función de longitud

En el campo matemático de la teoría geométrica de grupos , una función de longitud es una función que asigna un número a cada elemento de un grupo .

Una función de longitud L  : G → R ⁺ en un grupo G es una función que satisface: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}   

${\displaystyle {\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

Compárese con los axiomas de una métrica y un álgebra filtrada .

Un ejemplo importante de longitud es la métrica de palabras : dada una representación de un grupo mediante generadores y relaciones, la longitud de un elemento es la longitud de la palabra más corta que lo expresa.

Los grupos de Coxeter (incluido el grupo simétrico ) tienen funciones de longitud combinatoriamente importantes, que utilizan las reflexiones simples como generadores (por lo tanto, cada reflexión simple tiene longitud  1). Véase también: longitud de un elemento de un grupo de Weyl .

El elemento más largo de un grupo de Coxeter es importante y único salvo por conjugación (salvo por una elección diferente de reflexiones simples).

Un grupo con una función de longitud no forma un grupo filtrado , lo que significa que los conjuntos de subnivel${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$En general, no forman subgrupos .

Sin embargo, el álgebra de grupo de un grupo con funciones de longitud forma un álgebra filtrada : el axioma${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$corresponde al axioma de filtración.

Este artículo incorpora material de Length function en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .