Relación isoperimétrica

En geometría analítica , la razón isoperimétrica de una curva cerrada simple en el plano euclidiano es la razón L²/ A ^, donde L es la longitud de la curva y A es su área . Es una magnitud adimensional que permanece invariante bajo transformaciones de semejanza de la curva.

Según la desigualdad isoperimétrica , la razón isoperimétrica tiene su valor mínimo, 4π , para un círculo ; cualquier otra curva tiene un valor mayor. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, la razón isoperimétrica se puede usar para medir qué tan alejada de una forma circular está una figura.

El flujo de acortamiento de la curva disminuye la relación isoperimétrica de cualquier curva convexa suave de modo que, en el límite cuando la curva se contrae hasta un punto, la relación se convierte en 4π . ^{[ 2 ]}

Para cuerpos de dimensiones superiores de dimensión d , la razón isoperimétrica puede definirse de manera similar como B ^d / V ^{d − 1} donde B es el área de la superficie del cuerpo (la medida de su contorno) y V es su volumen (la medida de su interior). ^{[ 3 ]} Otras cantidades relacionadas incluyen la constante de Cheeger de una variedad riemanniana y la constante de Cheeger (definida de manera diferente) de un grafo . ^{[ 4 ]}