Descomposición JSJ

En el campo matemático de la topología , la descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una descomposición de una 3-variedad en un número finito de piezas más simples mediante cortes a lo largo de un número finito de toros incrustados . Cada pieza es atoroidal (no se puede cortar a lo largo de un toro incrustado de una manera interesante) o fibrada de Seifert (se puede descomponer en una unión disjunta de círculos de una manera elegante).

La formulación de la descomposición JSJ es la siguiente:

Las 3-variedades compactas orientables irreducibles tienen una colección mínima única (salvo isotopía ) de toros incompresibles disjuntamente incrustados , de tal manera que cada componente de la 3-variedad obtenida al cortar a lo largo de los toros es atoroidal o fibrada de Seifert.

Las siglas JSJ corresponden a William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson . Los dos primeros trabajaron juntos, y el tercero trabajó de forma independiente.

Una versión alternativa de la descomposición JSJ establece:

Una 3-variedad cerrada irreducible orientable M tiene una subvariedad Σ que es una variedad de Seifert (posiblemente desconectada y con frontera) cuyo complemento es atórico (y posiblemente desconectado).

La subvariedad Σ con el menor número de toros frontera se denomina subvariedad característica de M ; es única (salvo isotopía). El corte de la variedad a lo largo de los toros que delimitan la subvariedad característica también se conoce a veces como descomposición JSJ, aunque puede tener más toros que la descomposición JSJ estándar.

El límite de la subvariedad característica Σ es una unión de toros que son casi iguales a los toros que aparecen en la descomposición JSJ. Sin embargo, hay una sutil diferencia: si uno de los toros en la descomposición JSJ es "no separable", entonces el límite de la subvariedad característica tiene dos copias paralelas de él (y la región entre ellas es una variedad de Seifert isomorfa al producto de un toro y un intervalo unitario). El conjunto de toros que delimitan la subvariedad característica puede caracterizarse como la colección mínima única (salvo isotopía ) de toros incompresibles disjuntamente incrustados tales que el cierre de cada componente de la 3-variedad obtenida al cortar a lo largo de los toros es o bien atoroidal o bien fibrado en Seifert .

La descomposición JSJ no es exactamente igual a la descomposición en la conjetura de geometrización , porque algunas de las piezas en la descomposición JSJ podrían no tener estructuras geométricas de volumen finito. Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapeo de Anosov de un toro tiene una estructura sol de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene una estructura geométrica de volumen finito.

• Conjetura de geometrización
• Descomposición de variedades
• Nudo de satélite

• Jaco, William H. ; Shalen, Peter B (1979), "Espacios fibrados de Seifert en 3-variedades", Memoirs of the American Mathematical Society , 21 (220).
• Jaco, William; Shalen, Peter B. Espacios fibrados de Seifert en 3-variedades. Topología geométrica (Actas de la Conferencia de Topología de Georgia, Athens, Ga., 1977), págs. 91-99 , Academic Press, Nueva York-Londres, 1979.
• Jaco, William; Shalen, Peter B. Un nuevo teorema de descomposición para 3-variedades irreducibles suficientemente grandes. Topología algebraica y geométrica (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad de Stanford, Stanford, California, 1976), Parte 2, págs. 71-84 , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, XXXII, Sociedad Matemática Americana, Providence, Rhode Island, 1978.
• Johannson, Klaus, Equivalencias homotópicas de 3-variedades con fronteras. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlín, 1979. ISBN 3-540-09714-7

• Allen Hatcher , Notas sobre la topología básica de variedades tridimensionales .
• William Jaco, Un algoritmo para construir la descomposición JSJ de una 3-variedad . Se presenta un algoritmo para construir la descomposición JSJ de una 3-variedad y derivar los invariantes de Seifert de la subvariedad característica.