Nudo quiral

En el campo matemático de la teoría de nudos , un nudo quiral es aquel que no es equivalente a su imagen especular (cuando son idénticos pero invertidos). Un nudo orientado que es equivalente a su imagen especular es un nudo anfiquiral , también llamado nudo aquiral . La quiralidad de un nudo es un invariante de nudo . La quiralidad de un nudo se puede clasificar además según sea invertible o no .

Solo existen cinco tipos de simetría de nudos, indicados por la quiralidad y la invertibilidad: totalmente quiral , invertible , anfiquiral positivo no invertible, anfiquiral negativo no invertible y totalmente anfiquiral invertible. ^{[ 1 ]}

La posible quiralidad de ciertos nudos se sospechaba desde 1847, cuando Johann Listing afirmó que el trébol era quiral, ^{[ 2 ]} y esto fue demostrado por Max Dehn en 1914. PG Tait encontró todos los nudos anfiquilares hasta 10 cruces y conjeturó que todos los nudos anfiquilares tenían un número par de cruces . Mary Gertrude Haseman encontró todos los nudos anfiquilares de 12 cruces y muchos de 14 cruces a finales de la década de 1910. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Pero un contraejemplo a la conjetura de Tait, un nudo anfiquiral de 15 cruces, fue encontrado por Jim Hoste , Morwen Thistlethwaite y Jeff Weeks en 1998. ^{[ 5 ]} Sin embargo, la conjetura de Tait fue demostrada como cierta para nudos primos alternantes . ^{[ 6 ]}

• Ambos nudos de trébol posibles .
• 
  El nudo trébol para zurdos.
• 
  El nudo de trébol diestro.

El nudo quiral más simple es el nudo trébol , cuya quiralidad fue demostrada por Max Dehn . Todos los nudos toroidales no triviales son quirales. El polinomio de Alexander no puede distinguir un nudo de su imagen especular, pero el polinomio de Jones sí puede en algunos casos; si V _k ( q ) ≠ V _k ( q ^{− 1} ), entonces el nudo es quiral, pero lo contrario no es cierto. El polinomio HOMFLY es aún mejor para detectar la quiralidad, pero no se conoce ningún invariante polinomial de nudos que pueda detectarla completamente. ^{[ 7 ]} 

Un nudo anfiquiral es aquel que posee un autohomeomorfismo de inversión de orientación de la 3-esfera , α, que fija el nudo en conjunto. Todos los nudos alternantes anfiquirales tienen un número par de cruces . El primer nudo anfiquiral con un número impar de cruces es un nudo de 15 cruces descubierto por Hoste et al. ^{[ 6 ].}

Anfiquiral negativo

Si el autohomeomorfismo, α, invierte la orientación del nudo, se dice que es anfiquiral negativo. Esto equivale a que el nudo sea isotópico al reverso de su imagen especular. El nudo no invertible con esta propiedad que tiene el menor número de cruces es el nudo 8 ₁₇ . ^{[ 8 ]}