Funciones hiperbólicas inversas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas inversas son inversas de las funciones hiperbólicas , análogas a las funciones circulares inversas . Hay seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa y cotangente hiperbólica inversa. Se suelen denotar con los símbolos de las funciones hiperbólicas, precedidos de arc- o ar- o con un superíndice (por ejemplo , arcsinh , arsinh o ). ${\displaystyle {-1}}$${\displaystyle \sinh ^{-1}}$

Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa proporciona la medida del ángulo hiperbólico correspondiente , por ejemplo , y La medida del ángulo hiperbólico es la longitud de un arco de una hipérbola unitaria medida en el plano de Lorentz ( no la longitud de un arco hiperbólico en el plano euclidiano ), y el doble del área del sector hiperbólico correspondiente . Esto es análogo a la forma en que la medida del ángulo circular es la longitud de arco de un arco del círculo unitario en el plano euclidiano o el doble del área del sector circular correspondiente . Alternativamente, el ángulo hiperbólico es el área de un sector de la hipérbola Algunos autores llaman a las funciones hiperbólicas inversas funciones de área hiperbólica . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle xy=1.}$

Las funciones hiperbólicas aparecen en el cálculo de ángulos y distancias en geometría hiperbólica . También se utilizan en la solución de numerosas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en diversas áreas de la física , incluyendo la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Los símbolos más antiguos y ampliamente adoptados utilizan el prefijo arc- (es decir: arcsinh , arccosh , arctanh , arcsech , arccsch , arccoth ), por analogía con las funciones circulares inversas ( arcsin , etc.). Para una hipérbola unitaria ("círculo lorentziano") en el plano lorentziano ( plano pseudoeuclidiano de signatura (1, 1) ) ^{[ 2 ]} o en el plano de números hiperbólicos , ^{[ 3 ]} la medida del ángulo hiperbólico (argumento de las funciones hiperbólicas) es de hecho la longitud de arco de un arco hiperbólico.

También es común la notación etc., ^{[ 4 ] [ 5 ]} aunque debe tenerse cuidado para evitar interpretaciones erróneas del superíndice −1 como exponente. La convención estándar es que o significa la función inversa mientras que o significa el recíproco. Especialmente inconsistente es el uso convencional de superíndices enteros positivos para indicar un exponente en lugar de la composición de funciones , por ejemplo, convencionalmente significa y no${\displaystyle \sinh ^{-1},}$${\displaystyle \cosh ^{-1},}$${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$${\displaystyle 1/\sinh x.}$${\displaystyle \sinh ^{2}x}$${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

Debido a que el argumento de las funciones hiperbólicas no es la longitud de arco de un arco hiperbólico en el plano euclidiano , algunos autores han condenado el prefijo arc- , argumentando que se debería preferir el prefijo ar- (de ' área ' ) o arg- (de ' argumento ' ). ^{[ 6 ]} Siguiendo esta recomendación, las abreviaturas del estándar ISO 80000-2 utilizan el prefijo ar- (es decir: arsinh , arcosh , artanh , arsech , arcsch , arcoth ).

In computer programming languages, inverse circular and hyperbolic functions are often named with the shorter prefix a- (asinh, etc.).

This article will consistently adopt the prefix ar- for convenience.

Since the hyperbolic functions are quadratic rational functions of the exponential function${\displaystyle \exp x,}$ they may be solved using the quadratic formula and then written in terms of the natural logarithm.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$$

For complex arguments, the inverse circular and hyperbolic functions, the square root, and the natural logarithm are all multi-valued functions.

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$$

$${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$$

These formulas can be derived in terms of the derivatives of hyperbolic functions. For example, if ${\displaystyle x=\sinh \theta }$, then ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$ so $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$$

Expansion series can be obtained for the above functions:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$ An asymptotic expansion for arsinh is given by

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$$

As functions of a complex variable, inverse hyperbolic functions are multivalued functions that are analytic except at a finite number of points. For such a function, it is common to define a principal value, which is a single valued analytic function which coincides with one specific branch of the multivalued function, over a domain consisting of the complex plane in which a finite number of arcs (usually half lines or line segments) have been removed. These arcs are called branch cuts. The principal value of the multifunction is chosen at a particular point and values elsewhere in the domain of definition are defined to agree with those found by analytic continuation.

Por ejemplo, para la raíz cuadrada, el valor principal se define como la raíz cuadrada con parte real positiva . Esto define una función analítica unívoca, definida en todos los casos, excepto para valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen parte real cero). Este valor principal de la función raíz cuadrada se denota en lo sucesivo. De manera similar, el valor principal del logaritmo, que se denota en lo sucesivo, se define como el valor para el cual la parte imaginaria tiene el menor valor absoluto. Se define en todos los casos, excepto para valores reales no positivos de la variable, para los cuales dos valores diferentes del logaritmo alcanzan el mínimo. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$

Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal puede definirse en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logaritmo. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas de las definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición demasiado pequeño y, en un caso, no conectado .

El valor principal del seno hiperbólico inverso viene dado por $${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}$$

El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo si y solo si z pertenece a uno de los intervalos [ i , + i∞ ) y (−i∞ , −i ] del eje imaginario. Si el argumento del logaritmo es real, entonces es positivo. Por lo tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama [ i , + i∞ ) y (−i∞ , −i ] . Esto es óptimo, ya que los cortes de rama deben conectar los puntos singulares i y −i con el infinito.

La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en § Coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que, al igual que los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal de coseno hiperbólico inverso no estaría definido para z imaginario . Por lo tanto, la raíz cuadrada debe factorizarse, lo que lleva a $${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}$$

Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z pertenece al intervalo real (−∞, 1] . Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es real y tiene el mismo signo. Por lo tanto, la fórmula anterior define un valor principal de arcosh fuera del intervalo real (−∞, 1) , que es, por consiguiente, el único corte de rama.

The formulas given in § Definitions in terms of logarithms suggests $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$ for the definition of the principal values of the inverse hyperbolic tangent and cotangent. In these formulas, the argument of the logarithm is real if and only if z is real. For artanh, this argument is in the real interval (−∞, 0], if z belongs either to (−∞, −1] or to [1, ∞). For arcoth, the argument of the logarithm is in (−∞, 0], if and only if z belongs to the real interval [−1, 1].

Therefore, these formulas define convenient principal values, for which the branch cuts are (−∞, −1] and [1, ∞) for the inverse hyperbolic tangent, and [−1, 1] for the inverse hyperbolic cotangent.

In view of a better numerical evaluation near the branch cuts, some authors use the following definitions of the principal values, although the second one introduces a removable singularity at z = 0. The two definitions of ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ differ for real values of z with z > 1. The ones of ${\displaystyle \operatorname {arcoth} }$ differ for real values of z with z ∈ [0, 1). $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}$$

For the inverse hyperbolic cosecant, the principal value is defined as $${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}$$

It is defined except when the arguments of the logarithm and the square root are non-positive real numbers. The principal value of the square root is thus defined outside the interval [−i, i] of the imaginary line. If the argument of the logarithm is real, then z is a non-zero real number, and this implies that the argument of the logarithm is positive.

Thus, the principal value is defined by the above formula outside the branch cut, consisting of the interval [−i, i] of the imaginary line.

(At z = 0, there is a singular point that is included in the branch cut.)

Here, as in the case of the inverse hyperbolic cosine, we have to factorize the square root. This gives the principal value $${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$$

Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces z es real, y se deduce que ambos valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z es real y pertenece a uno de los intervalos (−∞, 0] y [1, +∞) . Si el argumento del logaritmo es real y negativo, entonces z también es real y negativo. Se deduce que el valor principal de arsech está bien definido, por la fórmula anterior fuera de dos cortes de rama , los intervalos reales (−∞, 0] y [1, +∞) .

Para z = 0 , hay un punto singular que está incluido en uno de los cortes de rama.

En la siguiente representación gráfica de los valores principales de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de rama aparecen como discontinuidades de color. El hecho de que todos los cortes de rama se presenten como discontinuidades indica que estos valores principales no pueden extenderse a funciones analíticas definidas sobre dominios mayores. En otras palabras, los cortes de rama definidos anteriormente son mínimos.

arsinh( z )

arcosh( z )

artanh( z )

arcoth( z )

arsech( z )

arcsch( z )

Funciones hiperbólicas inversas en el plano complejo z : el color en cada punto del plano representa el valor complejo de la función correspondiente en ese punto.

• logaritmo complejo
• distribución secante hiperbólica
• ISO 80000-2
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas

• Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, page 207, Academic Press.

• "Inverse hyperbolic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]