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dualidad de Isbell

En matemáticas, la conjugación de Isbell (también conocida como dualidad de Isbell o adjunción de Isbell ) (nombrada en honor a John R. Isbell [ 1 ] [ 2 ] ) es una construcción ...

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En matemáticas, la conjugación de Isbell (también conocida como dualidad de Isbell o adjunción de Isbell ) (nombrada en honor a John R. Isbell [ 1 ] [ 2 ] ) es una construcción fundamental de la teoría de categorías enriquecida, introducida formalmente por William Lawvere en 1986. [ 3 ] [ 4 ] Se trata de una dualidad entre prehaces representables covariantes y contravariantes asociados a objetos de categorías bajo la incrustación de Yoneda. [ 5 ] [ 6 ] Además, Lawvere [ 7 ] afirma: «Entonces, las conjugaciones son el primer paso para expresar la dualidad entre espacio y cantidad, fundamental para las matemáticas». [ 8 ]

Definición

Incrustaciones de Yoneda

La incrustación de Yoneda (covariante) es un functor covariante de una categoría pequeña.A{\displaystyle {\mathcal {A}}}en la categoría de pregavillas[Aopag,V]{\displaystyle \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}enA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, tomandoincógnita∈A{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}al functor representable contravariante : [ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]

y(h∙):A→[Aopag,V]{\displaystyle y\;(h^{\bullet }):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}

incógnita↦hometro(−,incógnita).{\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (-,X).}

y la incrustación co-Yoneda [ 1 ] [ 11 ] (también conocida como incrustación dual de Yoneda [ 12 ] ) es un functor contravariante de una categoría pequeñaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}en el opuesto de la categoría de copreshajas[A,V]opag{\displaystyle \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}enA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, tomandoincógnita∈A{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}al functor representable covariante:

z(h∙opag):A→[A,V]opag{\displaystyle z\;({h_{\bullet }}^{op}):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}

incógnita↦hometro(incógnita,−).{\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (X,-).}

dualidad de Isbell

Origen de los símbolosO{\displaystyle {\mathcal {O}}}(“ anillo de funciones ”) ySpagmido{\displaystyle \mathrm {Spec} }(“espectro”): Lawvere (1986 , p. 169) dice que; O{\displaystyle {\mathcal {O}}}" asigna a cada espacio general el álgebra de funciones sobre él, mientras que "Spagmido{\displaystyle \mathrm {Spec} }" asigna a cada álgebra su "espectro", que es un espacio general.
Nota: Para que este diagrama conmutativo sea válido, se requiere queA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es pequeño y E es co-completo. [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

Cada functorF:Aopag→V{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}tiene un conjugado de Isbell de un functor [ 1 ]F∗:A→V{\displaystyle F^{\ast }\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}, dado por

F∗(incógnita)=hometro(F,y(incógnita)).{\displaystyle F^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (F,y(X)).}

Por el contrario, cada functorGRAMO:A→V{\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}tiene un conjugado de Isbell de un functor [ 1 ]GRAMO∗:Aopag→V{\displaystyle G^{\ast }\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}dado por

GRAMO∗(incógnita)=hometro(z(incógnita),GRAMO).{\displaystyle G^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (z(X),G).}

Estos dos functores no suelen ser inversos, ni siquiera isomorfismos naturales . La dualidad de Isbell afirma que la relación entre estos dos functores es una adjunción. [ 1 ]

La dualidad de Isbell es la relación entre la incrustación de Yoneda y la incrustación co-Yoneda;

DejarV{\displaystyle {\mathcal {V}}}Sea una categoría cerrada monoidal simétrica , y seaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}ser una pequeña categoría enriquecida enV{\displaystyle {\mathcal {V}}}.

La dualidad de Isbell es una adjunción entre las categorías de funtores;(O⊣Spagmido):[Aopag,V]⇄OSpagmido[A,V]opag{\displaystyle \left({\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} \right)\colon \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]{\underset {\mathrm {Spec} }{\overset {\mathcal {O}}{\rightleftarrows }}}\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}. [ 1 ] [ 3 ] [ 11 ] [ 17 ] [ 18 ]

Aplicando la construcción nerviosa, los functoresO⊣Spagmido{\displaystyle {\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} }de la dualidad de Isbell son tales queO≅Lanorteyz{\displaystyle {\mathcal {O}}\cong \mathrm {Lan_{y}z} }ySpagmido≅Lanortezy{\displaystyle \mathrm {Spec} \cong \mathrm {Lan_{z}y} }. [ 17 ] [ 19 ] [ nota 1 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 ( Báez 2022 )
  2. ↑ ( Di Liberti 2020 , 2. Dualidad de Isbell)
  3. 1 2 ( Lawvere 1986 , pág. 169) 
  4. ↑ ( Rutten 1998 )
  5. ↑ ( Melliès & Zeilberger 2018 )
  6. ↑ ( Willerton 2013 )
  7. ↑ ( Lawvere 1986 , pág. 169) 
  8. ↑ ( Espacio y cantidad en nlab )
  9. ↑ ( Yoneda incrustado en nlab )
  10. ↑ ( Awodey 2006 , Definición 8.1.)
  11. 1 2 ( Dualidad de Isbell en nlab )
  12. ↑ ( Day & Lack 2007 , §9. Conjugación de Isbell)
  13. ↑ ( Di Liberti 2020 , Observación 2.3 (La construcción (co)nerviosa).)
  14. ↑ ( Kelly 1982 , Proposición 4.33)
  15. ↑ ( Riehl 2016 , Observación 6.5.9.)
  16. ↑ ( Imamura 2022 , Teorema 2.4)
  17. 1 2 ( Di Liberti 2020 , Observación 2.4)
  18. ↑ ( Fosco 2021 )
  19. ↑ ( Di Liberti & Loregian 2019 , Lema 5.13.)

Bibliografía

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  • Imamura, Yuki (2022), "Grothendieck Enriched Categories", Applied Categorical Structures , 30 (5): 1017–1041 , arXiv : 2105.05108 , doi : 10.1007/s10485-022-09681-1
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Nota

  1. ↑ Para el símbolo Lan , véase la extensión Kan de la izquierda .
  • Di Liberti, Ivan; Loregian, Fosco (2019), "Sobre la unicidad de las teorías de categorías formales", arXiv : 1901.01594 [ math.CT ]
  • Loregian, Fosco (2018), "Extensiones de Kan" (PDF) , tetrapharmakon.github.io , archivado del original (PDF) el 9 de enero de 2024.
  • Valence, Arnaud (2017), Esquisse d'une dualité géométrico-algébrique multidisciplinaire  : la dualité d'Isbell, Thèse en cotutelle en Philosophie – Étude des Systèmes, publicado el 30 de mayo de 2017. (PDF)
  • "Dualidad de Isbell" , ncatlab.org
  • "espacio y cantidad" , ncatlab.org
  • "Incrustación de Yoneda" , ncatlab.org
  • "lema co-Yoneda" , ncatlab.org
  • "copresheaf" , ncatlab.org
  • "Transformaciones naturales y prehaces: Observación 1.28. (prehaces como espacios generalizados)" , ncatlab.org
  • "Functores opuestos" , ncatlab.org