacio medible${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, denotemos por${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$sea ​​la potencia cartesiana contable de${\displaystyle X}$, equipado con el producto sigma-algebra . Podemos ver${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$como el espacio de secuencias infinitas de elementos de${\displaystyle X}$,

${\displaystyle X^{\mathbb {N} }=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ),x_{i}\in X\}.}$

Consideremos ahora el grupo${\displaystyle S_{\infty }}$de permutaciones finitas de${\displaystyle \mathbb {N} }$, es decir, biyecciones${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } tal que${\displaystyle \sigma (n)\neq n}$solo para un número finito de personas${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$Cada permutación finita${\displaystyle \sigma }$actúa de forma medible en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$al permutar los componentes, y así tenemos una acción del grupo contable.${\displaystyle S_{\infty }}$en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$.

Un evento invariante para esta sigma-álgebra se denomina a menudo evento intercambiable o evento simétrico , y la sigma-álgebra de eventos invariantes se denomina a menudo sigma-álgebra intercambiable . Una variable aleatoria en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$es intercambiable (es decir, invariante a permutaciones) si y solo si es medible para el álgebra sigma intercambiable.

El álgebra sigma intercambiable juega un papel en la ley cero-uno de Hewitt-Savage , que puede enunciarse de forma equivalente diciendo que para cada medida de probabilidad${\displaystyle p}$en${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$la medida del producto${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$asigna a cada evento intercambiable una probabilidad de cero o uno. ^{[ 9 ]} De manera equivalente, para la medida${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$, cada variable aleatoria intercambiable en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$es casi seguro constante.

También desempeña un papel en el teorema de De Finetti . ^{[ 9 ]}

Como en el ejemplo anterior, dado un espacio medible${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$Consideremos el producto cartesiano infinitamente numerable.${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$Consideremos ahora el mapa de desplazamientos .${\displaystyle T:X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }}$dado por mapeo${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$a${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$. Un evento invariante para esta sigma-álgebra se llama evento invariante de desplazamiento , y la sigma-álgebra resultante a veces se llama sigma-álgebra invariante de desplazamiento .

Esta sigma-álgebra está relacionada con la de eventos de cola , que viene dada por la siguiente intersección,

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(\bigotimes _{m\geq n}{\mathcal {A}}_{m}\right),}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {A}}_{m}\subseteq {\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} }}$es el álgebra sigma inducida en${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$por la proyección en el${\displaystyle m}$-ésimo componente${\displaystyle \pi _{m}:(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })\to (X,{\mathcal {A}})}$.

Todo evento invariante a los cambios es un evento de cola, pero lo contrario no es cierto.