Isotopía de bucles

En el campo matemático del álgebra abstracta , la isotopía es una relación de equivalencia que se utiliza para clasificar la noción algebraica de bucle .

La isotopía para bucles y cuasigrupos fue introducida por Albert ( 1943 ) , basándose en su definición ligeramente anterior de isotopía para álgebras , que a su vez se inspiró en el trabajo de Steenrod. 

Cada cuasigrupo es isotópico a un bucle.

Dejar${\displaystyle (Q,\cdot )}$y${\displaystyle (P,\circ )}$sean cuasigrupos . Una homotopía de cuasigrupos de Q a P es una tripleta ( α , β , γ ) de aplicaciones de Q a P tales que

${\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,}$

para todo x , y en Q. Un homomorfismo de cuasigrupo es simplemente una homotopía para la cual los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía para la cual cada una de las tres aplicaciones ( α , β , γ ) es una biyección . Dos cuasigrupos son isotópicos si existe una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos , una isotopía ( α , β , γ ) viene dada por una permutación de filas α , una permutación de columnas β y una permutación del conjunto de elementos subyacentes γ .

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo.${\displaystyle (Q,\cdot )}$a sí mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forma un grupo con el grupo de automorfismos como subgrupo.

Una isotopía principal es una isotopía para la cual γ es la aplicación identidad en Q. En este caso, los conjuntos subyacentes de los cuasigrupos deben ser los mismos, pero las multiplicaciones pueden diferir.

Dejar${\displaystyle (L,\cdot )}$y${\displaystyle (K,\circ )}$ser bucles y dejar${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K}$ser un isótopo. Entonces es el producto del isótopo principal.${\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}$de${\displaystyle (L,\cdot )}$y${\displaystyle (L,*)}$y el isomorfismo${\displaystyle \gamma }$entre${\displaystyle (L,*)}$y${\displaystyle (K,\circ )}$De hecho, pon${\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha }$,${\displaystyle \beta _ {0}=\gamma ^{-1}\beta }$y definir la operación${\displaystyle *}$por${\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)}$.

Dejar${\displaystyle (L,\cdot )}$y${\displaystyle (L,\circ )}$sean bucles y sea e el elemento neutro de${\displaystyle (L,\cdot )}$. Dejar${\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)}$un isótopo principal de${\displaystyle (L,\cdot )}$a${\displaystyle (L,\circ )}$. Entonces${\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}}$y${\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}}$dónde${\displaystyle a=\alpha (e)}$y${\displaystyle b=\beta (e)}$.

Un bucle L es un bucle G si es isomorfo a todos sus isótopos de bucle.

Sea L un lazo y c un elemento de L. Una biyección α de L se llama pseudoautomorfismo derecho de L con elemento compañero c si para todo x , y la identidad

${\displaystyle \alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)}$

Se cumple. Los pseudoautomorfismos izquierdos se definen de forma análoga.

Decimos que una propiedad de bucle P es universal si es invariante isotópica, es decir, P se cumple para un bucle L si y solo si P se cumple para todos los isótopos de bucle de L. Claramente, basta con comprobar si P se cumple para todos los isótopos principales de L.

Por ejemplo, dado que los isótopos de un bucle conmutativo no tienen por qué ser conmutativos, la conmutatividad no es universal. Sin embargo, la asociatividad y ser un grupo abeliano son propiedades universales. De hecho, todo grupo es un bucle G.

Dado un bucle L , se puede definir una estructura geométrica de incidencia llamada 3-red . A la inversa, tras fijar un origen y un orden de las clases de línea, una 3-red da lugar a un bucle. Elegir un origen diferente o intercambiar las clases de línea puede resultar en bucles de coordenadas no isomorfos. Sin embargo, los bucles de coordenadas son siempre isotópicos. En otras palabras, dos bucles son isotópicos si y solo si son equivalentes desde el punto de vista geométrico .

El diccionario entre conceptos algebraicos y geométricos es el siguiente:

• El grupo de autotopismo del bucle corresponde a las colineaciones de la 3-red que preservan la dirección del grupo.
• Los pseudoautomorfismos corresponden a colineaciones que fijan los dos ejes del sistema de coordenadas.
• El conjunto de elementos acompañantes es la órbita del estabilizador del eje en el grupo de colineación.
• El bucle es un bucle G si y solo si el grupo de colineación actúa transitivamente sobre el conjunto de puntos de la 3-red.
• La propiedad P es universal si y solo si es independiente de la elección del origen.

• Isotopía de un álgebra

• Albert, AA (1943), "Cuasigrupos. I.", Trans. Amer. Math. Soc. , 54 : 507– 519, doi : 10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7 , MR 0009962 
• Kurosh, AG (1963), Lecciones de álgebra general , Nueva York: Chelsea Publishing Co., MR 0158000