Cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son menores de 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.

• Cuadrilátero irregular ^{[ a ]} : ninguno de sus lados es paralelo.
• Trapecio (Reino Unido) o trapezoide (EE. UU.): al menos un par de lados opuestos son paralelos . Los trapecios (Reino Unido) y los trapezoides (EE. UU.) incluyen los paralelogramos.
• Trapecio isósceles (Reino Unido) o trapezoide isósceles (EE. UU.): un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de la base son iguales. Otras definiciones son un cuadrilátero con un eje de simetría que biseca un par de lados opuestos, o un trapecio con diagonales de igual longitud.
• Paralelogramo : un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Las condiciones equivalentes son que los lados opuestos tengan la misma longitud; que los ángulos opuestos sean iguales; o que las diagonales se bisequen mutuamente. Los paralelogramos incluyen los rombos (incluidos los rectángulos llamados cuadrados) y los romboides (incluidos los rectángulos llamados oblongos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los rombos y todos los romboides, y por lo tanto también incluyen todos los rectángulos.
• Rombo : ^{[ 1 ]} sus cuatro lados tienen la misma longitud (equiláteros). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen perpendicularmente entre sí. De manera informal: "un cuadrado empujado" (pero estrictamente también incluye un cuadrado).
• Romboide : paralelogramo cuyos lados adyacentes tienen longitudes desiguales y algunos ángulos son oblicuos (es decir, no tienen ángulos rectos). De manera informal: «un rectángulo doblado». No todas las referencias coinciden; algunas definen un romboide como un paralelogramo que no es un rombo. ^{[ 4 ]}
• Rectángulo : sus cuatro ángulos son rectos (equiangulares). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen entre sí y tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen cuadrados y figuras oblongas. De manera informal: "una caja u oblonga" (incluido un cuadrado).
• Cuadrado (cuadrilátero regular): sus cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero) y sus cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo) y que las diagonales se bisequen perpendicularmente y tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es a la vez un rombo y un rectángulo (es decir, tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
• Alargado : más largo que ancho, o más ancho que largo (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado). ^{[ 5 ]}
• Cometa : dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud. Esto implica que una diagonal divide la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales miden lo mismo. También implica que las diagonales son perpendiculares. Las cometas incluyen rombos.

• Cuadrilátero tangente : sus cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita. Un cuadrilátero convexo es tangente si y solo si la suma de sus lados opuestos es igual.
• Trapecio tangente : un trapecio cuyos cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito .
• Cuadrilátero cíclico : sus cuatro vértices se encuentran sobre una circunferencia circunscrita . Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si la suma de sus ángulos opuestos es 180°.
• Cometa recta : una cometa con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero armónico : un cuadrilátero cíclico tal que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
• Cuadrilátero bicéntrico : es a la vez tangencial y cíclico.
• Cuadrilátero ortodiagonal : las diagonales se cruzan en ángulo recto .
• Cuadrilátero equidiagonal : las diagonales tienen la misma longitud.
• Cuadrilátero bisecado diagonalmente: una diagonal biseca a la otra en dos partes iguales. Todo dardo y cometa es bisecado diagonalmente. Cuando ambas diagonales se bisecan mutuamente, se trata de un paralelogramo.
• Cuadrilátero extangencial : las cuatro extensiones de los lados son tangentes a una excircunferencia .
• Un cuadrilátero equilátero tiene dos lados opuestos iguales que, al extenderse, se encuentran en un ángulo de 60°.
• Un cuadrilátero de Watt es un cuadrilátero con un par de lados opuestos de igual longitud. ^{[ 6 ]}
• Un cuadrilátero cuadrático es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran sobre el perímetro de un cuadrado. ^{[ 7 ]}
• Un cuadrilátero diametral es un cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro de la circunferencia circunscrita. ^{[ 8 ]}
• Un cuadrilátero de Hjelmslev es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos. ^{[ 9 ]}

En un cuadrilátero cóncavo, uno de sus ángulos interiores es mayor de 180° y una de sus dos diagonales se encuentra fuera del cuadrilátero.

• Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como un cometa, pero donde uno de sus ángulos interiores es reflejo. Véase Cometa .

El área se puede expresar en términos trigonométricos como ^{[ 14 ].}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellas es θ . ^{[ 15 ]} En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado y cometa), esta fórmula se reduce a${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$ya que θ es 90° .

El área también puede expresarse en términos de bimedianas como ^{[ 16 ].}

${\displaystyle K=mn\sin \varphi,}$

donde las longitudes de las bimedianas son m y n y el ángulo entre ellas es φ .

La fórmula de Bretschneider ^{[ 17 ] [ 14 ]} expresa el área en términos de los lados y dos ángulos opuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}}$

donde los lados en secuencia son a , b , c , d , donde s es el semiperímetro, y A y C son dos (de hecho, cualesquiera dos) ángulos opuestos. Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, cuando A + C = 180° .

Otra fórmula de área en términos de lados y ángulos, donde el ángulo C está entre los lados b y c , y el ángulo A está entre los lados a y d , es

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en:${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados y ángulos opuestos son iguales, esta fórmula se reduce a${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que θ no sea 90° : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en:${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Otra fórmula de área que incluye los lados a , b , c , d es ^{[ 16 ].}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas .

La última fórmula trigonométrica de área que incluye los lados a , b , c , d y el ángulo α (entre a y b ) es: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

que también se puede utilizar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α ), simplemente cambiando el primer signo + por - .

Las siguientes dos fórmulas expresan el área en términos de los lados a , b , c y d , el semiperímetro s y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$^{[ 20 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$^{[ 21 ]}

La primera se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, ya que entonces pq = ac + bd .

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m , n y las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$^{[ 22 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$^{[ 23 ] : Teorema 7}

De hecho, cualquiera de los tres de los cuatro valores m , n , p y q son suficientes para determinar el área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[ 24 ] : pág. 126}Las expresiones correspondientes son: ^{[ 25 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos bimedianas y una diagonal, y ^{[ 25 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos diagonales y una bimediana.

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular usando vectores . Sean los vectores AC y BD las diagonales de A a C y de B a D. El área del cuadrilátero es entonces

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

que es la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD . En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector _AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x₁ _, y₁ ) y BD como ( x₂ _, y₂ ₎ , esto se puede reescribir como:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

En la siguiente tabla se indica si las diagonales de algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud . ^{[ 26 ]} La lista se aplica a los casos más generales y excluye subconjuntos específicos.

• Nota 1: Los trapecios y trapecios isósceles más generales no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios y trapecios isósceles (no similares) que sí tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro cuadrilátero con nombre.
• Nota 2: En un cometa, una diagonal biseca a la otra. El cometa más general tiene diagonales desiguales, pero existe un número infinito de cometas (no similares) en las que las diagonales tienen la misma longitud (y los cometas no son ningún otro cuadrilátero con nombre).

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular utilizando la ley de los cosenos en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Por lo tanto,

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son ^{[ 27 ].}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD , la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales. Por lo tanto,

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales. ^{[ 24 ] : p.126} Esto se conoce a veces como el teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo .

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider derivó en 1842 la siguiente generalización del teorema de Ptolomeo , respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo ^{[ 28 ].}

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relación puede considerarse una ley de cosenos para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , donde A + C = 180° , se reduce a pq = ac + bd . Dado que cos ( A + C ) ≥ −1 , también proporciona una demostración de la desigualdad de Ptolomeo.

Si X e Y son los pies de las normales desde B y D a la diagonal AC = p en un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , entonces ^{[ 29 ] : p.14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , y donde las diagonales se intersecan en E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

donde e = AE , f = BE , g = CE , y h = DE . ^{[ 30 ]}

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices específicos. Las dos diagonales p , q y las cuatro longitudes de los lados a , b , c , d de un cuadrilátero están relacionadas ^{[ 14 ]} por el determinante de Cayley-Menger , como sigue:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Si un cuadrilátero convexo tiene lados consecutivos a , b , c , d y diagonales p , q , entonces su área K satisface ^{[ 37 ].}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$con igualdad solo para un rectángulo .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad solo para un cuadrado .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$con igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$con igualdad solo para un rectángulo. ^{[ 16 ]}

De la fórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado de tal manera que un lado es igual a la suma de los otros tres (se ha colapsado en un segmento de línea , por lo que el área es cero).

También,

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},}$

con igualdad para un cuadrilátero bicéntrico o un rectángulo.

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad ^{[ 38 ].}

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando el perímetro como L , tenemos ^{[ 38 ] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

con igualdad solo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para longitudes diagonales p y q , con igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K y diagonales AC = p , BD = q . Entonces ^{[ 39 ]}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$con igualdad solo para un cuadrado.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con área K , entonces se cumple la siguiente desigualdad: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$con igualdad solo para un cuadrado.

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo .

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo , que es una igualdad en un cuadrilátero cíclico , en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Establece que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

donde hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico. ^{[ 24 ] : p.128–129} Esto se conoce a menudo como la desigualdad de Ptolomeo .

En cualquier cuadrilátero convexo, las bimedianas m, n y las diagonales p, q están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

donde la igualdad se cumple si y solo si las diagonales son iguales. ^{[ 41 ] : Prop.1} Esto se deduce directamente de la identidad del cuadrilátero${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Los lados a , b , c y d de cualquier cuadrilátero satisfacen ^{[ 42 ] : p.228, #275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

y ^{[ 42 ] : pág. 234, n.° 466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$