grupo cuasidiédrico

En matemáticas , los grupos cuasi-diédricos , también llamados grupos semidiédricos , son ciertos grupos no abelianos de orden potencia de 2. Para cada entero positivo n mayor o igual que 4, existen exactamente cuatro clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 2n ^que tienen un subgrupo cíclico de índice 2. Dos son bien conocidos: el grupo de cuaterniones generalizado y el grupo diedral . Uno de los dos grupos restantes se considera a menudo particularmente importante, ya que es un ejemplo de un 2-grupo de clase de nilpotencia máxima . En el texto de Bertram Huppert , Endliche Gruppen , este grupo se denomina "Quasidiedergruppe". En el texto de Daniel Gorenstein , Finite Groups , este grupo se denomina "semidihedral group". Dummit y Foote se refieren a él como "quasidihedral group"; adoptamos ese nombre en este artículo. Todos dan la misma presentación para este grupo:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}-1}\rangle \,\!}$.

El otro 2-grupo no abeliano con subgrupo cíclico de índice 2 no recibe un nombre especial en ninguno de los textos, sino que se le denomina simplemente G o M _m (2). Cuando este grupo tiene orden 16, Dummit y Foote se refieren a él como el "grupo modular de orden 16", ya que su retículo de subgrupos es modular . En este artículo, este grupo se denominará grupo modular maximal-cíclico de orden 16.${\displaystyle 2^{n}}$Su presentación es:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}+1}\rangle \,\!}$.

Tanto estos dos grupos como el grupo diedral son productos semidirectos de un grupo cíclico < r > de orden 2 ^{n −1} con un grupo cíclico < s > de orden 2. Dicho producto semidirecto no abeliano está determinado unívocamente por un elemento de orden 2 en el grupo de unidades del anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z} }$y existen precisamente tres de esos elementos,${\displaystyle 2^{n-1}-1}$,${\displaystyle 2^{n-2}-1}$, y${\displaystyle 2^{n-2}+1}$, correspondientes al grupo diedral, al grupo cuasi-idiédrico y al grupo modular maximal-cíclico.

El grupo de cuaterniones generalizado, el grupo diedral y el grupo cuasidiédrico de orden 2 ⁿ tienen clase de nilpotencia n − 1, y son las únicas clases de isomorfismo de grupos de orden 2 ⁿ con clase de nilpotencia n − 1. Los grupos de orden p ⁿ y clase de nilpotencia n − 1 fueron el comienzo de la clasificación de todos los p -grupos a través de coclase . El grupo modular maximal-cíclico de orden 2 ⁿ siempre tiene clase de nilpotencia 2. Esto hace que el grupo modular maximal-cíclico sea menos interesante, ya que la mayoría de los grupos de orden p ⁿ para n grande tienen clase de nilpotencia 2 y han resultado difíciles de entender directamente.

El cuaternión generalizado, el diedro y el grupo cuasi-diédrico son los únicos 2-grupos cuyo subgrupo derivado tiene índice 4. El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos simples y, en cierta medida, los grupos finitos con 2-subgrupos cuasi-diédricos de Sylow.

Los subgrupos de Sylow 2 de los siguientes grupos son cuasidiédricos:

• PSL ₃ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4,
• PSU ₃ ( F _q ) para q ≡ 1 mod 4,
• el grupo Mathieu M ₁₁ ,
• GL ₂ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4.

• Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3.ª  ed.). Wiley. pp. 71–72 . ISBN  9780471433347.
• Huppert, B. (1967). Grupo Endliche . Saltador. págs. 90–93 . SEÑOR 0224703 .  
• Gorenstein, D. (1980). Grupos finitos . Chelsea. págs. 188–195 . ISBN  0-8284-0301-5. MR 0569209 .