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Articulo de referencia

Distribución gaussiana inversa

\\textstyle \\operatorname{IG}\\left(\\mu, \\lambda\\right) "},"parameters":{"wt":" \\textstyle \\mu > 0 \\lambda > 0 "},"support":{"wt":" \\textstyle x \\in (0,\\infty) "},"pdf...

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En teoría de la probabilidad , la distribución gaussiana inversa (también conocida como distribución de Wald ) es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con soporte en ⁠(0,∞){\displaystyle (0,\infty )}⁠ .

Su función de densidad de probabilidad viene dada por

F(incógnita;μ,λ)=λ2πincógnita3exp⁡(−λ(incógnita−μ)22μ2incógnita){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}

para​incógnita>0{\displaystyle x>0}, dondeμ>0{\displaystyle \mu >0}es la media yλ>0{\displaystyle \lambda >0}es un parámetro de forma . [ 1 ] Cualquiera ⁠μ{\displaystyle \mu }o​​λ{\displaystyle \lambda }⁠ (o, más generalmente, cualquier combinación de la formaμpagλ1−pag{\displaystyle \mu ^{p}\lambda ^{1-p}}para cualquier real ⁠pag{\displaystyle p}⁠ ) ​​puede servir como parámetro de escala , por lo que un parámetro de forma adecuado (es decir, sin escalar) sería cualquier potencia distinta de cero de ⁠φ=λ/μ{\displaystyle \varphi =\lambda /\mu }: Tweedie propuso utilizar el(μ,φ){\displaystyle (\mu,\varphi)}y​​(φ,λ){\displaystyle (\varphi,\lambda)}⁠ parametrizaciones adicionales a las estándar ⁠(μ,λ){\displaystyle (\mu,\lambda)}⁠ parametrización (“Cada una de estas formas es conveniente o sugerente para algún propósito.” [ 2 ] ), y más adelante utiliza exclusivamente la ⁠(φ,λ){\displaystyle (\varphi,\lambda)}parametrización . [ 3 ]

La distribución gaussiana inversa posee varias propiedades análogas a la distribución gaussiana . Su nombre puede resultar engañoso: es inversa únicamente en el sentido de que, mientras que la gaussiana describe el nivel de un movimiento browniano en un instante fijo, la gaussiana inversa describe la distribución del tiempo que tarda un movimiento browniano con deriva positiva en alcanzar un nivel positivo fijo. Por lo tanto, la relación entre las distribuciones gaussiana e inversa es la misma que la relación entre las distribuciones binomial (número de éxitos para un número fijo de ensayos de Bernoulli ) y binomial negativa (número de ensayos de Bernoulli para un número fijo de éxitos). [ 4 ]

Las reflexiones sobre el eje y de las funciones generadoras de cumulantes de las distribuciones gaussiana e inversa gaussiana son inversas entre sí (es decir, las gráficas de las dos funciones generadoras de cumulantes son reflexiones una de la otra a través de la línea ⁠y=−incógnita{\displaystyle y=-x}⁠ ), una propiedad que también comparten las distribuciones binomial y binomial negativa (después de dividir sus funciones generadoras de cumulantes por su respectivo parámetro fijo). [ 4 ]

Para indicar que una variable aleatoriaincógnita{\displaystyle X}⁠ tiene una distribución gaussiana inversa con media ⁠μ{\displaystyle \mu }y parámetro de formaλ{\displaystyle \lambda }⁠ escribimos ⁠incógnita∼Instagram⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}⁠ .

Propiedades

Formulario de un solo parámetro

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución gaussiana inversa tiene una forma de parámetro único dada por

F(incógnita;μ,μ2)=μ2πincógnita3exp⁡(−(incógnita−μ)22incógnita).{\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

En esta forma, la media y la varianza de la distribución son iguales ,mi[incógnita]=Var⁡(incógnita){\displaystyle \mathbb {E} [X]=\operatorname {Var} (X)}⁠ .

Además, la función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución gaussiana inversa de un solo parámetro está relacionada con la distribución normal estándar mediante

Pr(incógnita<incógnita)=Φ(−z1)+mi2μΦ(−z2),{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{aligned}}}

donde​z1=μincógnita1/2−incógnita1/2{\displaystyle z_{1}={\frac {\mu}{x^{1/2}}}-x^{1/2}},​​z2=μincógnita1/2+incógnita1/2{\displaystyle z_{2}={\frac {\mu}{x^{1/2}}}+x^{1/2}}⁠ , y elΦ{\displaystyle \Phi }es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. Las variablesz1{\displaystyle z_{1}}yz2{\displaystyle z_{2}}están relacionados entre sí por la identidadz22=z12+4μ{\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu}⁠ .

En su forma de un solo parámetro, la MGF se simplifica a

METRO(t)=exp⁡[μ(1−1−2t)].{\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}

Una distribución gaussiana inversa en forma de doble parámetroF(incógnita;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}puede transformarse en un formato de un solo parámetroF(y;μ0,μ02){\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}mediante el escalado apropiadoy=μ2incógnitaλ{\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }}}, donde​μ0=μ3/λ{\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda }⁠ .

El párrafo anterior se puede reescribir como: siY=λincógnita/μ2<{\displaystyle Y=\lambda X/\mu ^{2}<}⁠ , entonces ⁠Y∼Instagram⁡(λ/μ,(λ/μ)2){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (\lambda /\mu ,(\lambda /\mu )^{2})}⁠ [ 5 ] . Este enfoque es mejor en el sentido de que muestra claramente la naturaleza adimensional de la forma de un solo parámetro (nótese que ⁠oscuro⁡λ=oscuro⁡μ=oscuro⁡incógnita{\displaystyle \dim \lambda =\dim \mu =\dim x}) . Esta propiedad se deriva de un hecho más general: sia>0{\displaystyle a>0}y​Y=aincógnita{\displaystyle Y=aX}⁠ , entonces ⁠Y∼Instagram⁡(aμ,aλ){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (a\mu,a\lambda)}⁠ [ 2 ] .

La forma estándar de la distribución gaussiana inversa es

F(incógnita;1,1)=12πincógnita3exp⁡(−(incógnita−1)22incógnita).{\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

Suma

Si​incógnitai{\displaystyle X_{i}}tiene unInstagram⁡(μ0wi,λ0wi2){\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _ {0}w_ {i}, \ lambda _ {0}w_ {i}^{2})}distribución parai=1,2,…,norte{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}y todos​incógnitai{\displaystyle X_{i}}son independientes, entonces

S=∑i=1norteincógnitai∼Instagram⁡(μ0∑wi,λ0(∑wi)2).{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}

El caso especialwi=1/norte{\displaystyle w_{i}=1/n}muestra que la distribución gaussiana inversa es infinitamente divisible .

Tenga en cuenta que

Var⁡(incógnitai)mi⁡(incógnitai)=μ02wi2λ0wi2=μ02λ0{\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _ {0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}

es constante para todosi{\displaystyle i}⁠ . Esta es una condición necesaria para la suma. De lo contrario ⁠S{\displaystyle S}No tendría una distribución gaussiana inversa.

Escalada

Para cualquier ⁠t>0{\displaystyle t>0}⁠ sostiene que

incógnita∼Instagram⁡(μ,λ)⇒tincógnita∼Instagram⁡(tμ,tλ).{\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}

Familia exponencial

La distribución gaussiana inversa es una familia exponencial de dos parámetros con parámetros naturales ⁠−λ/(2μ2){\displaystyle -\lambda /(2\mu ^{2})}y​​−λ/2{\displaystyle -\lambda /2}y estadística natural ​incógnita{\displaystyle X}y​​ 1/incógnita{\displaystyle 1/X}⁠ .

Paraλ>0{\displaystyle \lambda >0}fija, también es una distribución de la familia exponencial natural de un solo parámetro [ 6 ] donde la distribución base tiene densidad

h(incógnita)=λ2πincógnita3exp⁡(−λ2incógnita)1[0,∞)(incógnita).{\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

De hecho, conθ≤0{\displaystyle \theta \leq 0}⁠ ,

pag(incógnita;θ)=exp⁡(θincógnita)h(incógnita)∫exp⁡(θy)h(y)dy{\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}

es una densidad sobre los números reales. Evaluando la integral, obtenemos

pag(incógnita;θ)=λ2πincógnita3exp⁡(−λ2incógnita+θincógnita−−2λθ)1[0,∞)(incógnita).{\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

Sustituyendoθ=−λ/(2μ2){\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})}hace que la expresión anterior sea igual aF(incógnita;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}⁠ .

Relación con el movimiento browniano

Example of stopped random walks with ⁠α=1,ν=0.1,σ=0.2{\displaystyle \alpha =1,\nu =0.1,\sigma =0.2}⁠. The upper figure shows the histogram of waiting times, along with the prediction according to inverse gaussian distribution. The lower figure shows the trajectories.

Let the stochastic process⁠Xt{\displaystyle X_{t}}⁠ be given by

X0=0{\displaystyle X_{0}=0\quad }
Xt=νt+σWt{\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }

where ⁠Wt{\displaystyle W_{t}}⁠ is a standard Brownian motion. That is, ⁠Xt{\displaystyle X_{t}}⁠ is a Brownian motion with drift ⁠ν>0{\displaystyle \nu >0}⁠.

Then the first passage time for a fixed level α>0{\displaystyle \alpha >0} by ⁠Xt{\displaystyle X_{t}}⁠ is distributed according to an inverse-Gaussian:

Tα=inf{t>0∣Xt=α}∼IG⁡(αν,(ασ)2)=ασ2πx3exp⁡(−(α−νx)22σ2x){\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}

i.e

P(Tα∈(T,T+dT))=ασ2πT3exp⁡(−(α−νT)22σ2T)dT{\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}

(cf. Schrödinger[7] equation 19, Smoluchowski[8], equation 8, and Folks[5], equation 1).

When drift is zero

A common special case of the above arises when the Brownian motion has no drift. In that case, parameter ⁠μ{\displaystyle \mu }⁠ tends to infinity, and the first passage time for fixed level ⁠α{\displaystyle \alpha }⁠ has probability density function

f(x;0,(ασ)2)=ασ2πx3exp⁡(−α22σ2x){\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}

(see also Bachelier[9]:74[10]:39). This is a Lévy distribution with parameters c=(ασ)2{\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}} and ⁠μ=0{\displaystyle \mu =0}⁠.

Maximum likelihood

The model where

Xi∼IG⁡(μ,λwi),i=1,2,…,n{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}

with all ⁠wi{\displaystyle w_{i}}⁠ known, ⁠(μ,λ){\displaystyle (\mu ,\lambda )}⁠ unknown and all ⁠Xi{\displaystyle X_{i}}⁠independent has the following likelihood function:

L(μ,λ)=(λ2π)n2(∏i=1nwiXi3)12exp⁡(λμ∑i=1nwi−λ2μ2∑i=1nwiXi−λ2∑i=1nwi1Xi).{\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}

Solving the likelihood equation yields the following maximum likelihood estimates

μ^=∑i=1nwiXi∑i=1nwi,1λ^=1n∑i=1nwi(1Xi−1μ^).{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}

μ^{\displaystyle {\widehat {\mu }}} and λ^{\displaystyle {\widehat {\lambda }}} are independent and

μ^∼IG⁡(μ,λ∑i=1nwi),nλ^∼1λχn−12.{\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}

Sampling from an inverse-Gaussian distribution

The following algorithm may be used.[11]

Generate a random variate from a normal distribution with mean ⁠0{\displaystyle 0}⁠ and standard deviation equal ⁠1{\displaystyle 1}⁠

ν∼N(0,1).{\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}

Square the value

y=ν2{\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}

and use the relation

x=μ+μ2y2λ−μ2λ4μλy+μ2y2.{\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}

Generate another random variate, this time sampled from a uniform distribution between ⁠0{\displaystyle 0}⁠ and ⁠1{\displaystyle 1}⁠

z∼U(0,1).{\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}

If z≤μμ+x{\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}} then return x{\displaystyle \displaystyle x} else return μ2x.{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}

Sample code in Java:

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand . nextGaussian (); // Muestreo de una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1 double y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ); double test = rand . nextDouble (); // Muestreo de una distribución uniforme entre 0 y 1 if ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }
Distribución de Wald usando Python con la ayuda de matplotlib y NumPy.

Y para graficar la distribución de Wald en Python usando matplotlib y NumPy :

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as nph = plt.hist ( np.random.wald ( 3 , 2 , 100000 ) , bins = 200 , density = True )​​​​​plt.show ( )​
  • Si​incógnita∼Instagram⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}⁠ , entonces ⁠kincógnita∼Instagram⁡(kμ,kλ){\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}para cualquier númerok>0{\displaystyle k>0}⁠ . [ 1 ]
  • Siincógnitai∼Instagram⁡(μ,λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}entonces​1{\displaystyle {1}}⁠ .
  • Siincógnitai∼Instagram⁡(μ,λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}parai=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,n}entonces​incógnita¯∼Instagram⁡(μ,norteλ){\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )}⁠ .
  • Siincógnitai∼Instagram⁡(μi,2μi2){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})}entonces​∑i=1norteincógnitai∼Instagram⁡(∑i=1norteμi,2(∑i=1norteμi)2){\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)}⁠ .
  • Si​incógnita∼Instagram⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}⁠ , entonces ⁠λ(incógnita−μ)2/μ2incógnita∼χ2(1){\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}⁠ . [ 12 ]

La convolución de una distribución gaussiana inversa (una distribución de Wald) y una exponencial (una distribución ex-Wald) se utiliza como modelo para tiempos de respuesta en psicología, [ 13 ] siendo la búsqueda visual un ejemplo. [ 14 ]

Historia

Esta distribución parece haber sido derivada por primera vez en 1900 por Louis Bachelier [ 9 ] [ 10 ] como el tiempo en que una acción alcanza un precio determinado por primera vez. En 1915 fue utilizada independientemente por Erwin Schrödinger [ 7 ] y Marian v. Smoluchowski [ 8 ] como el tiempo hasta el primer paso de un movimiento browniano. En el campo del modelado de reproducción se la conoce como la función de Hadwiger, en honor a Hugo Hadwiger , quien la describió en 1940. [ 15 ] Abraham Wald volvió a derivar esta distribución en 1944 [ 16 ] como la forma límite de una muestra en una prueba de razón de probabilidad secuencial. El nombre de gaussiana inversa fue propuesto por Maurice Tweedie en 1945. [ 4 ] Tweedie investigó esta distribución en 1956 [ 17 ] y 1957 [ 2 ] [ 3 ] y estableció algunas de sus propiedades estadísticas. La distribución fue revisada exhaustivamente por Folks y Chhikara en 1978. [ 5 ]

Distribución gaussiana inversa calificada

Suponiendo que los intervalos de tiempo entre ocurrencias de un fenómeno aleatorio siguen una distribución gaussiana inversa, la distribución de probabilidad para el número de ocurrencias de este evento dentro de una ventana de tiempo específica se denomina gaussiana inversa ponderada . [ 18 ] Si bien se calculan el primer y el segundo momento de esta distribución, la derivación de la función generadora de momentos sigue siendo un problema abierto.

Computación numérica y software

A pesar de la fórmula simple para la función de densidad de probabilidad, los cálculos de probabilidad numérica para la distribución gaussiana inversa requieren especial cuidado para lograr una precisión de máquina completa en aritmética de punto flotante para todos los valores de los parámetros. [ 19 ] Varias funciones para la distribución gaussiana inversa están disponibles para el lenguaje de programación R mediante varios paquetes, incluidos rmutil, [ 20 ] [ 21 ] SuppDists, [ 22 ] STAR, [ 23 ] invGauss, [ 24 ] LaplacesDemon, [ 25 ] y statmod. [ 26 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Chhikara, Raj S.; Folks, J. Leroy (1989), La distribución gaussiana inversa: teoría, metodología y aplicaciones , Nueva York, NY, EE. UU.: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-7997-5
  2. 1 2 3 Tweedie, MCK (1957). "Propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas I" . Anales de estadística matemática . 28 (2): 362– 377. doi : 10.1214/aoms/1177706964 . JSTOR 2237158 . 
  3. 1 2 Tweedie, MCK (1957). "Propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas II" . Anales de estadística matemática . 28 (3): 696– 705. doi : 10.1214/aoms/1177706881 . JSTOR 2237229 . 
  4. 1 2 3 Tweedie, MCK (1945). "Variables estadísticas inversas" . Nature . 155 (3937): 453. Bibcode : 1945Natur.155..453T . doi : 10.1038/155453a0 . S2CID 4113244 . 
  5. 1 2 3 Folks, J. Leroy; Chhikara, Raj S. (1978), "La distribución gaussiana inversa y su aplicación estadística: una revisión", Journal of the Royal Statistical Society , Serie B (Metodológica), 40 (3): 263– 275, doi : 10.1111/j.2517-6161.1978.tb01039.x , JSTOR 2984691 , S2CID 125337421  
  6. ↑ Seshadri, V. (1999), La distribución gaussiana inversa , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98618-0
  7. ^ Schrödinger , Erwin (1915), "Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung" [ Sobre la teoría de los experimentos de caída y ascenso de partículas con movimiento browniano ] , Physikalische Zeitschrift (en alemán), 16 (16): 289– 295
  8. ^ Smoluchowski, Marian (1915), "Notiz über die Berechnung der Brownschen Molekularbewegung bei der Ehrenhaft-Millikanschen Versuchsanordnung" [ Nota sobre el cálculo del movimiento molecular browniano en el entorno experimental de Ehrenhaft-Millikan ] , Physikalische Zeitschrift (en alemán), 16 ( 17/18): 318-321
  9. ^ Bachelier , Louis (1900), "Théorie de la spéculation" [ La teoría de la especulación ] (PDF) , Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. (en francés), Serie 3, 17: 21– 89, doi : 10.24033/asens.476
  10. 1 2 Bachelier, Louis (1900), "La teoría de la especulación" , Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. , Serie 3, 17: 21–89 (traducción al inglés de David R. May, 2011), doi : 10.24033/asens.476
  11. ↑ Michael, John R.; Schucany, William R.; Haas, Roy W. (1976), "Generación de variables aleatorias mediante transformaciones con múltiples raíces", The American Statistician , 30 (2): 88–90 , doi : 10.1080/00031305.1976.10479147 , JSTOR 2683801 
  12. ↑ Shuster, J. (1968). "Sobre la función de distribución gaussiana inversa". Journal of the American Statistical Association . 63 (4): 1514– 1516. doi : 10.1080/01621459.1968.10480942 .
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  15. ^ Hadwiger, H. (1940). "Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten". Skandinavisk Aktuarietidskrijt . 7 ( 3– 4): 101– 113. doi : 10.1080/03461238.1940.10404802 .
  16. ↑ Wald, Abraham (1944), "Sobre sumas acumulativas de variables aleatorias", Annals of Mathematical Statistics , 15 (3): 283–296 , doi : 10.1214/aoms/1177731235 , JSTOR 2236250 
  17. ↑ Tweedie, MCK (1956). "Algunas propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas". Virginia Journal of Science . Nueva serie. 7 (3): 160– 165.
  18. ↑ Capacidad por unidad de costo que logra la distribución de entrada de la neurona biológica gaussiana inversa nominal M Nasiraee, HM Kordy, J Kazemitabar IEEE Transactions on Communications 70 (6), 3788-3803
  19. ↑ Giner, Göknur; Smyth, Gordon (agosto de 2016). "statmod: Cálculos de probabilidad para la distribución gaussiana inversa" . The R Journal . 8 (1): 339– 351. arXiv : 1603.06687 . doi : 10.32614/RJ-2016-024 .
  20. ↑ Lindsey, James (2013-09-09). "rmutil: Utilidades para modelos de regresión no lineal y de mediciones repetidas" .
  21. ↑ Swihart, Bruce; Lindsey, James (2019-03-04). "rmutil: Utilidades para modelos de regresión no lineal y de mediciones repetidas" .
  22. ↑ Wheeler, Robert (23-09-2016). "SuppDists: Distribuciones suplementarias" .
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  26. ↑Giner, Göknur; Smyth, Gordon (2017-06-18). "statmod: Statistical Modeling".

Further reading

  • Høyland, Arnljot; Rausand, Marvin (1994). System Reliability Theory. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3.
  • Seshadri, V. (1993). The Inverse Gaussian Distribution. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852243-0.
  • Inverse Gaussian Distribution in Wolfram website.