Reflexión puntual

Tetraedros duales que son simétricos entre sí

En geometría , una reflexión puntual (también llamada inversión puntual o inversión central ) es una transformación geométrica del espacio afín en la que cada punto se refleja a través de un centro de inversión designado , que permanece fijo . En espacios euclidianos o pseudoeuclidianos , una reflexión puntual es una isometría (conserva la distancia ). ^{[ 1 ]} En el plano euclidiano , una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de media vuelta (180° o π radianes ), mientras que en el espacio euclidiano tridimensional una reflexión puntual es una rotación impropia que conserva las distancias pero invierte la orientación . Una reflexión puntual es una involución : aplicarla dos veces es la transformación identidad .

Se dice que un objeto que es invariante bajo una reflexión puntual posee simetría puntual (también llamada simetría de inversión o simetría central ). Un grupo puntual que incluye una reflexión puntual entre sus simetrías se denomina centrosimétrico . La simetría de inversión se encuentra en muchas estructuras cristalinas y moléculas , y tiene un efecto importante sobre sus propiedades físicas. ^{[ 2 ]}

El término reflexión es impreciso y algunos lo consideran un abuso del lenguaje, prefiriéndose inversión ; sin embargo, reflexión puntual es ampliamente utilizado. Tales mapas son involuciones , lo que significa que tienen orden 2: son su propio inverso: al aplicarlos dos veces se obtiene el mapa identidad , lo cual también es cierto para otros mapas llamados reflexiones . Más estrictamente, una reflexión se refiere a una reflexión en un hiperplano (${\displaystyle n-1}$subespacio afín dimensional – un punto en la línea , una línea en el plano , un plano en el espacio tridimensional), con el hiperplano fijo, pero más ampliamente la reflexión se aplica a cualquier involución del espacio euclidiano, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k , donde${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$) se llama espejo . En la dimensión 1 coinciden, ya que un punto es un hiperplano en la línea.

En términos de álgebra lineal, suponiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente las aplicaciones diagonalizables con todos los autovalores iguales a 1 o −1. La reflexión en un hiperplano tiene un único autovalor −1 (y multiplicidad${\displaystyle n-1}$en el autovalor 1), mientras que la reflexión puntual tiene solo el autovalor −1 (con multiplicidad n ).

El término inversión no debe confundirse con la geometría inversiva , donde la inversión se define con respecto a un círculo.

En dos dimensiones, una reflexión puntual equivale a una rotación de 180 grados. En tres dimensiones, una reflexión puntual se puede describir como una rotación de 180 grados combinada con una reflexión a través del plano de rotación, perpendicular al eje de rotación. En la dimensión n , las reflexiones puntuales conservan la orientación si n es par y la invierten si n es impar.

Dado un vector a en el espacio euclidiano R ⁿ , la fórmula para la reflexión de a con respecto al punto p es

${\displaystyle \mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .}$

En el caso en que p es el origen, la reflexión de un punto es simplemente la negación del vector a .

En geometría euclidiana , la inversión de un punto X con respecto a un punto P es un punto X * tal que P es el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son X y X *. En otras palabras, el vector que va de X a P es el mismo que el vector que va de P a X *.

La fórmula para la inversión en P es

x * = 2 p − x

donde p , x y x * son los vectores de posición de P , X y X * respectivamente.

Este mapeo es una transformación afín involutiva isométrica que tiene exactamente un punto fijo , que es P.

Cuando el punto de inversión P coincide con el origen, la reflexión de un punto es equivalente a un caso especial de escalado uniforme : escalado uniforme con factor de escala igual a −1. Este es un ejemplo de transformación lineal .

Cuando P no coincide con el origen, la reflexión puntual es equivalente a un caso especial de transformación homotética : homotecia con centro homotético coincidente con P y factor de escala −1. (Este es un ejemplo de transformación afín no lineal ).

La composición de dos reflexiones puntuales es una traslación . ^{[ 3 ]} Específicamente, la reflexión puntual en p seguida de la reflexión puntual en q es una traslación por el vector 2( q  − p ).

El conjunto formado por todas las reflexiones y traslaciones puntuales es un subgrupo de Lie del grupo euclidiano . Es un producto semidirecto de R ⁿ con un grupo cíclico de orden 2, que actúa sobre R ⁿ por negación. Es precisamente el subgrupo del grupo euclidiano que fija la recta en el infinito punto a punto.

En el caso n = 1, el grupo de reflexión de punto es el grupo de isometría completa de la línea.

• La reflexión de un punto a través del centro de una esfera produce el mapa antipodal .
• Un espacio simétrico es una variedad riemanniana con una reflexión isométrica en cada punto. Los espacios simétricos desempeñan un papel importante en el estudio de los grupos de Lie y la geometría riemanniana .

Dado el punto${\displaystyle P(x,y)}$y su reflexión${\displaystyle P'(x',y')}$con respecto al punto${\displaystyle C(x_{c},y_{c})}$, este último es el punto medio del segmento${\displaystyle {\overline {PP'}}}$;

${\displaystyle {\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, las ecuaciones para hallar las coordenadas del punto reflejado son:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}}$

Particular es el caso en que el punto C tiene coordenadas${\displaystyle (0,0)}$(véase el párrafo siguiente )

${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}}$

En el espacio euclidiano de dimensión par , por ejemplo, el espacio 2N - dimensional, la inversión en un punto P es equivalente a N rotaciones de ángulos π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se intersecan en P. Estas rotaciones son mutuamente conmutativas. Por lo tanto, la inversión en un punto en el espacio de dimensión par es una isometría que preserva la orientación o isometría directa .

En el espacio euclidiano de dimensión impar , digamos el espacio ( 2N  +  1)-dimensional, es equivalente a N rotaciones de π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se intersecan en P , combinado con la reflexión en el subespacio 2N - dimensional generado por estos planos de rotación. Por lo tanto, invierte la orientación en lugar de preservarla ; es una isometría indirecta .

Geométricamente en 3D equivale a una rotación alrededor de un eje que pasa por P en un ángulo de 180°, combinada con una reflexión en el plano que pasa por P y que es perpendicular al eje; el resultado no depende de la orientación (en el otro sentido) del eje. Las notaciones para el tipo de operación, o el tipo de grupo que genera, son:${\displaystyle {\overline {1}}}$, C _i , S ₂ , y 1 × . El tipo de grupo es uno de los tres tipos de grupos de simetría en 3D sin ninguna simetría rotacional pura , ver simetrías cíclicas con n  =  1.

Los siguientes grupos de puntos en tres dimensiones contienen inversión:

• C _{n h y} D n _{h para} n par
• S _{2 n} y D _{n d} para n impar
• T _h , Oh _, y yo _h

Estrechamente relacionada con la inversión respecto a un punto está la reflexión respecto a un plano , que puede considerarse como una "inversión en un plano".

La simetría de inversión juega un papel importante en las propiedades de los materiales, al igual que otras operaciones de simetría. ^{[ 2 ]}

Algunas moléculas contienen un centro de inversión cuando existe un punto a través del cual todos los átomos pueden reflejarse manteniendo la simetría. En muchos casos, pueden considerarse poliedros, clasificados por su número de coordinación y ángulos de enlace. Por ejemplo, los poliedros de cuatro coordenadas se clasifican como tetraedros , mientras que los entornos de cinco coordenadas pueden ser piramidales cuadrados o bipiramidales trigonales dependiendo de los ángulos de enlace. Los octaedros de seis coordenadas son un ejemplo de poliedros centrosimétricos, ya que el átomo central actúa como un centro de inversión a través del cual los seis átomos enlazados mantienen la simetría. Los tetraedros, por otro lado, no son centrosimétricos, ya que una inversión a través del átomo central daría como resultado una inversión del poliedro. Los poliedros con un número de coordinación impar (frente a par) no son centrosimétricos. Los poliedros que contienen centros de inversión se conocen como centrosimétricos, mientras que los que no los tienen son no centrosimétricos. La presencia o ausencia de un centro de inversión tiene una fuerte influencia en las propiedades ópticas. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, las moléculas sin simetría de inversión tienen un momento dipolar y pueden interactuar directamente con fotones, mientras que aquellas con inversión no tienen momento dipolar y solo interactúan mediante dispersión Raman . ^{[ 5 ]} Esta última recibe su nombre de C.V. Raman , quien fue galardonado con el Premio Nobel de Física de 1930 por su descubrimiento. ^{[ 6 ]}

Además, en cristalografía , la presencia de centros de inversión en estructuras periódicas distingue entre compuestos centrosimétricos y no centrosimétricos. Todos los compuestos cristalinos provienen de la repetición de un bloque atómico básico conocido como celda unitaria, y estas celdas unitarias definen qué poliedros se forman y en qué orden. En muchos materiales, como los óxidos, estos poliedros pueden unirse compartiendo vértices, aristas o caras, dependiendo de qué átomos compartan enlaces comunes y también de la valencia. En otros casos, como en metales y aleaciones, las estructuras se consideran mejor como disposiciones de átomos compactos. Los cristales que no tienen simetría de inversión también muestran el efecto piezoeléctrico . La presencia o ausencia de simetría de inversión también tiene numerosas consecuencias para las propiedades de los sólidos, ^{[ 2 ]} al igual que las relaciones matemáticas entre las diferentes simetrías cristalinas. ^{[ 7 ]}

Los poliedros reales en los cristales a menudo carecen de la uniformidad esperada en su geometría de enlace. Las irregularidades comunes que se encuentran en la cristalografía incluyen distorsiones y desorden. La distorsión implica la deformación de los poliedros debido a longitudes de enlace no uniformes, a menudo debido a diferentes interacciones electrostáticas entre heteroátomos o efectos electrónicos como las distorsiones de Jahn-Teller . Por ejemplo, un centro de titanio probablemente se enlazará uniformemente a seis oxígenos en un octaedro, pero ocurriría una distorsión si uno de los oxígenos fuera reemplazado por un flúor más electronegativo . Las distorsiones no cambian la geometría inherente de los poliedros: un octaedro distorsionado todavía se clasifica como un octaedro, pero distorsiones suficientemente fuertes pueden tener un efecto en la centrosimetría de un compuesto. El desorden implica una ocupación dividida en dos o más sitios, en la que un átomo ocupará una posición cristalográfica en un cierto porcentaje de poliedros y la otra en las posiciones restantes. El desorden también puede influir en la centrosimetría de ciertos poliedros, dependiendo de si la ocupación se divide o no sobre un centro de inversión ya presente.

La centrosimetría se aplica a la estructura cristalina en su conjunto, no solo a los poliedros individuales. Los cristales se clasifican en treinta y dos grupos puntuales cristalográficos que describen cómo se disponen los diferentes poliedros en el espacio dentro de la estructura macroscópica. De estos treinta y dos grupos puntuales, once son centrosimétricos. La presencia de poliedros no centrosimétricos no garantiza que el grupo puntual sea el mismo: dos formas no centrosimétricas pueden orientarse en el espacio de manera que contengan un centro de inversión entre ellas. Dos tetraedros enfrentados pueden tener un centro de inversión en el medio, ya que la orientación permite que cada átomo tenga un par reflejado. Lo contrario también es cierto, pues múltiples poliedros centrosimétricos pueden disponerse para formar un grupo puntual no centrosimétrico.

La inversión respecto al origen corresponde a la inversión aditiva del vector de posición, y también a la multiplicación escalar por − 1. Esta operación conmuta con cualquier otra transformación lineal , pero no con la traslación : se encuentra en el centro del grupo lineal general . «Inversión» sin especificar «en un punto», «en una línea» o «en un plano» se refiere a esta inversión; en física, la reflexión tridimensional que pasa por el origen también se denomina transformación de paridad .

En matemáticas, la reflexión a través del origen se refiere a la reflexión puntual del espacio euclidiano R ⁿ a través del origen del sistema de coordenadas cartesianas . La reflexión a través del origen es una transformación ortogonal que corresponde a la multiplicación escalar por${\displaystyle -1}$y también se puede escribir como${\displaystyle -I}$, dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad . En tres dimensiones, esto envía${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$y así sucesivamente.

• involución afín
• Inversión de círculo
• álgebra de Clifford
• Congruencia (geometría)
• Medida de Estermann
• grupo euclidiano
• Medida de Kovner-Besicovitch
• Grupo ortogonal
• Paridad (física)
• Reflexión (matemáticas)
• espacio simétrico riemanniano
• Grupo de espín