Matriz involutiva

En matemáticas , una matriz involutiva es una matriz cuadrada que es su propia inversa . Es decir, la multiplicación por la matriz${\displaystyle {\mathbf {A}}_{n\times n}}$es una involución si y solo si${\displaystyle {\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}},}$dónde${\displaystyle {\mathbf {I}}}$es el${\displaystyle n\times n}$Matriz identidad . Las matrices involutivas son todas raíces cuadradas de la matriz identidad. Esto es consecuencia del hecho de que cualquier matriz invertible multiplicada por su inversa es la matriz identidad. ^{[ 1 ]}

El${\displaystyle 2\times 2}$matriz real${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$es involutivo siempre que${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$^{[ 2 ]}

Las matrices de Pauli en${\displaystyle M(2,\mathbb {C} )}$son involutivos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Una de las tres clases de matrices elementales es involutiva: la matriz elemental de intercambio de filas. Un caso especial de otra clase de matrices elementales, la que representa la multiplicación de una fila o columna por -1, también es involutiva; de hecho, es un ejemplo trivial de matriz signatura , todas ellas involutivas.

A continuación se muestran algunos ejemplos sencillos de matrices involutivas.

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$ dónde

• I es la matriz identidad de 3 × 3 (que es trivialmente involutiva);
• R es la matriz identidad de 3 × 3 con un par de filas intercambiadas;
• S es una matriz de firmas .

Cualquier matriz diagonal por bloques construida a partir de matrices involutivas también será involutiva, como consecuencia de la independencia lineal de los bloques.

Una matriz involutiva que además es simétrica es una matriz ortogonal y, por lo tanto, representa una isometría (una transformación lineal que conserva la distancia euclidiana ). A la inversa, toda matriz involutiva ortogonal es simétrica. ^{[ 3 ]} Como caso particular de esto, toda matriz de reflexión y rotación de 180° es involutiva.

Una involución no es defectuosa y cada valor propio es igual a${\displaystyle \pm 1}$, por lo que una involución se diagonaliza en una matriz de firmas.

Una involución normal es hermitiana (compleja) o simétrica (real), y también unitaria (compleja) u ortogonal (real).

El determinante de una matriz involutiva sobre cualquier cuerpo es ±1. ^{[ 4 ]}

Si A es una matriz n × n , entonces A es involutiva si y solo si${\displaystyle {\mathbf {P}}_{+}=({\mathbf {I}}+{\mathbf {A}})/2}$es idempotente . Esta relación da una biyección entre matrices involutivas y matrices idempotentes. ^{[ 4 ]} De manera similar, A es involutiva si y solo si${\displaystyle {\mathbf {P}}_{-}=({\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})/2}$es idempotente . Estos dos operadores forman las proyecciones simétricas y antisimétricas.${\displaystyle v_{\pm }={\mathbf {P}}_{\pm }v}$de un vector${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}}$con respecto a la involución A , en el sentido de que${\displaystyle {\mathbf {A}}v_{\pm }=\pm v_{\pm }}$, o${\displaystyle {\mathbf {AP}}_{\pm }=\pm {\mathbf {P}}_{\pm }}$. La misma construcción se aplica a cualquier función involutiva , como el conjugado complejo (partes real e imaginaria), la transpuesta (matrices simétricas y antisimétricas) y el adjunto hermitiano ( matrices hermitianas y antihermitianas ).

Si A es una matriz involutiva en ⁠${\displaystyle M(n,\mathbb {R} ),}$que es un álgebra matricial sobre los números reales , y A no es un múltiplo escalar de I , entonces la subálgebra${\displaystyle \{x{\mathbf {I}}+y{\mathbf {A}}:xy\in \mathbb {R} \}}$generado por A es isomorfo a los números complejos divididos .

Si A y B son dos matrices involutivas que conmutan entre sí (es decir, AB = BA ), entonces AB también es involutiva.

Si A es una matriz involutiva, entonces cada potencia entera de A es involutiva. De hecho, A ⁿ será igual a A si n es impar e I si n es par .

• involución afín