Isoclinismo de grupos

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , el isoclinismo es una relación de equivalencia en grupos que generaliza el isomorfismo . Hall (1940) introdujo el isoclinismo para ayudar a clasificar y comprender los p-grupos , aunque es aplicable a todos los grupos. El isoclinismo también tiene consecuencias para el multiplicador de Schur y los aspectos asociados de la teoría de caracteres , como se describe en Suzuki (1982 , p. 256) y Conway et al. (1985 , p. xxiii, cap. 6.7) . La palabra "isoclinismo" proviene del griego ισοκλινης, que significa pendiente igual.  

Algunos libros de texto que tratan sobre el isoclinismo incluyen Berkovich (2008 , §29) y Blackburn, Neumann y Venkataraman (2007 , §21.2) y Suzuki (1986 , pp. 92–95) . 

La clase de isoclinismo de un grupo G está determinada por los grupos G / Z ( G ) (el grupo de automorfismos internos ) y G ′ (el subgrupo conmutador ) y el mapa conmutador de G / Z ( G ) × G / Z ( G ) a G ′ (tomando a , b a aba ⁻¹ b ⁻¹ ).

En otras palabras, dos grupos G ₁ y G ₂ son isoclinicos si existen isomorfismos de G ₁ / Z ( G ₁ ) a G ₂ / Z ( G ₂ ) y de G ₁ ′ a G ₂ ′ que conmutan con el mapa conmutador.

Todos los grupos abelianos son isoclínicos, ya que son iguales a sus centros y sus subgrupos conmutadores son siempre el subgrupo identidad. En efecto, un grupo es isoclínico a un grupo abeliano si y solo si él mismo es abeliano, y G es isoclínico con G × A si y solo si A es abeliano. Los grupos diedrales , cuasidiédricos y cuaternionales de orden 2n ^son isoclínicos para n ≥ 3, Berkovich (2008 , p. 285) lo explica con más detalle. 

El isoclinismo divide los p -grupos en familias, y los miembros más pequeños de cada familia se denominan grupos troncales . Un grupo es un grupo troncal si y solo si Z( G ) ≤ [ G , G ], es decir, si y solo si cada elemento del centro del grupo está contenido en el subgrupo derivado (también llamado subgrupo conmutador), Berkovich (2008 , p. 287) . Algunos resultados de enumeración sobre familias de isoclinismo se presentan en Blackburn, Neumann y Venkataraman (2007 , p. 226) .  

El isoclinismo se utiliza en la teoría de las representaciones proyectivas de grupos finitos , ya que todos los grupos de recubrimiento de Schur de un grupo son isoclínicos, un hecho que Hall ya insinuó según Suzuki (1982 , p. 256) . Esto se utiliza para describir las tablas de caracteres de los grupos simples finitos ( Conway et al., 1985 , p. xxiii, cap. 6.7) .  

• Berkovich, Yakov (2008), Grupos de orden de potencia principal. vol. 1 , Exposiciones de Matemáticas de Gruyter, vol.  46, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlín, doi : 10.1515/9783110208221.285 , ISBN 978-3-11-020418-6, MR 2464640 
• Blackburn, Simon R.; Neumann, Peter M .; Venkataraman, Geetha (2007), Enumeración de grupos finitos , Cambridge Tracts in Mathematics n.º 173 (1.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC 154682311 
• Conway, John Horton ; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; Wilson, RA (1985), Atlas de grupos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219 
• Hall, Philip (1940), "La clasificación de los grupos de potencia primaria" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1940 (182): 130– 141, doi : 10.1515/crll.1940.182.130 , ISSN 0075-4102 , MR 0003389 , S2CID 122817195   
• Struik, Ruth Rebekka (1960). "Una nota sobre grupos de potencias primas" . Boletín Matemático Canadiense . 3 : 27–30 . doi : 10.4153/cmb-1960-006-5 . ISSN 0008-4395 . MR 0148744 .  
• Suzuki, Michio (1982), Teoría de grupos. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  247, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10915-0, MR 0648772 
• Suzuki, Michio (1986), Teoría de grupos. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  248, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-86885-6 , ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926