Isotopía de un álgebra

En matemáticas , una isotopía de un álgebra A posiblemente no asociativa a otra es una terna de aplicaciones lineales biyectivas ( a , b , c ) tales que si xy = z, entonces a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Esto es similar a la definición de una isotopía de bucles , excepto que también debe preservar la estructura lineal del álgebra. Para a = b = c, esto es lo mismo que un isomorfismo. El grupo de autotopías de un álgebra es el grupo de todas las isotopías a sí misma (a veces llamadas autotopías), que contiene el grupo de automorfismos como subgrupo.

La isotopía de las álgebras fue introducida por Albert ( 1942 ) , quien se inspiró en el trabajo de Steenrod. Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente: una isotopía es una terna de aplicaciones lineales biyectivas a , b , c tales que si xyz = 1, entonces a ( x ) b ( y ) c ( z ) = 1. Para álgebras de división alternativas , como los octoniones, las dos definiciones de isotopía son equivalentes, pero en general no lo son. 

• Si a = b = c es un isomorfismo, entonces la terna ( a , b , c ) es una isotopía. Recíprocamente, si las álgebras tienen elementos identidad 1 que se conservan mediante las aplicaciones a y b de una isotopía, entonces a = b = c es un isomorfismo.
• Si A es un álgebra asociativa con identidad y a y c son multiplicaciones por la izquierda por algún elemento invertible fijo, y b es la identidad, entonces ( a , b , c ) es una isotopía. De manera similar, podríamos tomar b y c como multiplicaciones por la derecha por algún elemento invertible y tomar a como la identidad. Estos forman dos subgrupos conmutativos del grupo de autotopía, y el grupo de autotopía completo se genera a partir de estos dos subgrupos y el grupo de automorfismos.
• Si un álgebra (que no se asume asociativa) con un elemento identidad es isotópica a un álgebra asociativa con un elemento identidad, entonces ambas álgebras son isomorfas. En particular, dos álgebras asociativas con elementos identidad son isotópicas si y solo si son isomorfas. Sin embargo, las álgebras asociativas con elementos identidad pueden ser isotópicas a álgebras sin elementos identidad.
• El grupo de autotopía de los octoniones es el grupo de espín Spin ₈ , mucho más grande que su grupo de automorfismos G ₂ .
• Si B es una mutación del álgebra asociativa A por un elemento invertible, entonces existe una isotopía de A a B.
• Si a , b y c son funciones lineales invertibles cualesquiera de un álgebra, y se define un nuevo producto c ⁻¹ ( a ( x ) b ( y )) , entonces el álgebra definida por este nuevo producto es isotópica al álgebra original. Por ejemplo, los números complejos con el producto x y son isotópicos a los números complejos con el producto usual, aunque este último no sea conmutativo y no tenga elemento neutro.

• Albert, AA (1942), "Álgebras no asociativas. I. Conceptos fundamentales e isotopía.", Ann. of Math. , 2, 43 (4): 685– 707, doi : 10.2307/1968960 , JSTOR 1968960 , MR 0007747  
• "Isotopía_(en_álgebra)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kurosh, AG (1963), Lecciones de álgebra general , Nueva York: Chelsea Publishing Co., MR 0158000 
• McCrimmon, Kevin (2004), Una introducción a las álgebras de Jordan , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, SEÑOR 2014924 , Zbl 1044.17001 , Erratas  
• Wilson, RA (2008), Octoniones (PDF) , Apuntes del seminario de matemáticas puras