Subespacio invariante

En matemáticas , un subespacio invariante de una aplicación lineal T  : V → V , es decir, de un espacio vectorial V a sí mismo, es un subespacio W de V que se conserva bajo T. De forma más general, un subespacio invariante para un conjunto de aplicaciones lineales es un subespacio que se conserva bajo cada aplicación individualmente.

Consideremos un espacio vectorial${\displaystyle V}$y un mapa lineal${\displaystyle T:V\to V.}$ Un subespacio${\displaystyle W\subseteq V}$se denomina subespacio invariante para${\displaystyle T}$, o equivalentemente, T -invariante, si T transforma cualquier vector${\displaystyle \mathbf {v} \in W}$de vuelta a W. En fórmulas, esto se puede escribir$${\displaystyle \mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W}$$o ^{[ 1 ]}$${\displaystyle TW\subseteq W{\text{.}}}$$

En este caso, T se restringe a un endomorfismo de W : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T|_{W}:W\to W{\text{;}}\quad T|_{W}(\mathbf {w} )=T(\mathbf {w} ){\text{.}}}$$

La existencia de un subespacio invariante también tiene una formulación matricial . Elija una base C para W y complétela a una base B de V. Con respecto a B , el operador T tiene la forma$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T|_{W}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}}$$para algunos T ₁₂ y T ₂₂ , donde${\displaystyle T|_{W}}$aquí denota la matriz de${\displaystyle T|_{W}}$con respecto a la base C.

Cualquier mapa lineal${\displaystyle T:V\to V}$admite los siguientes subespacios invariantes:

• El espacio vectorial${\displaystyle V}$, porque${\displaystyle T}$mapea cada vector en${\displaystyle V}$en${\displaystyle V.}$
• El conjunto${\displaystyle \{0\}}$, porque${\displaystyle T(0)=0}$.

Estos son, respectivamente, los subespacios invariantes impropios y triviales. Ciertos operadores lineales no tienen un subespacio invariante no trivial propio; por ejemplo, la rotación de un espacio vectorial real bidimensional . Sin embargo, el eje de una rotación en tres dimensiones siempre es un subespacio invariante.

Determinar si un subespacio W dado es invariante bajo T es, aparentemente, un problema de naturaleza geométrica. La representación matricial permite formular este problema algebraicamente.

Escribimos V como la suma directa W ⊕ W ′ ; siempre se puede elegir un   W ′ adecuado extendiendo una base de W . El operador de proyección asociado P sobre W tiene representación matricial

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.}$

Un cálculo sencillo muestra que W es T -invariante si y solo si PTP = TP .

Si 1 es el operador identidad , entonces 1- P es la proyección sobre W ′ . La ecuación TP = PT se cumple si y solo si tanto im( P ) como im(1 − P ) son invariantes bajo T. En ese caso, T tiene representación matricial . $${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\;.}$$

Coloquialmente, una proyección que conmuta con T "diagonaliza " T.

Como indican los ejemplos anteriores, los subespacios invariantes de una transformación lineal T dada arrojan luz sobre la estructura de T. Cuando V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , las transformaciones lineales que actúan sobre V se caracterizan (salvo similitud) por la forma canónica de Jordan , que descompone V en subespacios invariantes de T. Muchas preguntas fundamentales sobre T pueden traducirse en preguntas sobre los subespacios invariantes de T.

El conjunto de subespacios T -invariantes de V se denomina a veces retículo de subespacios invariantes de T y se escribe Lat( T ) . Como su nombre indica, es un retículo ( modular ) , con intersecciones y uniones dadas (respectivamente) por la intersección de conjuntos y el espacio lineal generado . Un elemento mínimo en Lat( T ) se denomina subespacio invariante mínimo .

En el estudio de operadores de dimensión infinita, Lat( T ) a veces se restringe solo a los subespacios invariantes cerrados .

Dada una colección T de operadores , un subespacio se denomina T -invariante si es invariante bajo cada T ∈ T.

Al igual que en el caso de un solo operador, la red de subespacios invariantes de T , escrita Lat( T ) , es el conjunto de todos los subespacios T -invariantes y posee las mismas operaciones de encuentro y unión. Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, es la intersección$${\displaystyle \mathrm {Lat} ({\mathcal {T}})=\bigcap _{T\in {\mathcal {T}}}{\mathrm {Lat} (T)}{\text{.}}}$$

Si A es un álgebra , se puede definir una representación regular izquierda Φ en A : Φ( a ) b = ab es un homomorfismo de A a L ( A ), el álgebra de transformaciones lineales en A.

Los subespacios invariantes de Φ son precisamente los ideales izquierdos de A. Un ideal izquierdo M de A da una subrepresentación de A en M.

Si M es un ideal izquierdo de A , entonces la representación regular izquierda Φ en M ahora desciende a una representación Φ' en el espacio vectorial cociente A / M. Si [ b ] denota una clase de equivalencia en A / M , Φ'( a )[ b ] = [ ab ]. El núcleo de la representación Φ' es el conjunto { a ∈ A | ab ∈ M para todo b }.

La representación Φ' es irreducible si y solo si M es un ideal izquierdo maximal , ya que un subespacio V ⊂ A / M es un invariante bajo {Φ'( a ) | a ∈ A } si y solo si su preimagen bajo el mapa cociente , V + M , es un ideal izquierdo en A .

El problema del subespacio invariante se refiere al caso en que V es un espacio de Hilbert separable sobre los números complejos , de dimensión > 1, y T es un operador acotado . El problema consiste en determinar si todo T de este tipo posee un subespacio invariante, cerrado y no trivial. Este problema aún no se ha resuelto.

En el caso más general en el que se supone que V es un espacio de Banach , Per Enflo (1976) encontró un ejemplo de un operador sin un subespacio invariante. Un ejemplo concreto de un operador sin un subespacio invariante fue producido en 1985 por Charles Read .

Relacionados con los subespacios invariantes están los llamados semiespacios casi invariantes ( AIHS ). Un subespacio cerrado${\displaystyle Y}$de un espacio Banach${\displaystyle X}$Se dice que es casi invariante bajo un operador.${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$si${\displaystyle TY\subseteq Y+E}$para algún subespacio de dimensión finita${\displaystyle E}$; equivalentemente,${\displaystyle Y}$es casi invariante bajo${\displaystyle T}$si existe un operador de rango finito${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}(X)}$de tal manera que${\displaystyle (T+F)Y\subseteq Y}$, es decir si${\displaystyle Y}$es invariante (en el sentido habitual) bajo${\displaystyle T+F}$. En este caso, la dimensión mínima posible de${\displaystyle E}$(o rango de${\displaystyle F}$) se denomina defecto .

Claramente, todo subespacio de dimensión finita y codimensional finita es casi invariante bajo cualquier operador. Por lo tanto, para hacer las cosas no triviales, decimos que${\displaystyle Y}$es un semiespacio siempre que sea un subespacio cerrado con dimensión infinita y codimensión infinita.

El problema AIHS pregunta si cada operador admite un AIHS. En el entorno complejo ya se ha resuelto; es decir, si${\displaystyle X}$es un espacio de Banach complejo de dimensión infinita y${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$entonces${\displaystyle T}$admite un AIHS de defecto como máximo 1. Actualmente se desconoce si lo mismo se cumple si${\displaystyle X}$es un espacio de Banach real. Sin embargo, se han establecido algunos resultados parciales: por ejemplo, cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert real de dimensión infinita admite un AIHS, al igual que cualquier operador estrictamente singular (o compacto) que actúe en un espacio reflexivo real de dimensión infinita.

• Variedad invariante
• Teorema del subespacio invariante de Lomonosov

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). Una invitación a la teoría de operadores . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.
• Beauzamy, Bernard (1988). Introducción a la teoría de operadores y subespacios invariantes . North Holland.
• Enflo, Per ; Lomonosov, Victor (2001). "Algunos aspectos del problema del subespacio invariante". Manual de geometría de espacios de Banach . Vol.  I. Ámsterdam: North-Holland. pp. 533–559 . 
• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2006). Subespacios invariantes de matrices con aplicaciones . Clásicos en matemáticas aplicadas. Vol.  51 (Reimpresión, con lista de erratas y nuevo prefacio, de la  edición de Wiley de 1986). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). pp.  xxii+692. ISBN 978-0-89871-608-5.
• Lyubich, Yurii I. (1988). Introducción a la teoría de las representaciones de Banach de grupos (traducido de la edición en ruso de 1985  ). Járkov, Ucrania: Birkhäuser Verlag.
• Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Subespacios invariantes (Actualización de la  edición de Springer-Verlag de 1973). Dover Publications. ISBN 0-486-42822-2.
• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.