modelo de Ising

El signo menos en cada término de la función hamiltoniana${\displaystyle H(\sigma )}$es convencional. Usando esta convención de signos, los modelos de Ising se pueden clasificar según el signo de la interacción: si, para un par i , j 

El sistema se denomina ferromagnético o antiferromagnético si todas las interacciones son ferromagnéticas o antiferromagnéticas, respectivamente. Los modelos de Ising originales eran ferromagnéticos, y aún hoy se suele asumir que "modelo de Ising" se refiere a un modelo de Ising ferromagnético.

En un modelo de Ising ferromagnético, los espines tienden a alinearse: las configuraciones en las que los espines adyacentes tienen el mismo signo tienen mayor probabilidad. En un modelo antiferromagnético, los espines adyacentes tienden a tener signos opuestos.

La convención de signos de H (σ) también explica cómo un sitio de espín j interactúa con el campo externo. Es decir, el sitio de espín tiende a alinearse con el campo externo. Si:

Los modelos de Ising a menudo se examinan sin un campo externo que interactúe con la red, es decir, h  =  0 para todo j en la red Λ. Usando esta simplificación, el hamiltoniano se convierte en

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Cuando el campo externo es cero en todas partes, h  =  0, el modelo de Ising es simétrico al cambiar el valor del espín en todos los sitios de la red; un campo distinto de cero rompe esta simetría.

Otra simplificación común es suponer que todos los vecinos más cercanos ⟨ ij ⟩ tienen la misma fuerza de interacción. Entonces podemos establecer J _ij = J para todos los pares i , j en Λ. En este caso, el hamiltoniano se simplifica aún más a 

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Un subconjunto S del conjunto de vértices V(G) de un grafo no dirigido ponderado G determina un corte del grafo G en S y su subconjunto complementario G\S. El tamaño del corte es la suma de los pesos de las aristas entre S y G\S. El tamaño máximo del corte es al menos igual al tamaño de cualquier otro corte, independientemente de S.

Para el modelo de Ising sin un campo externo en un grafo G, el hamiltoniano se convierte en la siguiente suma sobre las aristas del grafo E(G):

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

Aquí, cada vértice i del grafo es un sitio de giro que toma un valor de giro.${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$Una configuración de espín dada${\displaystyle \sigma }$particiona el conjunto de vértices${\displaystyle V(G)}$en dos${\displaystyle \sigma }$subconjuntos dependientes, aquellos con giro ascendente${\displaystyle V^{+}}$y aquellos con giro descendente${\displaystyle V^{-}}$. Lo denotamos por${\displaystyle \delta (V^{+})}$el${\displaystyle \sigma }$Conjunto de aristas dependientes que conecta los dos subconjuntos de vértices complementarios${\displaystyle V^{+}}$y${\displaystyle V^{-}}$El tamaño${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$del corte${\displaystyle \delta (V^{+})}$Para biparticionar el grafo no dirigido ponderado G, se puede definir como:

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

dónde${\displaystyle W_{ij}}$denota un peso del borde${\displaystyle ij}$y se introduce el factor de escala 1/2 para compensar el doble conteo de los mismos pesos.${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$.

Las identidades

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

donde la suma total en el primer término no depende de${\displaystyle \sigma }$, implican que minimizar${\displaystyle H(\sigma )}$en${\displaystyle \sigma }$es equivalente a minimizar${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$. Definiendo el peso del borde${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$de esta forma el problema de Ising sin un campo externo se convierte en un problema de corte máximo de grafos ^{[ 5 ]} que maximiza el tamaño del corte.${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$, que se relaciona con el hamiltoniano de Ising de la siguiente manera:

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

Un número significativo de preguntas estadísticas que plantear sobre este modelo se encuentran en el límite de un gran número de espines:

• En una configuración típica, ¿la mayoría de los espines son +1 o −1, o se dividen por igual?
• Si el giro en una posición i determinada es 1, ¿cuál es la probabilidad de que el giro en la posición j también sea 1?
• Si se modifica β , ¿se produce una transición de fase?
• En una red Λ, ¿cuál es la dimensión fractal de la forma de un gran cúmulo de espines +1?

En su tesis doctoral de 1924, Ising resolvió el modelo para el caso d  =  1, que puede considerarse como una red horizontal lineal donde cada sitio solo interactúa con su vecino izquierdo y derecho. En una dimensión, la solución no admite ninguna transición de fase . ^{[ 6 ]} Es decir, para cualquier β positivo, las correlaciones ⟨σ _i σ _j ⟩ decaen exponencialmente en | i  − j |:  $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

y el sistema está desordenado. Basándose en este resultado, concluyó erróneamente que este modelo no presenta comportamiento de fase en ninguna dimensión.

El modelo de Ising experimenta una transición de fase entre una fase ordenada y una fase desordenada en 2 o más dimensiones. Es decir, el sistema está desordenado para valores pequeños de β, mientras que para valores grandes de β el sistema exhibe orden ferromagnético:

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

Esto fue demostrado por primera vez por Rudolf Peierls en 1936, ^{[ 7 ]} utilizando lo que ahora se denomina un argumento de Peierls .

El modelo de Ising en una red cuadrada bidimensional sin campo magnético fue resuelto analíticamente por Lars Onsager ( 1944 ) . Onsager obtuvo las funciones de correlación y la energía libre del modelo de Ising y anunció la fórmula para la magnetización espontánea del modelo bidimensional en 1949, pero no proporcionó una derivación. Yang (1952) dio la primera demostración publicada de esta fórmula, utilizando una fórmula límite para determinantes de Fredholm , demostrada en 1951 por Szegő en respuesta directa al trabajo de Onsager. ^{[ 8 ]} 

Se han derivado rigurosamente varias desigualdades de correlación para las correlaciones de espín de Ising (para estructuras reticulares generales), lo que ha permitido a los matemáticos estudiar el modelo de Ising tanto dentro como fuera del estado crítico.

A principios del siglo XX, algunos creían que la función de partición nunca podría describir una transición de fase, basándose en el siguiente argumento:

1. La función de partición es una suma de e ^{−β E} sobre todas las configuraciones.
2. La función exponencial es analítica en todas partes en función de β.
3. La suma de funciones analíticas es una función analítica.

Este argumento funciona para una suma finita de exponenciales y establece correctamente que no existen singularidades en la energía libre de un sistema de tamaño finito. Para sistemas que se encuentran en el límite termodinámico (es decir, para sistemas infinitos), la suma infinita puede dar lugar a singularidades. La convergencia al límite termodinámico es rápida, de modo que el comportamiento de fase se hace evidente ya en una red relativamente pequeña, aunque las singularidades se atenúen debido al tamaño finito del sistema.

Esto fue establecido por primera vez por Rudolf Peierls en el modelo de Ising.

Poco después de que Lenz e Ising construyeran el modelo de Ising, Peierls pudo demostrar explícitamente que se produce una transición de fase en dos dimensiones.

Para ello, comparó los límites de alta y baja temperatura. A temperatura infinita (β  = 0), todas las configuraciones tienen la misma probabilidad. Cada espín es completamente independiente de los demás, y si se representan gráficamente las configuraciones típicas a temperatura infinita, de modo que los signos positivos y negativos se representen con blanco y negro, se asemejan a la nieve de un televisor . A temperaturas elevadas, pero no infinitas, existen pequeñas correlaciones entre posiciones vecinas, la nieve tiende a agruparse ligeramente, pero la pantalla sigue pareciendo aleatoria y no hay un exceso neto de blanco o negro.

Una medida cuantitativa del exceso es la magnetización , que es el valor promedio del espín:

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

Un argumento falaz, análogo al de la sección anterior, establece ahora que la magnetización media en el modelo de Ising es siempre cero.

1. Cada configuración de espines tiene la misma energía que la configuración con todos los espines invertidos.
2. Así pues, para cada configuración con magnetización M existe una configuración con magnetización − M con igual probabilidad.
3. Por lo tanto , el sistema debería pasar la misma cantidad de tiempo en la configuración con magnetización M que con magnetización − M.
4. Por lo tanto, la magnetización promedio (a lo largo de todo el tiempo) es cero.

Como antes, esto solo demuestra que la magnetización promedio es cero en cualquier volumen finito. Para un sistema infinito, las fluctuaciones podrían no ser capaces de llevar al sistema de un estado predominantemente positivo a uno predominantemente negativo con una probabilidad distinta de cero.

Para temperaturas muy altas, la magnetización es cero, como ocurre a temperatura infinita. Para comprobarlo, observe que si el espín A tiene una correlación ε pequeña con el espín B, y B está débilmente correlacionado con C, pero C es independiente de A, la correlación entre A y C es proporcional a ε² ^. Para dos espines separados por una distancia L , la correlación es proporcional a εL ^, pero si existen varias trayectorias posibles para la propagación de las correlaciones, esta correlación aumenta con el número de trayectorias.

El número de caminos de longitud L en una red cuadrada de d dimensiones es $${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$ ya que hay 2d opciones sobre adónde ir en cada paso.

Un límite para la correlación total viene dado por la contribución a la correlación sumando sobre todos los caminos que unen dos puntos, que está acotada superiormente por la suma sobre todos los caminos de longitud L dividida por $${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$ que tiende a cero cuando ε es pequeño.

A bajas temperaturas (β ≫ 1), las configuraciones se aproximan a la de menor energía, aquella en la que todos los espines son positivos o negativos. Peierls se preguntó si, estadísticamente, a baja temperatura, partiendo de espines negativos, es posible fluctuar hacia un estado donde la mayoría sean positivos. Para que esto ocurra, las gotas de espín positivo deben poder coagularse para formar dicho estado.

La energía de una gota de espines positivos en un fondo negativo es proporcional al perímetro de la gota L, donde los espines positivos y negativos son vecinos. Para una gota con perímetro L , el área se encuentra entre ( L  −  2)/2 (la línea recta) y ( L /4) ^² (el cuadrado). El costo de probabilidad para introducir una gota tiene el factor e ^{−β L} , pero esto contribuye a la función de partición multiplicada por el número total de gotas con perímetro L , que es menor que el número total de caminos de longitud L : $${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$ De modo que la contribución total del espín de las gotitas, incluso sobrecontando al permitir que cada sitio tenga una gotita separada, está limitada superiormente por $${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

que tiende a cero para valores grandes de β. Para valores de β suficientemente grandes, esto suprime exponencialmente los bucles largos, de modo que no pueden ocurrir, y la magnetización nunca fluctúa demasiado lejos de  −1.

Así pues, Peierls estableció que la magnetización en el modelo de Ising define finalmente sectores de superselección , dominios separados no vinculados por fluctuaciones finitas.

Kramers y Wannier lograron demostrar que la expansión a alta temperatura y la expansión a baja temperatura del modelo son iguales, salvo por un reescalamiento global de la energía libre. Esto permitió determinar con exactitud el punto de transición de fase en el modelo bidimensional (bajo el supuesto de que existe un único punto crítico).

Tras la solución de Onsager, Yang y Lee investigaron la forma en que la función de partición se vuelve singular a medida que la temperatura se aproxima a la temperatura crítica.

La motivación original para el modelo fue el fenómeno del ferromagnetismo . El hierro es magnético; una vez magnetizado, permanece magnetizado durante mucho tiempo en comparación con cualquier tiempo atómico.

En el siglo XIX, se creía que los campos magnéticos se debían a corrientes en la materia, y Ampère postuló que los imanes permanentes eran causados ​​por corrientes atómicas permanentes. Sin embargo, el movimiento de partículas cargadas clásicas no podía explicar las corrientes permanentes, como demostró Larmor . Para que exista el ferromagnetismo, los átomos deben tener momentos magnéticos permanentes que no se deban al movimiento de cargas clásicas.

Una vez descubierto el espín del electrón, quedó claro que el magnetismo debía deberse a un gran número de espines electrónicos orientados en la misma dirección. Era lógico preguntarse cómo sabían los espines de los electrones hacia dónde apuntar, ya que los electrones de un lado de un imán no interactúan directamente con los del otro lado. Solo pueden influir en sus vecinos. El modelo de Ising se diseñó para investigar si una gran fracción de los espines electrónicos podía orientarse en la misma dirección utilizando únicamente fuerzas locales.

El modelo de Ising puede reinterpretarse como un modelo estadístico para el movimiento de los átomos. Dado que la energía cinética depende únicamente del momento y no de la posición, mientras que la estadística de las posiciones depende únicamente de la energía potencial, la termodinámica del gas depende únicamente de la energía potencial para cada configuración de átomos.

Un modelo simplificado consiste en representar el espacio-tiempo como una red e imaginar que cada posición contiene un átomo o no. El espacio de configuración es el de bits independientes B _i , donde cada bit es 0 o 1 dependiendo de si la posición está ocupada o no. Una interacción atractiva reduce la energía de dos átomos cercanos. Si la atracción se da solo entre vecinos próximos, la energía se reduce en −4 JB _i B _j por cada par de vecinos ocupados.

La densidad de los átomos se puede controlar añadiendo un potencial químico , que es un coste de probabilidad multiplicativo para añadir un átomo más. Un factor multiplicativo en la probabilidad se puede reinterpretar como un término aditivo en el logaritmo: la energía. La energía extra de una configuración con N átomos cambia en μN . El coste de probabilidad de un átomo más es un factor de exp(− βμ ).

Por lo tanto, la energía del gas reticular es: $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}.}$$

Reescribiendo los bits en términos de giros,${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}.}$$

Para redes donde cada sitio tiene un número igual de vecinos, este es el modelo de Ising con un campo magnético h = ( zJ  − μ )/2, donde z es el número de vecinos. 

En los sistemas biológicos, se han utilizado versiones modificadas del modelo de gas reticular para comprender diversos comportamientos de unión. Estos incluyen la unión de ligandos a receptores en la superficie celular, ^{[ 12 ]} la unión de proteínas de quimiotaxis al motor flagelar, ^{[ 13 ]} y la condensación del ADN. ^{[ 14 ]}

La actividad de las neuronas en el cerebro puede modelarse estadísticamente. Cada neurona, en cualquier momento, es activa (+) o inactiva  −. Las neuronas activas son aquellas que envían un potencial de acción a través del axón en un intervalo de tiempo determinado, y las inactivas son aquellas que no lo hacen.

Siguiendo el enfoque general de Jaynes, ^{[ 15 ] [ 16 ]} una interpretación posterior de Schneidman, Berry, Segev y Bialek, ^{[ 17 ]} es que el modelo de Ising es útil para cualquier modelo de función neuronal, porque un modelo estadístico para la actividad neuronal debe elegirse utilizando el principio de máxima entropía . Dado un conjunto de neuronas, un modelo estadístico que puede reproducir la tasa de disparo promedio para cada neurona introduce un multiplicador de Lagrange para cada neurona: $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ Pero la actividad de cada neurona en este modelo es estadísticamente independiente. Para permitir correlaciones entre pares, cuando una neurona tiende a activarse (o no activarse) junto con otra, se introducen multiplicadores de Lagrange por pares: $${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ dónde${\displaystyle J_{ij}}$no se limitan a vecinos. Nótese que esta generalización del modelo de Ising se denomina a veces distribución binaria exponencial cuadrática en estadística. Esta función de energía solo introduce sesgos de probabilidad para un espín con un valor y para un par de espines con el mismo valor. Las correlaciones de orden superior no están restringidas por los multiplicadores. Un patrón de actividad muestreado de esta distribución requiere el mayor número de bits para almacenar en un ordenador, en el esquema de codificación más eficiente imaginable, en comparación con cualquier otra distribución con la misma actividad media y correlaciones por pares. Esto significa que los modelos de Ising son relevantes para cualquier sistema que se describa mediante bits lo más aleatorios posible, con restricciones en las correlaciones por pares y el número medio de 1s, lo que ocurre frecuentemente tanto en las ciencias físicas como en las sociales.

Con el modelo de Ising, los llamados vidrios de espín también pueden describirse mediante el hamiltoniano habitual.${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$donde las variables S describen los espines de Ising, mientras que los J _i,k se toman de una distribución aleatoria. Para los vidrios de espín, una distribución típica elige enlaces antiferromagnéticos con probabilidad p y enlaces ferromagnéticos con probabilidad 1  − p (también conocido como el modelo de Ising de enlaces aleatorios). Estos enlaces permanecen fijos o "apagados" incluso en presencia de fluctuaciones térmicas. Cuando p = 0 tenemos el modelo de Ising original. Este sistema merece interés por sí mismo; en particular, uno tiene propiedades "no ergódicas" que conducen a un comportamiento de relajación extraño. También ha atraído mucha atención el modelo de Ising diluido de enlaces y sitios relacionado, especialmente en dos dimensiones, que conduce a un comportamiento crítico intrigante. ^{[ 18 ]}   

El modelo de Ising fue fundamental en el desarrollo de la red de Hopfield . El modelo de Ising original es un modelo de equilibrio. Roy J. Glauber en 1963 estudió el modelo de Ising evolucionando en el tiempo, como un proceso hacia el equilibrio térmico ( dinámica de Glauber ), agregando el componente del tiempo. ^{[ 19 ]} (Kaoru Nakano, 1971) ^{[ 20 ] [ 21 ]} y ( Shun'ichi Amari , 1972), ^{[ 22 ]} propusieron modificar los pesos de un modelo de Ising mediante la regla de aprendizaje hebbiana como un modelo de memoria asociativa. La misma idea fue publicada por ( William A. Little , 1974), ^{[ 23 ]} quien fue citado por Hopfield en su artículo de 1982.

El modelo de vidrio de espín de Sherrington-Kirkpatrick, publicado en 1975, ^{[ 24 ]} es la red de Hopfield con inicialización aleatoria. Sherrington y Kirkpatrick descubrieron que es muy probable que la función de energía del modelo SK tenga muchos mínimos locales. En un artículo de 1982, Hopfield aplicó esta teoría recientemente desarrollada para estudiar la red de Hopfield con funciones de activación binarias. ^{[ 25 ]} En un artículo de 1984, la extendió a funciones de activación continuas. ^{[ 26 ]} Se convirtió en un modelo estándar para el estudio de redes neuronales mediante mecánica estadística. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

El estanque de deshielo puede modelarse mediante el modelo de Ising; los datos de topografía del hielo marino influyen considerablemente en los resultados. La variable de estado es binaria para una aproximación 2D simple, pudiendo ser agua o hielo. ^{[ 29 ]}

Para investigar un modelo de Ising con relevancia potencial para grandes (por ejemplo, con${\displaystyle 10^{4}}$o${\displaystyle 10^{5}}$redes neuronales (interacciones por nodo), a sugerencia de Krizan en 1979, Barth (1981) obtuvo la expresión analítica exacta para la energía libre del modelo de Ising en el árbol de Cayley cerrado (con una relación de ramificación arbitrariamente grande) para un campo magnético externo cero (en el límite termodinámico) aplicando las metodologías de Glasser (1970) y Jellito (1979).

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

dónde${\displaystyle \gamma }$es una relación de ramificación arbitraria (mayor o igual que 2),${\displaystyle t\equiv \tanh J}$,${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$,${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$(con${\displaystyle \epsilon }$representando la energía de interacción entre vecinos más cercanos) y hay k (→ ∞ en el límite termodinámico) generaciones en cada una de las ramas del árbol (formando la arquitectura de árbol cerrada como se muestra en el diagrama de árbol de Cayley cerrado dado). Se puede demostrar que la suma en el último término converge uniforme y rápidamente (es decir, para z → ∞, permanece finita) produciendo una función continua y monótona, estableciendo que, para${\displaystyle \gamma }$Para valores mayores o iguales a 2, la energía libre es una función continua de la temperatura T. Un análisis posterior de la energía libre indica que presenta una primera derivada discontinua inusual en la temperatura crítica ( Krizan, Barth y Glasser (1983) , Glasser y Goldberg (1983) ).

Se encontró que la correlación espín-espín entre sitios (en general, m y n) en el árbol tiene un punto de transición cuando se considera en los vértices (por ejemplo, A y Ā, su reflexión), sus respectivos sitios vecinos (como B y su reflexión), y entre sitios adyacentes a los vértices extremos superior e inferior de los dos árboles (por ejemplo, A y B), como se puede determinar a partir de $${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$ dónde${\displaystyle N_{b}}$es igual al número de enlaces,${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$es el número de grafos contados para vértices impares con sitios intermedios pares (consulte las metodologías y referencias citadas para obtener cálculos detallados),${\displaystyle 2^{N}}$es la multiplicidad resultante de las posibilidades de espín de dos valores y la función de partición${\displaystyle {Z_{N}}}$se deriva de${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$. (Nota:${\displaystyle s_{i}}$es consistente con la literatura de referencia en esta sección y es equivalente a${\displaystyle S_{i}}$o${\displaystyle \sigma _{i}}$utilizado arriba y en secciones anteriores; se valora en${\displaystyle \pm 1}$.) La temperatura crítica${\displaystyle T_{C}}$es dado por $${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

La temperatura crítica para este modelo está determinada únicamente por la relación de ramificación.${\displaystyle \gamma }$y la energía de interacción entre sitios${\displaystyle \epsilon }$, un hecho que puede tener implicaciones directas asociadas con la estructura neuronal frente a su función (ya que relaciona las energías de interacción y la relación de ramificación con su comportamiento transicional). Por ejemplo, una relación entre el comportamiento de transición de las actividades de las redes neuronales entre los estados de sueño y vigilia (que puede correlacionarse con una transición de fase de tipo espín-espín) en términos de cambios en la interconectividad neuronal (${\displaystyle \gamma }$) y/o interacciones entre vecinos (${\displaystyle \epsilon }$), con el tiempo, es solo una posible vía sugerida para una mayor investigación experimental de dicho fenómeno. En cualquier caso, para este modelo de Ising se estableció que "la estabilidad de la correlación de largo alcance aumenta con el aumento de${\displaystyle \gamma }$o aumentando${\displaystyle \epsilon }$"

Para esta topología, se encontró que la correlación espín-espín era cero entre los vértices extremos y los sitios centrales donde se unen los dos árboles (o ramas) (es decir, entre A y C, D o E individualmente). Este comportamiento se explica por el hecho de que, a medida que k aumenta, el número de enlaces aumenta exponencialmente (entre los vértices extremos) y, por lo tanto, aunque la contribución a las correlaciones de espín disminuye exponencialmente, la correlación entre sitios como el vértice extremo (A) en un árbol y el vértice extremo en el árbol unido (Ā) permanece finita (por encima de la temperatura crítica). Además, A y B también exhiben una correlación no nula (al igual que sus reflexiones), lo que permite que, para los sitios de nivel B (con nivel A), se consideren "grupos" que tienden a exhibir sincronización de disparo.

Tras una revisión comparativa de otros modelos de redes clásicas, se determinó que el modelo de Ising en un árbol de Cayley cerrado era el primer modelo de mecánica estadística clásica capaz de demostrar la existencia de sitios locales y de largo alcance con correlaciones espín-espín no nulas, a la vez que presentaba sitios intermedios con correlación cero, lo cual era relevante para las grandes redes neuronales en el momento de su estudio. El comportamiento del modelo también resulta relevante para cualquier otro sistema físico (o biológico) de árbol divergente-convergente que presente una topología de árbol de Cayley cerrado con una interacción de tipo Ising. Esta topología no debe ignorarse, puesto que su comportamiento en los modelos de Ising se ha resuelto con exactitud, y presumiblemente la naturaleza habrá encontrado la manera de aprovechar estas simetrías simples en diversos niveles de su diseño.

Barth (1981) señaló desde el principio la posibilidad de interrelaciones entre (1) el modelo clásico de red neuronal grande (con topologías divergentes-convergentes acopladas similares) y (2) un modelo mecánico cuántico estadístico subyacente (independiente de la topología y con persistencia en estados cuánticos fundamentales):

El resultado más significativo obtenido del modelo de árbol de Cayley cerrado implica la aparición de correlación de largo alcance en ausencia de correlación de alcance intermedio. Este resultado no ha sido demostrado por otros modelos clásicos. El fracaso de la visión clásica de la transmisión de impulsos para explicar este fenómeno ha sido citado por numerosos investigadores (Ricciiardi y Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi y Umezawa 1978, 1979) como lo suficientemente significativo como para justificar supuestos radicalmente nuevos a un nivel muy fundamental y han sugerido la existencia de modos cooperativos cuánticos dentro del cerebro… Además, es interesante notar que el (modelado) de… partículas o bosones de Goldstone (según Umezawa, et al)… dentro del cerebro, demuestra la correlación de largo alcance de los números cuánticos preservados en el estado fundamental… En el modelo de árbol de Cayley cerrado, los estados fundamentales de pares de sitios, así como la variable de estado de sitios individuales, (pueden) exhibir correlación de largo alcance.

Entre los primeros neurofísicos (por ejemplo, Umezawa, Krizan, Barth, etc.) existía la creencia natural y común de que los modelos neuronales clásicos (incluidos aquellos con aspectos de mecánica estadística) tendrían que integrarse algún día con la física cuántica (con aspectos de estadística cuántica), de forma similar quizás a como el campo de la química se ha integrado históricamente en la física cuántica a través de la química cuántica.

Aún quedan por resolver varios problemas adicionales de mecánica estadística de interés para el árbol de Cayley cerrado, incluido el caso dependiente del tiempo y la situación de campo externo, así como esfuerzos teóricos destinados a comprender las interrelaciones con los constituyentes cuánticos subyacentes y su física.

El algoritmo de Metropolis-Hastings es el algoritmo de Monte Carlo más utilizado para calcular estimaciones del modelo de Ising. ^{[ 30 ]} El algoritmo primero elige probabilidades de selección g (μ, ν), que representan la probabilidad de que el algoritmo seleccione el estado ν entre todos los estados, dado que uno se encuentra en el estado μ. Luego utiliza probabilidades de aceptación A (μ, ν) para que se satisfaga el equilibrio detallado . Si se acepta el nuevo estado ν, entonces pasamos a ese estado y repetimos el proceso de seleccionar un nuevo estado y decidir si lo aceptamos. Si ν no se acepta, permanecemos en μ. Este proceso se repite hasta que se cumple algún criterio de parada, que para el modelo de Ising suele ser cuando la red se vuelve ferromagnética , es decir, todos los sitios apuntan en la misma dirección. ^{[ 30 ]}

Al implementar el algoritmo, se debe asegurar que g (μ, ν) se seleccione de manera que se cumpla la ergodicidad . En equilibrio térmico, la energía de un sistema solo fluctúa dentro de un rango pequeño. ^{[ 30 ]} Esta es la motivación detrás del concepto de dinámica de inversión de espín simple , ^{[ 31 ]} que establece que en cada transición, solo cambiaremos uno de los sitios de espín en la red. ^{[ 30 ]} Además, al usar la dinámica de inversión de espín simple, se puede pasar de cualquier estado a cualquier otro estado invirtiendo cada sitio que difiere entre los dos estados uno a la vez. La cantidad máxima de cambio entre la energía del estado actual, H _μ y cualquier posible energía de nuevo estado H _ν (usando la dinámica de inversión de espín simple) es 2 J entre el espín que elegimos "invertir" para pasar al nuevo estado y el vecino de ese espín. ^{[ 30 ]} Así, en un modelo de Ising 1D, donde cada sitio tiene dos vecinos (izquierdo y derecho), la diferencia máxima de energía sería 4 J . Sea c el número de coordinación de la red ; el número de vecinos más cercanos que tiene cualquier sitio de la red. Suponemos que todos los sitios tienen el mismo número de vecinos debido a las condiciones de contorno periódicas . ^{[ 30 ]} Es importante señalar que el algoritmo de Metropolis-Hastings no funciona bien alrededor del punto crítico debido a la ralentización crítica. Se requieren otras técnicas como métodos multigrid, el algoritmo de Niedermayer, el algoritmo de Swendsen-Wang o el algoritmo de Wolff para resolver el modelo cerca del punto crítico; un requisito para determinar los exponentes críticos del sistema.

Específicamente para el modelo de Ising y utilizando la dinámica de inversión de espín simple, se puede establecer lo siguiente. Dado que hay L sitios totales en la red, utilizando la inversión de espín simple como única forma de transición a otro estado, podemos ver que hay un total de L nuevos estados ν a partir de nuestro estado actual μ. El algoritmo asume que las probabilidades de selección son iguales a los L estados: g (μ, ν) = 1/ L . El balance detallado nos dice que debe cumplirse la siguiente ecuación:

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Por lo tanto, queremos seleccionar la probabilidad de aceptación para que nuestro algoritmo satisfaga

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Si H _ν > H _μ , entonces A (ν, μ) > A (μ, ν). Metropolis establece que el mayor de A (μ,  ν) o A (ν,  μ) sea 1. Según este razonamiento, el algoritmo de aceptación es: ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

La forma básica del algoritmo es la siguiente:

1. Seleccione un sitio de espín utilizando la probabilidad de selección g (μ,  ν) y calcule la contribución a la energía que involucra a este espín.
2. Invierte el valor del giro y calcula la nueva contribución.
3. Si la nueva energía es menor, conserve el valor invertido.
4. Si la nueva energía es mayor, solo consérvela con probabilidad.${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. Repetir.

El cambio de energía H _ν  − H _μ solo depende del valor del espín y de sus vecinos más cercanos en el grafo. Por lo tanto, si el grafo no está demasiado conectado, el algoritmo es rápido. Este proceso finalmente producirá una selección de la distribución. 

Es posible ver el modelo de Ising como una cadena de Markov , ya que la probabilidad inmediata P _β (ν) de transición a un estado futuro ν solo depende del estado presente μ. El algoritmo de Metropolis es en realidad una versión de una simulación de Monte Carlo de cadena de Markov , y dado que usamos dinámica de inversión de espín único en el algoritmo de Metropolis, cada estado puede verse como que tiene enlaces a exactamente L otros estados, donde cada transición corresponde a invertir un solo sitio de espín al valor opuesto. ^{[ 32 ]} Además, dado que el cambio de ecuación de energía H _σ solo depende de la fuerza de interacción del vecino más cercano J , el modelo de Ising y sus variantes como el modelo de Sznajd pueden verse como una forma de un modelo de votante para dinámica de opinión.

El límite termodinámico existe siempre que la interacción decaiga.${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$con α > 1. ^{[ 33 ]}

• En el caso de interacción ferromagnética${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$Con 1 < α < 2, Dyson demostró, por comparación con el caso jerárquico, que existe una transición de fase a una temperatura suficientemente baja. ^{[ 34 ]}
• En el caso de interacción ferromagnética${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$, Fröhlich y Spencer demostraron que existe una transición de fase a una temperatura suficientemente baja (en contraste con el caso jerárquico). ^{[ 35 ]}
• En el caso de interacción${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$con α > 2 (que incluye el caso de interacciones de alcance finito), no hay transición de fase a ninguna temperatura positiva (es decir, β finito), ya que la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos. ^{[ 33 ]}
• En el caso de interacciones entre vecinos más cercanos , E. Ising proporcionó una solución exacta del modelo. A cualquier temperatura positiva (es decir, β finito), la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos y la correlación de espín de dos puntos truncada decae exponencialmente rápido. A temperatura cero (es decir, β infinito), hay una transición de fase de segundo orden: la energía libre es infinita y la correlación de espín de dos puntos truncada no decae (permanece constante). Por lo tanto, T = 0 es la temperatura crítica en este caso. Se satisfacen las fórmulas de escala. ^{[ 36 ]}

En el caso ferromagnético, se observa una transición de fase. A bajas temperaturas, el argumento de Peierls demuestra una magnetización positiva para el caso de interacciones entre vecinos más cercanos y, posteriormente, mediante la desigualdad de Griffiths , también cuando se incluyen interacciones de mayor alcance. Por otro lado, a altas temperaturas, la expansión en clústeres proporciona la analiticidad de las funciones termodinámicas. En el caso de interacciones entre vecinos más cercanos, la energía libre fue calculada con exactitud por Onsager. Las funciones de correlación espín-espín fueron calculadas por McCoy y Wu.

En tres como en dos dimensiones, el caso más estudiado del modelo de Ising es el modelo invariante por traslación en una red cúbica con acoplamiento entre vecinos próximos en campo magnético cero. Muchos teóricos buscaron durante décadas una solución analítica tridimensional, que sería análoga a la solución de Onsager en el caso bidimensional. ^{[ 39 ] [ 40 ]} Dicha solución no se ha encontrado hasta ahora, aunque no hay prueba de que no pueda existir. En tres dimensiones, Alexander Polyakov y Vladimir Dotsenko demostraron que el modelo de Ising tiene una representación en términos de cuerdas fermiónicas no interactuantes . Esta construcción se ha llevado a cabo en la red, y el límite continuo , que conjeturadamente describe el punto crítico, es desconocido.

En tres como en dos dimensiones, el argumento de Peierls muestra que hay una transición de fase. Se sabe rigurosamente que esta transición de fase es continua (en el sentido de que la longitud de correlación diverge y la magnetización tiende a cero), y se denomina punto crítico . Se cree que el punto crítico puede describirse mediante un punto fijo del grupo de renormalización de la transformación del grupo de renormalización de Wilson-Kadanoff. También se cree que la transición de fase puede describirse mediante una teoría de campo conforme unitaria tridimensional, como lo demuestran las simulaciones de Monte Carlo , ^{[ 41 ] [ 42 ]} los resultados de diagonalización exacta en modelos cuánticos, ^{[ 43 ]} y los argumentos de la teoría cuántica de campos. ^{[ 44 ]} Aunque es un problema abierto establecer rigurosamente la descripción del grupo de renormalización o la descripción de la teoría de campo conforme, los físicos teóricos han utilizado estos dos métodos para calcular los exponentes críticos de la transición de fase, que concuerdan con los experimentos y con las simulaciones de Monte Carlo. Esta teoría de campo conforme que describe el punto crítico de Ising tridimensional está siendo investigada activamente utilizando el método del bootstrap conforme . ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} Este método actualmente proporciona la información más precisa sobre la estructura de la teoría crítica (ver exponentes críticos de Ising ).

En 2000, Sorin Istrail, de los Laboratorios Nacionales Sandia, demostró que el modelo de Ising de vidrio de espín en una red no planar es NP-completo . Es decir, suponiendo que P ≠ NP, el modelo general de Ising de vidrio de espín solo tiene solución exacta en casos planares , por lo que las soluciones para dimensiones superiores a dos también son intratables. ^{[ 49 ]} El resultado de Istrail solo se refiere al modelo de vidrio de espín con acoplamientos que varían espacialmente y no aporta información sobre el modelo ferromagnético original de Ising con acoplamientos iguales.

En cualquier dimensión, el modelo de Ising puede describirse eficazmente mediante un campo medio que varía localmente . Este campo se define como el valor promedio del espín en una región amplia, pero no tan amplia como para abarcar todo el sistema. El campo presenta variaciones lentas de un punto a otro a medida que se desplaza el volumen de promediado. Estas fluctuaciones se describen mediante una teoría de campos continuos en el límite de sistema infinito. La precisión de esta aproximación mejora a medida que aumenta la dimensión. Una comprensión más profunda del comportamiento del modelo de Ising, que va más allá de las aproximaciones de campo medio, puede lograrse utilizando métodos de grupo de renormalización .