Curva plana cuártica

La curva del signo & es una curva plana cuártica dada por la ecuación:

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Tiene género cero, con tres puntos dobles ordinarios, todos en el plano real. ^{[ 1 ]}

La curva de frijol es una curva plana cuártica con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

La curva de frijol tiene género cero. Tiene una singularidad en el origen, un punto triple ordinario. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La bicúspide es una curva plana cuártica con la ecuación

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

donde a determina el tamaño de la curva. La bicúspide tiene solo las dos cúspides como singularidades y, por lo tanto, es una curva de género uno. ^{[ 4 ]}

La curva de arco es una curva plana cuártica con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,}$

La curva de arco tiene un único punto triple en x = 0, y = 0 y, por consiguiente, es una curva racional, con género cero. ^{[ 5 ]}

La curva cruciforme , o curva en cruz , es una curva plana cuártica dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva. La curva cruciforme está relacionada mediante una transformación cuadrática estándar, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y a la elipse a ² x ² + b ² y ² = 1, y por lo tanto es una curva algebraica plana racional de género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real , en x =0 e y =0, x =0 y z =0, e y =0 y z =0. ^{[ 6 ]}

Debido a que la curva es racional, puede parametrizarse mediante funciones racionales. Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

Parametriza los puntos de la curva fuera de los casos excepcionales en los que un denominador es cero.

El teorema inverso de Pitágoras se obtiene a partir de la ecuación anterior sustituyendo x por AC , y por BC , y cada a y b por CD , donde A , B son los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC , y D es el pie de una perpendicular trazada desde C , el vértice del ángulo recto, a la hipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Las secciones espiricas se definen como curvas cuárticas bicirculares simétricas respecto a los ejes x e y . Pertenecen a la familia de las secciones tóricas e incluyen la familia de los hipopedeos y la de los óvalos de Cassini . Su nombre proviene de σπειρα, que significa toroide en griego antiguo.

La ecuación cartesiana se puede escribir como

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

y la ecuación en coordenadas polares como

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

El trébol de tres hojas o trifolium ^{[ 7 ]} es la curva plana cuártica.

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Al despejar y , la curva se puede describir mediante la siguiente función:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

donde las dos apariciones de ± son independientes entre sí, dando hasta cuatro valores distintos de y para cada x .

La ecuación paramétrica de la curva es

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$^{[ 8 ]}

En coordenadas polares ( x = r  cos  φ, y = r  sin  φ) la ecuación es

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

Es un caso especial de curva rosa con k =  3. Esta curva tiene un punto triple en el origen (0,  0) y tiene tres tangentes dobles.