Hispanopedia WikiEn matemáticas , especialmente en el área de la topología conocida como teoría de nudos , un nudo invertible es aquel que puede deformarse continuamente sobre sí mismo, pero con su orientación invertida. Un nudo no invertible es cualquier nudo que no posee esta propiedad. La invertibilidad de un nudo es un invariante de nudo . Un enlace invertible es el enlace equivalente a un nudo invertible.
Solo existen cinco tipos de simetría de nudos, indicados por la quiralidad y la invertibilidad: totalmente quiral , reversible , anfiquiral positivo no invertible, anfiquiral negativo no invertible y totalmente anfiquiral invertible. [ 1 ]
Fondo
Desde hace tiempo se sabe que la mayoría de los nudos simples, como el nudo de trébol y el nudo de ocho, son invertibles. En 1962, Ralph Fox conjeturó que algunos nudos no eran invertibles, pero no se demostró su existencia hasta que Hale Trotter descubrió una familia infinita de nudos pretzel que no eran invertibles en 1963. [ 2 ] Actualmente se sabe que casi todos los nudos no son invertibles. [ 3 ]
Nudos reversibles
Se sabe que todos los nudos con un número de cruces de 7 o menos son invertibles. No se conoce ningún método general que permita distinguir si un nudo dado es invertible. [ 4 ] El problema puede expresarse en términos algebraicos, [ 5 ] pero, lamentablemente, no existe ningún algoritmo conocido para resolverlo.
Si un nudo es invertible y anfiquiral , es completamente anfiquiral. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo de ocho. Un nudo quiral que es invertible se clasifica como nudo reversible. [ 6 ]
Nudos fuertemente invertibles
Una forma más abstracta de definir un nudo invertible es decir que existe un homeomorfismo de la 3-esfera que conserva la orientación, el cual toma el nudo sobre sí mismo pero invierte la orientación a lo largo del nudo. Al imponer la condición más fuerte de que el homeomorfismo también sea una involución , es decir, que tenga un periodo 2 en el grupo de homeomorfismos de la 3-esfera, llegamos a la definición de un nudo fuertemente invertible . Todos los nudos con número de túnel uno, como el nudo trébol y el nudo de figura de ocho , son fuertemente invertibles. [ 7 ]
Nudos no invertibles
El ejemplo más simple de un nudo no invertible es el nudo 8 17 (notación de Alexander-Briggs) o .2.2 ( notación de Conway ). El nudo pretzel 7, 5, 3 no es invertible, al igual que todos los nudos pretzel de la forma (2 p + 1), (2 q + 1), (2 r + 1), donde p , q y r son enteros distintos, que es la familia infinita que Trotter demostró que no es invertible. [ 2 ]
Véase también
Referencias
- ↑ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), "Los primeros 1.701.936 nudos" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48 , doi : 10.1007/BF03025227 , MR 1646740 , S2CID 18027155 , archivado del original (PDF) el 15 de diciembre de 2013 .
- 1 2 Trotter, HF (1963), "Existen nudos no invertibles", Topology , 2 (4): 275– 280, doi : 10.1016/0040-9383(63)90011-9 , MR 0158395 .
- ^ Murasugi, Kunio (2007), La teoría de los nudos y sus aplicaciones , Springer, p. 45, ISBN 9780817647186.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Nudo invertible" . MathWorld .Consultado el 5 de mayo de 2013.
- ↑ Kuperberg, Greg (1996), "Detección de la invertibilidad de nudos", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 5 (2): 173– 181, arXiv : q-alg/9712048 , doi : 10.1142/S021821659600014X , MR 1395778 , S2CID 15295630 .
- ↑ Clark, W. Edwin; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico; Yeatman, Timothy (2013), "Coloraciones de quandles de nudos y aplicaciones", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 23 (6), arXiv : 1312.3307 , Bibcode : 2013arXiv1312.3307C , doi : 10.1142/S0218216514500357 , PMC 4610146 , PMID 26491208 .
- ↑ Morimoto, Kanji (1995), "Hay nudos cuyos números de túnel disminuyen bajo la suma conectada", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 123 (11): 3527–3532 , doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4 , JSTOR 2161103 , MR 1317043 Véase en particular el Lema 5.
Enlaces externos
- Jablan, Slavik y Sazdanovic, Radmila. Teoría básica de grafos: nudos y enlaces no invertibles. Archivado el 18 de enero de 2011 en Wayback Machine , LinKnot .
- Explicación con un vídeo , Nrich.Maths.org .
- Nudos y enlaces invertibles
