Integración por sustitución

En cálculo , la integración por sustitución , también conocida como u -sustitución , regla de la cadena inversa o cambio de variables , ^{[ 1 ]} es un método para evaluar integrales y antiderivadas . Es el equivalente a la regla de la cadena para la diferenciación , y puede considerarse, en términos generales, como el uso de la regla de la cadena "hacia atrás". Esto implica formas diferenciales .

Sustitución de una sola variable

Introducción (integrales indefinidas)

Antes de enunciar el resultado rigurosamente , consideremos un caso simple utilizando integrales indefinidas .

Calcular ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$ ^{[ 2 ]}

Colocar $u=2x^{3}+1.$ Esto significa ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ o como una forma diferencial , ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$ Ahora considere ${\textstyle \int u^{7}du.}$ :

 ${\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx\\={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}$

dónde $C$ es una constante de integración arbitraria .

Este procedimiento se utiliza con frecuencia, pero no todas las integrales tienen una forma que permita su uso. En cualquier caso, el resultado debe verificarse derivando y comparándolo con el integrando original. ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).\end{aligned}}$ Para las integrales definidas, también hay que ajustar los límites de integración, pero el procedimiento es prácticamente el mismo.

Enunciado para integrales definidas

Dejar $g:[a,b]\to I$ sea una función diferenciable con derivada continua , donde $I\subset \mathbb {R}$ es un intervalo . Supongamos que $f:I\to \mathbb {R}$ es una función continua . Entonces: ^{[ 3 ]} $\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.$

En la notación de Leibniz, la sustitución $u=g(x)$ rendimientos: ${\frac {du}{dx}}=g'(x).$ Trabajando heurísticamente con infinitesimales se obtiene la ecuación $du=g'(x)\,dx,$ lo que sugiere la fórmula de sustitución anterior. (Esta ecuación puede fundamentarse rigurosamente interpretándola como una afirmación sobre formas diferenciales ). El método de integración por sustitución puede considerarse una justificación parcial de la notación de Leibniz para integrales y derivadas.

La fórmula se utiliza para transformar una integral en otra más fácil de calcular. Por lo tanto, la fórmula se puede leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda para simplificar una integral dada. Cuando se utiliza de la primera manera, a veces se la conoce como sustitución u o sustitución w, en la que se define una nueva variable como una función de la variable original que se encuentra dentro de la función compuesta multiplicada por la derivada de la función interna. La segunda manera se usa comúnmente en la sustitución trigonométrica , reemplazando la variable original por una función trigonométrica de una nueva variable y el diferencial original por el diferencial de la función trigonométrica.

Prueba

La integración por sustitución se puede derivar del teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera. Sea $f$ y $g$ sean dos funciones que satisfagan la hipótesis anterior que $f$ es continuo en $I$ y $g'$ es integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Luego la función $f(g(x))\cdot g'(x)$ También es integrable en $[a,b]$ . Por lo tanto, las integrales $\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx$ y $\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du$ De hecho existen, y queda por demostrar que son iguales.

Desde $f$ es continuo, tiene un antiderivado $F$ . La función compuesta $F\circ g$ entonces se define. Dado que $g$ es diferenciable, combinando la regla de la cadena y la definición de una antiderivada se obtiene: $(F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces se obtiene: ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}F'(u)\,du=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$ que es la regla de sustitución.

Ejemplos: Antiderivadas (integrales indefinidas)

La sustitución se puede utilizar para determinar antiderivados . Se elige una relación entre $x$ y $u,$ determina la relación correspondiente entre $dx$ y $du$ mediante la diferenciación, y realiza las sustituciones. Con suerte, se puede determinar una antiderivada para la función sustituida; la sustitución original entre $x$ y $u$ Luego se deshace.

Ejemplo 1

Consideremos la integral: $\int x\cos(x^{2}+1)\ dx.$ Realizar la sustitución ${\textstyle u=x^{2}+1}$ para obtener $du=2x\ dx,$ significado ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Por lo tanto: ${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}$ dónde $C$ es una constante de integración arbitraria .

Ejemplo 2: Antiderivadas de la tangente y la cotangente

La función tangente se puede integrar mediante sustitución expresándola en términos del seno y el coseno: $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ .

Utilizando la sustitución $u=\cos x$ da $du=-\sin x\,dx$ y ${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}$

La función cotangente se puede integrar de manera similar expresándola como $\cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}$ y utilizando la sustitución $u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx$ : ${\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}$

Ejemplos: Integrales definidas

Al evaluar integrales definidas mediante sustitución, se puede calcular primero la antiderivada completa y luego aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, no es necesario transformar los términos de contorno. Alternativamente, se puede evaluar primero la integral indefinida completa ( véase más arriba ) y luego aplicar las condiciones de contorno. Esto resulta especialmente útil cuando se utilizan múltiples sustituciones.

Ejemplo 1

Consideremos la integral: $\int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.$ Realizar la sustitución ${\textstyle u=x^{2}+1}$ para obtener $du=2x\ dx,$ significado ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Por lo tanto: ${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}$ Dado que el límite inferior $x=0$ fue reemplazado por $u=1,$ y el límite superior $x=2$ con $2^{2}+1=5,$ una transformación de vuelta a los términos de $x$ No era necesario.

Ejemplo 2: Sustitución trigonométrica

Para la integral $\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,$ Se necesita una variación del procedimiento anterior. La sustitución $x=\sin u$ reticente $dx=\cos u\,du$ es útil porque ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$ Por lo tanto, tenemos: ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

La integral resultante se puede calcular utilizando la integración por partes o una fórmula de ángulo doble . ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ seguido de una sustitución más. También se puede observar que la función que se integra es el cuarto superior derecho de un círculo con radio uno, y por lo tanto, integrar el cuarto superior derecho de cero a uno es el equivalente geométrico al área de un cuarto del círculo unitario, o ${\tfrac {\pi }{4}}.$

Sustitución de múltiples variables

También se puede utilizar la sustitución al integrar funciones de varias variables .

Aquí, la función de sustitución $(v 1,..., v n) = φ (u 1, ..., u n)$ debe ser inyectiva y continuamente diferenciable, y los diferenciales se transforman como: $dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},$ donde $det(Dφ)(u 1, ..., u n)$ denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de $φ$ en el punto $(u 1, ..., u n)$ . Esta fórmula expresa el hecho de que el valor absoluto del determinante de una matriz es igual al volumen del paralelepípedo formado por sus columnas o filas.

Más precisamente, la fórmula de cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema:

Teorema — Sea $U$ un conjunto abierto en $R n$ y $φ : U \to R n$ una función inyectiva diferenciable con derivadas parciales continuas, cuyo jacobiano es distinto de cero para todo $x$ en $U$ . Entonces, para cualquier función continua, de valores reales y soporte compacto $f$ , con soporte contenido en $φ (U)$ : $\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$

Las condiciones del teorema pueden debilitarse de diversas maneras. En primer lugar, el requisito de que $φ$ sea continuamente diferenciable puede sustituirse por la suposición más débil de que $φ$ sea simplemente diferenciable y tenga una inversa continua. ^{[ 4 ]} Esto se garantiza si $φ$ es continuamente diferenciable según el teorema de la función inversa . Alternativamente, el requisito de que $det(Dφ) \neq 0$ puede eliminarse aplicando el teorema de Sard . ^{[ 5 ]}

Para funciones medibles de Lebesgue, el teorema se puede enunciar de la siguiente forma: ^{[ 6 ]}

Teorema — Sea $U$ un subconjunto medible de $R n$ y $φ : U \to R n$ una función inyectiva , y supongamos que para cada $x$ en $U$ existe $φ' (x)$ en $R n, n$ tal que $φ (y) = φ (x) + φ' (x)(y - x) + o (‖ y - x ‖)$ cuando $y \to x$ (aquí $o$ es la notación de o minúscula ). Entonces $φ (U)$ es medible, y para cualquier función de valor real $f$ definida en $φ (U)$ : $\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du$ en el sentido de que si existe cualquiera de las integrales (incluida la posibilidad de que sea propiamente infinita), entonces también existe la otra, y tienen el mismo valor.

Otra versión muy general en la teoría de la medida es la siguiente: ^{[ 7 ]}

Teorema — Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto equipado con una medida de Radon finita $μ$ , y sea $Y$ un espacio de Hausdorff σ-compacto con una medida de Radon $ρ$ σ -finita . Sea $φ$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ una función absolutamente continua (donde esto último significa que $ρ$ $($ $φ$ $($ $E$ $)) = 0$ siempre que $μ$ $($ $E$ $) = 0$ ). Entonces existe una función medible de Borel de valor real $w$ en $X$ tal que para toda función integrable de Lebesgue $f$ $:$ $Y$ $\to$ $R$ , la función $($ $f$ $\circ$ $φ$ $) \cdot$ $w$ es integrable de Lebesgue en $X$ , y $\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).$ Además, es posible escribir $w(x)=(g\circ \varphi )(x)$ para alguna función medible de Borel $g$ en $Y.$

En la teoría geométrica de la medida , la integración por sustitución se utiliza con funciones de Lipschitz . Una función bi-Lipschitz es una función de Lipschitz $φ : U \to R n$ que es inyectiva y cuya función inversa $φ - 1 : φ (U) \to U$ también es de Lipschitz. Según el teorema de Rademacher , una aplicación bi-Lipschitz es diferenciable casi en todas partes . En particular, el determinante jacobiano de una aplicación bi-Lipschitz $det Dφ$ está bien definido casi en todas partes. Por lo tanto, se cumple el siguiente resultado:

Teorema — Sea $U$ un subconjunto abierto de $R n$ y $φ : U \to R n$ una aplicación bi-Lipschitz. Sea $f : φ (U) \to R$ una función medible. Entonces $\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)\left|\det D\varphi (x)\right|\,dx$ en el sentido de que si una de las integrales existe (o es propiamente infinita), entonces la otra también existe y tienen el mismo valor.

El teorema anterior fue propuesto por primera vez por Euler cuando desarrolló la noción de integrales dobles en 1769. Aunque Lagrange lo generalizó a integrales triples en 1773, y fue utilizado por Legendre , Laplace y Gauss , y Mikhail Ostrogradsky lo generalizó por primera vez a $n$ variables en 1836, resistió una demostración formal completamente rigurosa durante un tiempo sorprendentemente largo, y fue resuelto satisfactoriamente por primera vez 125 años después, por Élie Cartan en una serie de artículos que comenzaron a mediados de la década de 1890. ^[⁸^]^[⁹^]

Aplicación en probabilidad

La sustitución se puede utilizar para responder a la siguiente pregunta importante en probabilidad: dada una variable aleatoria $X$ con densidad de probabilidad $p X$ y otra variable aleatoria $Y$ tal que $Y = ϕ (X)$ para ϕ inyectiva (uno a uno) $,$ $¿$ cuál es la densidad de probabilidad para $Y$ ?

La forma más sencilla de responder a esta pregunta es respondiendo primero a una pregunta ligeramente diferente: ¿cuál es la probabilidad de que $Y$ tome un valor en algún subconjunto particular $S$ ? Denotemos esta probabilidad como $P (Y \in S).$ Por supuesto, si $Y$ tiene una densidad de probabilidad $p Y$ , entonces la respuesta es: $P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$ pero esto no es realmente útil porque no conocemos $p Y;$ es lo que estamos tratando de encontrar . Podemos avanzar considerando el problema en la variable $X.$ $Y$ toma un valor en $S$ siempre que $X$ toma un valor en ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$ entonces: $P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$

Al cambiar la variable $x$ por $y$ se obtiene: $P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$ Combinando esto con nuestra primera ecuación obtenemos: $\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$ entonces: $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

En el caso en que $X$ e $Y$ dependen de varias variables no correlacionadas (es decir, ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ y $y=\phi (x)$ ), $p_{Y}$ Se puede encontrar mediante la sustitución de varias variables mencionadas anteriormente. El resultado es: $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$

Véase también

Notas

↑ Swokowski 1983 , pág. 257
↑ Swokowski 1983 , pág. 258
↑ Briggs y Cochran 2011 , pág. 361
↑ Rudin 1987 , Teorema 7.26
↑ Spivak 1965 , pág. 72
↑ Fremlin 2010 , Teorema 263D
↑ Hewitt y Stromberg 1965 , Teorema 20.3
↑ Katz 1982
↑ Ferzola 1994

Referencias

Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Cálculo: Primeros trascendentales ( edición de una variable), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler y diferenciales" , The College Mathematics Journal , 25 (2): 102– 111, doi : 10.2307/2687130 , JSTOR 2687130 , archivado del original el 7 de noviembre de 2012 , recuperado el 24 de diciembre de 2008.
Fremlin, DH (2010), Teoría de la medida, Volumen 2 , Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
Katz, Victor J. (1982), "Cambio de variables en integrales múltiples: de Euler a Cartan", Mathematics Magazine , 55 (1): 3–11 , doi : 10.2307/2689856 , JSTOR 2689856
Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica ( edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Spivak, Michael (1965), Cálculo en variedades , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

Enlaces externos

Integración por sustitución en la Enciclopedia de Matemáticas
Fórmula del área en la Enciclopedia de Matemáticas

[1] Swokowski 1983 , pág. 257

[2] Swokowski 1983 , pág. 258

[3] Briggs y Cochran 2011 , pág. 361

[4] Rudin 1987 , Teorema 7.26

[5] Spivak 1965 , pág. 72

[6] Fremlin 2010 , Teorema 263D

[7] Hewitt y Stromberg 1965 , Teorema 20.3

[8] Katz 1982

[9] Ferzola 1994

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Sustitución de una sola variable

Introducción (integrales indefinidas)

Enunciado para integrales definidas

Prueba

Ejemplos: Antiderivadas (integrales indefinidas)

Ejemplo 1

Ejemplo 2: Antiderivadas de la tangente y la cotangente

Ejemplos: Integrales definidas

Ejemplo 1

Ejemplo 2: Sustitución trigonométrica

Sustitución de múltiples variables

Aplicación en probabilidad

Véase también

Notas

Referencias

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